馬爾可夫鏈模型

第十一章馬氏鏈模型11.1健康與疾病11.2鋼琴銷售的存貯策略11.3基因遺傳11.4等級結(jié)構(gòu)11.5市場占有率模型11.6最佳服務(wù)地點選擇

如果明天是否有雨僅與今日是否有雨有關(guān)，而與過去的天氣無關(guān).并設(shè)今日下雨，明日有雨概率為0.7，今日無雨明日有雨的概率為0.4，并把有雨稱為0狀態(tài)，無雨稱為1狀態(tài)。則問：今日有雨且第5日仍有雨的概率為多少？例：天氣預(yù)報問題解：設(shè)狀態(tài)0代表有雨，狀態(tài)1代表無雨，則一步轉(zhuǎn)移矩陣為：

所以今天有雨，第5天有雨的概率為：

馬爾可夫過程是一類特殊的隨機過程,馬爾可夫鏈是離散狀態(tài)的馬爾可夫過程,最初是由俄國數(shù)學(xué)家馬爾可夫1896年提出和研究的.應(yīng)用十分廣泛,其應(yīng)用領(lǐng)域涉及計算機,通信,自動控制,隨機服務(wù),可靠性,生物學(xué),經(jīng)濟,管理,教育,氣象,物理,化學(xué)等等.1.相關(guān)概念馬氏鏈模型

系統(tǒng)在每個時期所處的狀態(tài)是隨機的

從一時期到下時期的狀態(tài)按一定概率轉(zhuǎn)移

下時期狀態(tài)只取決于本時期狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率已知現(xiàn)在，將來與過去無關(guān)（無后效性）描述一類重要的隨機動態(tài)系統(tǒng)（過程）的模型馬氏鏈(MarkovChain)——時間、狀態(tài)均為離散的隨機轉(zhuǎn)移過程

例如：在某數(shù)字通信系統(tǒng)中傳遞0，1兩種信號，且傳遞需要經(jīng)過若干級。因為系統(tǒng)中有噪聲，各級將造成錯誤，若某級輸入0，1信號后，其輸出不產(chǎn)生錯誤的概率為p，產(chǎn)生錯誤的概率為1-p，則該級的輸入輸出狀態(tài)構(gòu)成了一個兩個狀態(tài)的馬氏鏈。馬爾可夫鏈定義設(shè)有隨機過程{Xn,n∈T}，若對于任意的整數(shù)n∈T和任意的i0,i1,…,in+1∈I，條件概率滿足則稱{Xn,n∈T}為馬爾可夫鏈，簡稱馬氏鏈將來的狀態(tài)只與當前狀態(tài)有關(guān)，與過去狀態(tài)無關(guān)馬氏性的直觀含義可以解釋如下:將看作為現(xiàn)在時刻,那末,就是過去時刻,而則是將來時刻.于是,當已知系統(tǒng)現(xiàn)時情況的條件下,系統(tǒng)將來的發(fā)展變化與系統(tǒng)的過去無關(guān).我們稱之為無后效性.許多實際問題都具有這種無后效性.例如生物基因遺傳從這一代到下一代的轉(zhuǎn)移中僅依賴于這一代而與以往各代無關(guān).例1

M/G/1排隊系統(tǒng)假設(shè)顧客依參數(shù)為的泊松過程來到一服務(wù)中心，只有一個服務(wù)員，來客發(fā)現(xiàn)服務(wù)員空著即刻得到服務(wù)；其他人排隊等待服務(wù)。相繼來到的顧客的服務(wù)時間Ti假定為相互獨立的隨機變量，具有共同的分布G；且假定他們與來到過程獨立。

M/G/1排隊系統(tǒng)中字母M代表顧客來到時間間隔服從指數(shù)分布，G代表服務(wù)時間的分布，數(shù)字1代表只有一個服務(wù)員。若以X(t)記在t時刻系統(tǒng)中的顧客數(shù)，{X(t),t≥0}則不具馬爾可夫性。因為，若我們知道在t時刻系統(tǒng)中的顧客數(shù)，那么為了預(yù)測將來的狀態(tài)，我們不用關(guān)心從最近的一位顧客來到后已過去了多長時間（因為來到過程是無記憶的），但和服務(wù)中的顧客服務(wù)了多長時間有關(guān)（因為服務(wù)時間分布不具無記憶性）。Xn-----第n個顧客走后剩下的顧客數(shù)，Yn-----第n+1個顧客接受服務(wù)期間來到的顧客數(shù)，則容易證明{Yn，n≥1}獨立同分布，且因此，{Xn，n≥1}是馬爾可夫鏈。其轉(zhuǎn)移概率為

