15.3 分式方程（解析版）

15.3分式方程1.理解和掌握分式方程的概念、分式方程的解法，能夠解分式方程；2.理解和掌握分式方程的增根的含義；3.理解和掌握列分式方程解應用題的方法、步驟和常見的等量關系。一、分式方程1.分式方程(1)概念：分母中含未知數的方程叫作分式方程。(2)特征：一是方程；二是分母中含未知數。因此，整式方程和分式方程的根本區(qū)別就在于分母中是否含未知數。2.分式方程的解法(1)解分式方程的基本思路：分式方程去分母，整式方程。(2)解分式方程的一般步驟：①去分母：在方程兩邊同乘最簡公分母，把分式方程轉化為整式方程。②解方程：解這個整式方程。③驗根：把整式方程的根代入最簡公分母，使最簡公分母不等于0的根是原方程的根；使最簡公分母等于0的根不是原方程的根，必須舍去。(3)分式方程驗根的方法：把解得的未知數的值代入最簡公分母較為簡捷，但是不能檢查解方程的過程中出現的計算錯誤，我們可以采用另一種驗根的方法，即把求得的未知數的值代入原方程進行檢驗，這種方法可以檢查解方程時有無計算錯誤。3.分式方程的增根(1)增根的定義：在方程兩邊都乘一個含未知數的最簡公分母時，擴大了未知數的取值范圍。有時可能產生不適合原方程的根，這種根叫方程的增根。(2)分式方程產生增根的原因：解方程時，總是將方程兩邊同乘以含有未知數的整式(即最簡公分母)，將分式方程化為整式方程，當所乘的這個整式不為零時，所得的整式方程與原方程同解；當所乘的整式為零時，原方程中的分式無意義，求出來的根就是增根。(3)增根的特點：增根是原分式方程轉化成整式方程后所產生的根，增根必定使各分式的最簡公分母的值等于0。題型一分式方程的定義在①，②，③，④中，其中關于的分式方程的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】直接根據分母中含有未知數的方程叫做分式方程進行判斷即可得到答案．【詳解】解：①，是分式，不是分式方程，故①錯誤，不符合題意；②是關于的分式方程，故②錯誤，不符合題意；③，是一元一次方程，不是分式方程，故③錯誤，不符合題意；④，是關于的分式方程，故④正確，符合題意；關于的分式方程的個數為1個，故選：A．1．已知關于的方程的解是正數，那么的取值范圍是（

）A．且 B． C．且 D．【答案】A【分析】先求解分式方程，根據“方程無增根”和“解是正數”即可求出的取值范圍．【詳解】解：去分母：解得：∵∴∵方程的解是正數∴∴綜上：且故選：A2．下列是分式方程的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據分母中含有未知數的方程叫做分式方程，對每個選項進行判斷，找出是等式，且分母含有未知數的方程，即可得解．【詳解】解：A、是一個代數式，不是方程，所以A不是分式方程；B、是一元一次方程，是整式方程，所以B不是分式方程；C、是一元一次方程，是整式方程，所以C不是分式方程；D、分母含有未知數，所以D是分式方程；故選：D．題型二解分式方程解方程：(1)(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】（1）解：，去分母得：，整理得：，解得：，經檢驗是分式方程的解；（2）解：，去分母得：，整理得：，解得：，經檢驗是分式方程的解．1．解方程：(1)(2)【答案】(1)；(2)無解【分析】（1）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】（1）解：，方程的兩邊同乘得，，解得，，檢驗，把代入最簡公分母，所以是原方程的解；（2）解：，方程的兩邊同乘得，，解得，，檢驗，把代入最簡公分母，所以是原方程的增根，∴原方程無解．2．解分式方程．(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）兩邊同時乘以，再解整式方程最后檢驗即可；（2）兩邊同時乘以，再解整式方程最后檢驗即可．【詳解】（1）解：方程兩邊都乘以，得：，解得：，檢驗：當時，，∴原分式方程的解是；（2）解：方程兩邊都乘以，得：，解這個方程，得．檢驗：時，，∴原分式方程的解是．題型三根據分式方程的解的情況求值關于x的方程：的解是負數，則a的取值范圍是（）A． B．且 C． D．且【答案】B【分析】方程去分母化為整式方程，求得，再根據方程的解是負數，可得，且，即可求解．【詳解】解：去分母得，，∴，∵方程的解是負數，且，∴，且，∴a的取值范圍是且．故選：B．1．已知關于x的方程的解是，則a的值為（）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】將代入方程，即可求a的值．【詳解】解：∵關于x的方程的解是，∴，解得，經檢驗是方程的解．故選：C．2．關于x的分式方程的解為正數，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】先解分式方程，再根據分式方程有解并解為正數得到關于m的不等式，然后求解即可．【詳解】解：原方程去分母，得，解得，∵原分式方程的解為正數，∴，解得且，故選：D．題型四分式方程的增根問題若關于的方程無解，則值為（

）A． B． C．3 D．11【答案】B【分析】將分式方程化成整式方程，求出使最簡公分母為0的x的值，代入整式方程或根據整式方程無解，進行計算即可；【詳解】解：將分式方程變?yōu)檎椒匠痰茫海淼茫?，∵原分式方程無解，∴，∴，解得：．故選B．1．關于的方程有增根，則增根可能是（