為了克服上述困難，我們可以只在顧客離去的時刻考察系統(tǒng)，記Polya（波利亞）模型

罐中有b只黑球及r只紅球，每次隨機地取出一只后把原球放回，并加入與抽出球同色的球c只，再第二次隨機地取球重復(fù)上面步驟進行下去，{Xn=i}表示第n回摸球放回操作完成后，罐中有i只黑球這一事件，所以這是一個馬爾可夫鏈，在傳染病研究中有用。離散參數(shù)馬爾可夫鏈（1）轉(zhuǎn)移概率定義在離散參數(shù)馬爾可夫鏈中,條件概率稱為在時刻(參數(shù))由狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的一步轉(zhuǎn)移概率,簡稱轉(zhuǎn)移概率.條件概率稱為在時刻(參數(shù))由狀態(tài)經(jīng)步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的步轉(zhuǎn)移概率.(2)轉(zhuǎn)移概率的性質(zhì):對于狀態(tài)空間內(nèi)的任意兩個狀態(tài)和,恒有(1)(2)

為了描述馬爾可夫鏈（n+1）維分布率，最重要的是條件概率P{Xn+1=in+1|Xn=in}.它表示在時刻n取in值的條件下，下一時刻n+1取值為in+1的概率（一步轉(zhuǎn)移概率）定義1稱條件概率為馬爾可夫鏈{Xn,n∈T}在時刻n的一步轉(zhuǎn)移概率，其中i,j∈I，簡稱轉(zhuǎn)移概率。定義2若對任意的i,j∈I，馬爾可夫鏈{Xn,n∈T}的轉(zhuǎn)移概率與n無關(guān)，則稱馬爾可夫鏈是齊次馬爾可夫鏈。我們只討論齊次馬氏鏈。并將記為設(shè)P表示一步轉(zhuǎn)移概率所組成的矩陣，則稱為系統(tǒng)狀態(tài)的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，它具有如下性質(zhì)：

滿足上述兩個性質(zhì)的矩陣成為隨機矩陣

例

設(shè)味精銷售情況分為暢銷和滯銷兩種，1代表暢銷，2代表滯銷。以表示第n個季度的味精銷售狀態(tài)，則可取1或2的值。若未來的味精市場狀態(tài)只與現(xiàn)在的市場狀態(tài)有關(guān)，與以前的市場狀態(tài)無關(guān)，則味精的市場銷售狀態(tài)構(gòu)成一個馬爾可夫鏈。設(shè)則狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：120.60.50.40.5定義3稱條件概率為馬爾可夫鏈{Xn,n∈T}的n步轉(zhuǎn)移概率，并稱為馬爾可夫鏈的n步轉(zhuǎn)移矩陣。規(guī)定例題設(shè)馬爾可夫鏈{Xn,n∈T}有狀態(tài)空間I={0,1}，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為求和兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣P(2)解：結(jié)論：n步轉(zhuǎn)移矩陣例

設(shè)一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為則兩步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為定理1設(shè){Xn,n∈T}為馬爾可夫鏈，則對任意整數(shù)n≥0，0≤L<n和i,j∈I，n步轉(zhuǎn)移概率具有下列性質(zhì)：

Chapman-Kolmogorov方程（1）證明設(shè)質(zhì)點在數(shù)軸上移動，每次移動一格，向右移動的概率為p，向左移動的概率為q=1-p，這種運動稱為無限制隨機游動。以Xn表示時刻n質(zhì)點所處的位置，則{Xn,n∈T}是一個齊次馬爾可夫鏈，求一步和k步轉(zhuǎn)移概率。解：一步轉(zhuǎn)移概率為：例題：無限制隨機游動質(zhì)點在數(shù)軸上移動，規(guī)律同上例。當質(zhì)點一旦達到Xn=

0時，Xn+1就停留該0狀態(tài)，這種狀態(tài)稱為吸收態(tài)。{Xn,n∈T}是一個齊次馬爾可夫鏈，求一步轉(zhuǎn)移概率。解:例題：帶一個吸收壁的隨機游動311.平穩(wěn)分布

如為一狀態(tài)概率向量，P為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。若則稱X為馬爾可夫鏈的一個平穩(wěn)分布。

若隨機過程某時刻的狀態(tài)概率向量為平穩(wěn)分布，則稱過程處于平衡狀態(tài)。

一旦過程處于平衡狀態(tài)，則過程經(jīng)過一步或多步狀態(tài)轉(zhuǎn)移之后，其狀態(tài)概率分布保持不變，即，過程一旦處于平衡狀態(tài)后將永遠處于平衡狀態(tài)。平穩(wěn)分布與穩(wěn)態(tài)分布則稱為穩(wěn)態(tài)分布。

定義對于概率向量，如對任意的，均有此時，不管初始狀態(tài)概率向量如何，均有這也是稱為穩(wěn)態(tài)分布的理由。

設(shè)存在穩(wěn)態(tài)分布，則由于下式恒成立令，得即，有限狀態(tài)馬爾可夫鏈的穩(wěn)態(tài)分布如存在，那么它也是平穩(wěn)分布。1.對非周期的馬爾可夫鏈，穩(wěn)態(tài)分布必存在。兩個結(jié)論：2.對不可約非周期的馬爾可夫鏈，穩(wěn)態(tài)分布和平穩(wěn)分布相同且均唯一。

某計算機房的一臺計算機經(jīng)常出故障,研究者每隔15分鐘觀察一次計算機運行狀態(tài),收集了24小時的數(shù)據(jù)(共作97次觀察).用1表示正常狀態(tài),用0表示不正常狀態(tài),所得的數(shù)據(jù)序列如下:1110010011111110011110111111001111111110001101101分析狀態(tài)空間:I={0,1}.例111011011010111101110111101111110011011111100111馬爾可夫分析應(yīng)用實例96次狀態(tài)轉(zhuǎn)移的情況:因此,一步轉(zhuǎn)移概率可用頻率近似地表示為:解：上月購買A公司產(chǎn)品的顧客中，本月將有70%仍買A公司的產(chǎn)品，上月購買B公司產(chǎn)品的顧客中，本月將有10%轉(zhuǎn)買A公司產(chǎn)品；上月購買C公司產(chǎn)品的顧客中，本月將有5%轉(zhuǎn)買A公司產(chǎn)品。因此A公司產(chǎn)品本月占據(jù)市場分額為描述下月各公司產(chǎn)品占據(jù)市場分額的概率向量為描述一年后各公司產(chǎn)品占據(jù)市場分額的概率向量為P是正規(guī)隨機矩陣，故此概率向量近似于穩(wěn)態(tài)概率，求解方程例：（訂貨決策）某商店經(jīng)營一種易腐食品，出售后一個單位可獲利a＝5元。若當天售不出去，則每單位損失b＝3元。該店經(jīng)理統(tǒng)計了連續(xù)40天的需求情況（不是實際銷售量）?，F(xiàn)將所得數(shù)據(jù)列出如下：3,3,4,2,2,4,2,3,4,4,4,3,2,4,2,3,3,4,2,2,4,3,4,3,2,3,4,2,3,2,2,3,4,2,4,4,3,2,3,3經(jīng)理想應(yīng)用馬爾可夫鏈來預(yù)測需求量，確定明天進貨量。①已知當天需求量為3個單位，明日應(yīng)進貨多少單位？②若不知當天需求量，明日應(yīng)進貨多少單位？解:于是，此馬爾可夫的轉(zhuǎn)移概率矩陣求解方程組得穩(wěn)態(tài)概率向量用邊際分析思想解決問題用邊際分析思想解決問題例題:設(shè)有4個狀態(tài)的馬爾可夫鏈,它的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為:畫出其狀態(tài)傳遞圖,該過程是否具有周期性?解:所有狀態(tài)周期為2通過有實際背景的例子介紹馬氏鏈的基本概念和性質(zhì)例1.

人的健康狀況分為健康和疾病兩種狀態(tài)，設(shè)對特定年齡段的人，今年健康、明年保持健康狀態(tài)的概率為0.8,而今年患病、明年轉(zhuǎn)為健康狀態(tài)的概率為0.7，2.健康與疾病

人的健康狀態(tài)隨著時間的推移會隨機地發(fā)生轉(zhuǎn)變保險公司要對投保人未來的健康狀態(tài)作出估計,以制訂保險金和理賠金的數(shù)額

若某人投保時健康,問10年后他仍處于健康狀態(tài)的概率Xn+1只取決于Xn和pij,與Xn-1,

…無關(guān)狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無后效性

120.80.20.30.7n0a2(n)0a1(n)1設(shè)投保時健康給定a(0),預(yù)測a(n),n=1,2…設(shè)投保時疾病a2(n)1a1(n)0n

時狀態(tài)概率趨于穩(wěn)定值，穩(wěn)定值與初始狀態(tài)無關(guān)3…

0.778…

0.222…

∞

7/9

2/9

0.70.770.777…0.30.330.333…

7/9

2/9

狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移120.80.20.30.710.80.220.780.221230.10.0210.80.250.180.65例2.

健康和疾病狀態(tài)同上，Xn=1~健康,Xn=2~疾病p11=0.8,p12=0.18,p13=0.02死亡為第3種狀態(tài)，記Xn=3健康與疾病

p21=0.65,p22=0.25,p23=0.1p31=0,p32=0,p33=1n0123

a2(n)00.180.1890.1835

a3(n)00.020.0540.0880

a1(n)10.80.7570.7285

設(shè)投保時處于健康狀態(tài)，預(yù)測a(n),n=1,2…

不論初始狀態(tài)如何，最終都要轉(zhuǎn)到狀態(tài)3；一旦a1(k)=a2(k)=0,a3(k)=1,則對于n>k,a1(n)=0，a2(n)=0,a3(n)=1,即從狀態(tài)3不會轉(zhuǎn)移到其它狀態(tài)。狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移001

50

0.1293

0.0326

0.8381

馬氏鏈的基本方程基本方程馬氏鏈的兩個重要類型1.正則鏈

~從任一狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移能以正概率到達另外任一狀態(tài)（如例1）。w~穩(wěn)態(tài)概率馬氏鏈的兩個重要類型2.吸收鏈

~存在吸收狀態(tài)（一旦到達就不會離開的狀態(tài)i,pii=1）,且從任一非吸收狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移能以正概率到達吸收狀態(tài)（如例2）。有r個吸收狀態(tài)的吸收鏈的轉(zhuǎn)移概率陣標準形式R有非零元素yi~從第i個非吸收狀態(tài)出發(fā)，被某個吸收狀態(tài)吸收前的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)。

市場占有率模型設(shè)有甲、乙、丙三家企業(yè)，生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，共同供應(yīng)1000家用戶，各用戶在各企業(yè)間自由選購，但不超出這三家企業(yè)，也無新的客戶。假定在10月末經(jīng)過市場調(diào)查得知，甲、乙、丙三家企業(yè)擁有的客戶分別是：250戶，300戶，450戶，而11月份用戶可能的流動情況如表所示：從到甲乙丙

甲2301010250乙2025030300丙3010410450

2802704501000假定該產(chǎn)品用戶的流動按上述方向繼續(xù)變化下去(轉(zhuǎn)移概率不變)，預(yù)測12月份三家企業(yè)市場用戶各自的擁有量，并計算經(jīng)過一段時間后，三家企業(yè)在穩(wěn)定狀態(tài)下該種產(chǎn)品的市場占有率。解：第一步：根據(jù)調(diào)查資料，確定初始狀態(tài)概率向量，這里第二步：確定一次轉(zhuǎn)移概率矩陣，此例由用戶可能流動情況調(diào)查表可知，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為矩陣中每一行的元素，代表著各企業(yè)保持和失去用戶的概率，如第一行甲企業(yè)保持用戶的概率是0.92，轉(zhuǎn)移到乙、丙兩企業(yè)的概率都是0.04，甲企業(yè)失去用戶的概率是0.04＋0.04＝0.08。第三步：利用馬爾可夫鏈模型進行預(yù)測。顯然，12月份三家企業(yè)市場占有率為12月份三個企業(yè)市場用戶擁有量分別為：甲：1000

0.215＝215戶乙：10000.2088＝208.8戶丙：10000.3769＝376.9戶現(xiàn)在，假定該產(chǎn)品用戶的流動情況按上述方向繼續(xù)變化下去，我們來求三個企業(yè)的該種產(chǎn)品市場占有的穩(wěn)定狀態(tài)概率。

上述結(jié)果表明：如果甲、乙、丙三家企業(yè)的市場占有率照目前轉(zhuǎn)移概率狀態(tài)發(fā)展下去，那么經(jīng)過一段時間后，三企業(yè)的市場占有率分別為45.58％、15.98%和38.44%.顯然，對于乙、丙兩企業(yè)而言，必須迅速找出市場占有率下降的原因。最佳服務(wù)地點選擇

市汽車出租公司在甲、乙、丙三處開設(shè)租車還車處。顧客可在甲、乙、丙三處任意租車和還車。今公司準備在上述三處之一設(shè)立汽車維修保養(yǎng)廠。初步確定在汽車集中比較多的一處設(shè)置維修保養(yǎng)場。根據(jù)統(tǒng)計資料，顧客在上述三處還車的概率如表所示，試確定在何處設(shè)汽車維修保養(yǎng)場。還車的概率還車處租車處甲乙丙甲0.80.20乙0.200.8丙0.20.20.6解：由題意可知，該問題的轉(zhuǎn)移概率矩陣P為：成立

上式展開，得解上述聯(lián)立方程式，得故

由上述計算可知，在穩(wěn)定狀態(tài)汽車還到甲處得概率為0.5，即向甲處還車得概率占出租汽車得一半，其余乙、丙處總共也只有一半，因此汽車維修保養(yǎng)場設(shè)在甲處是最佳得選擇。3.鋼琴銷售的存貯策略

鋼琴銷售量很小，商店的庫存量不大以免積壓資金

一家商店根據(jù)經(jīng)驗估計，平均每周的鋼琴需求為1架存貯策略：每周末檢查庫存量，僅當庫存量為零時，才訂購3架供下周銷售；否則，不訂購。

估計在這種策略下失去銷售機會的可能性有多大，以及每周的平均銷售量是多少。

背景與問題問題分析

顧客的到來相互獨立，需求量近似服從波松分布，其參數(shù)由需求均值為每周1架確定，由此計算需求概率存貯策略是周末庫存量為零時訂購3架

周末的庫存量可能是0,1,2,3，周初的庫存量可能是1,2,3。用馬氏鏈描述不同需求導(dǎo)致的周初庫存狀態(tài)的變化。動態(tài)過程中每周銷售量不同，失去銷售機會（需求超過庫存）的概率不同。

可按穩(wěn)態(tài)情況（時間充分長以后）計算失去銷售機會的概率和每周的平均銷售量。

模型假設(shè)鋼琴每周需求量服從波松分布，均值為每周1架

存貯策略：當周末庫存量為零時，訂購3架，周初到貨；否則，不訂購。

以每周初的庫存量作為狀態(tài)變量，狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無后效性。

在穩(wěn)態(tài)情況下計算該存貯策略失去銷售機會的概率，和每周的平均銷售量。

模型建立

Dn~第n周需求量，均值為1的波松分布

Sn~第n周初庫存量(狀態(tài)變量)狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律

Dn0123>3P0.3680.3680.1840.0610.019狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣

……模型建立

狀態(tài)概率

馬氏鏈的基本方程正則鏈

穩(wěn)態(tài)概率分布w滿足wP=w已知初始狀態(tài)，可預(yù)測第n周初庫存量Sn=i的概率n

,狀態(tài)概率

第n周失去銷售機會的概率

n充分大時

模型求解

從長期看，失去銷售機會的可能性大約10%。1.估計在這種策略下失去銷售機會的可能性D

0123>3P0.3680.3680.1840.0610.019模型求解

第n周平均售量從長期看，每周的平均銷售量為0.857(架)

n充分大時

需求不超過存量,銷售需求需求超過存量,銷售存量

思考：為什么這個數(shù)值略小于每周平均需求量1(架)?2.估計這種策略下每周的平均銷售量敏感性分析

當平均需求在每周1(架)附近波動時，最終結(jié)果有多大變化。

設(shè)Dn服從均值為

的波松分布

狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣

0.80.91.01.11.2P0.0730.0890.1050.1220.139第n周(n充分大)失去銷售機會的概率

當平均需求增長（或減少）10%時，失去銷售機會的概率將增長（或減少）約12%

。4.基因遺傳背景

生物的外部表征由內(nèi)部相應(yīng)的基因決定。

基因分優(yōu)勢基因d和劣勢基因r兩種。

每種外部表征由兩個基因決定，每個基因可以是d,r中的任一個。形成3種基因類型：dd~優(yōu)種D,dr~混種H,rr~劣種R。

基因類型為優(yōu)種和混種,外部表征呈優(yōu)勢；基因類型為劣種,外部表征呈劣勢。生物繁殖時后代隨機地（等概率地）繼承父、母的各一個基因，形成它的兩個基因。父母的基因類型決定后代基因類型的概率完全優(yōu)勢基因遺傳父母基因類型決定后代各種基因類型的概率父母基因類型組合后代各種基因類型的概率DDRRDHDRHHHRDRH1000011/21/200101/41/21/401/21/23種基因類型：dd~優(yōu)種D,dr~混種H,rr~劣種R完全優(yōu)勢基因遺傳P(D

DH)=P(dd

dd,dr)=P(d

dd)P(d

dr)P(R

HH)=P(rr

dr,dr)=P(r

dr)P(r

dr)=11/2=1/2=1/21/2=1/4隨機繁殖

設(shè)群體中雄性、雌性的比例相等，基因類型的分布相同（記作D:H:R）

每一雄性個體以D:H:R的概率與一雌性個體交配，其后代隨機地繼承它們的各一個基因

設(shè)初始一代基因類型比例D:H:R=a:2b:c（a+2b+c=1),記p=a+b,q=b+c,

則群體中優(yōu)勢基因和劣勢基因比例d:r=p:q(p+q=1)。假設(shè)建模狀態(tài)Xn=1,2,3~第n代的一個體屬于D,H,R狀態(tài)概率ai(n)~第n代的一個體屬于狀態(tài)i(=1,2,3)的概率。討論基因類型的演變情況基因比例d:r=p:q轉(zhuǎn)移概率矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率隨機繁殖馬氏鏈模型自然界中通常p=q=1/2穩(wěn)態(tài)分布D:H:R=1/4:1/2:1/4基因類型為D和H,優(yōu)勢表征——綠色，基因類型為R,劣勢表征——黃色。解釋“豆科植物的莖，綠色:黃色=3:1”(D+H):R=3:1隨機繁殖近親繁殖在一對父母的大量后代中,雄雌隨機配對繁殖，討論一系列后代的基因類型的演變過程。狀態(tài)定義為配對的基因類型組合Xn=1,2,3,4,5,6~配對基因組合為DD,RR,DH,DR,HH,HR狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率馬氏鏈模型I0RQ狀態(tài)1(DD),2(RR)是吸收態(tài)，馬氏鏈是吸收鏈——不論初始如何，經(jīng)若干代近親繁殖，將全變?yōu)閮?yōu)種或劣種.計算從任一非吸收態(tài)出發(fā)，平均經(jīng)過幾代被吸收態(tài)吸收。純種(優(yōu)種和劣種)的某些品質(zhì)不如混種，近親繁殖下大約5~6代就需重新選種.近親繁殖5.等級結(jié)構(gòu)社會系統(tǒng)中的等級結(jié)構(gòu)，適當、穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的意義描述等級結(jié)構(gòu)的演變過程，預(yù)測未來的結(jié)構(gòu)；確定為達到某個理想結(jié)構(gòu)應(yīng)采取的策略。引起等級結(jié)構(gòu)變化的因素：

系統(tǒng)內(nèi)部等級間的轉(zhuǎn)移：提升和降級；

系統(tǒng)內(nèi)外的交流：調(diào)入和退出(退休、調(diào)離等).用馬氏鏈模型描述確定性轉(zhuǎn)移問題——轉(zhuǎn)移比例視為概率基本模型a(t)~等級結(jié)構(gòu)等級i=1,2,

k（如助教、講師、教授）數(shù)量分布n(t)=(n1(t),n2(t),

nk(t))ni(t)~t年屬于等級i