）A．1 B．3 C．－1 D．1或【答案】D【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，由分式方程有增根，確定出所求即可．【詳解】解：∵方程中各分式的最簡公分母為，分式方程有增根，∴，解得，化簡為，當時，，當時，，綜上，增根可能是1或．故選：D．2．若方程無解，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，由分式方程無解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【詳解】解：去分母得：，由分式方程無解，得到，即，把代入，得：．故選：A．二、分式方程的應用1.分式方程的應用解題步驟：分式方程的應用主要是列方程解應用題，它與列一元一次方程解應用題的思路和方法基本相同。簡單地說就是“審、找、設、列、解、驗、答”。①審：審清題意。②找：找出相等關系。③設：設未知數。④列：列出分式方程。⑤解：解這個分式方程。⑥驗：既要檢驗所得未知數的值是不是所列分式方程的解，又要檢驗其是否符合題意。⑦答：寫出答案。2.構建分式方程的方法(1)在實際問題中，有時題目中包含多個相等的數量關系，在列方程時一定要選擇一個能夠體現全部(或大部分)題意的相等關系列方程。(2)在一些實際問題中，有時直接設出題中所求的未知數可能比較麻煩，需要間接地設出未知數，或設出一個未知數不好表示相等關系，還可設多個未知數，即設輔助未知數。3.用分式方程解應用題的常見題型(1)行程問題：有路程、時間和速度3個量，其關系式是“路程=速度×時間”，一般是以時間為等量關系。(2)工程問題：有工作效率、工作時間和工作總量3個量，其關系式是“工作總量=工作效率×工作時間”，一般以工作總量為等量關系。(3)增長率問題：其等量關系式是“原量×(1+增長率)=增長后的量，原量×(1-減少率)=減少后的量”。題型五列分式方程嘉淇一家自駕游去某地旅行，導航系統(tǒng)推薦了兩條線路，線路一全程75km，線路二全程90km，汽車在線路二上行駛的平均速度是線路一的1.8倍，線路二的用時預計比線路一少半小時．設汽車在線路一上行駛的平均速度為xkm/h，則下面所列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設汽車在線路一上行駛的平均速度為xkm/h，則在線路二上行駛的平均速度為km/h，根據線路二的用時預計比線路一用時少半小時，列方程即可．【詳解】設汽車在線路一上行駛的平均速度為xkm/h，則在線路二上行駛的平均速度為km/h，由題意得：，故選：D．1．某車間加工600個零件后采用了新工藝，工效提高了50%，這樣加工同樣多的零件少用5h，求采用新工藝前、后每小時分別加工多少個零件？若設采用新工藝前每小時加工x個零件，則可列方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】加工600個零件，新工藝前加工時間為；新工藝加工時間為，然后根據題意列出方程即可．【詳解】解：加工600個零件，新工藝前加工時間為；新工藝加工時間為，根據題意得．故選：B．2．“十一”黃金周，幾名同學乘坐一輛客車前去“方特歡樂世界”游玩，客車的車費為180元，出發(fā)時，又增加了兩名同學，結果每個同學比原來少分攤了3元車費，若設實際參加游覽的學生共有人，則所列方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設實際參加游覽的同學共人，則實際每人分擔的車費為：元，原來每名同學分擔的車費為：元，根據每個同學比原來少分攤了3元車費即可得到等量關系從而列出方程．【詳解】解：設原來參加游覽的同學共人，根據題意可得：，故選：D．題型六分式方程的應用為了改善錦州的交通狀況，政府投資修建北外環(huán)公路．某筑路工程公司中標了一段公路的路基工程，計劃在規(guī)定時間完成．為了向“七，一”獻禮，公司決定加快工程進度實際平均每天完成的工程量是原計劃的倍，結果提前天完成任務，那么該筑路工程公司實際每天完成路基多少米？（要求用方程求解）【答案】米【分析】設該筑路工程公司實際每天完成路基米，由實際天數原計劃天數列方程，解方程可求解．【詳解】解：設該筑路工程公司實際每天完成路基米，由題意得：，解得，經檢驗：是分式方程的解，答：設該筑路工程公司實際每天完成路基米．1．在甲、乙兩個社區(qū)各設立了一個核酸檢測點，經統(tǒng)計，甲社區(qū)檢測點平均每小時檢測的人數是乙社區(qū)檢測點平均每小時人數的1.2倍，檢測1200人，甲檢測點比乙檢測點少用1小時完成．求甲檢測點平均每小時核酸檢測的人數？【答案】240人【分析】設乙社區(qū)檢測點每小時檢測x人，則甲社區(qū)檢測點每小時檢測人數人，根據檢測時間檢測總人數每小時檢測人數列分式方程，求解檢驗后即可得到答案．【詳解】解：設原計劃每小時檢測x人，則實際每小時檢測人數人，根據題意得：，解得：，經檢驗，是原方程的解，且符合題意，∴甲檢測點平均每小時核酸檢測的人數為：人，答：甲檢測點平均每小時核酸檢測的人數為240人．2．“孔子周游列國”是流傳很廣的故事．有一次他和弟子顏回等到離所住驛站里的書院講學，弟子們步行出發(fā)小時后，孔子坐牛車出發(fā)，已知牛車的速度是步行的倍，結果孔子和弟子們同時到達書院，求孔子及其弟子們的速度各是多少里小時．【答案】弟子們步行速度為里小時，孔子坐牛車速度是里小時【分析】設弟子們步行的速度為每小時里，則孔子坐牛車的速度是每小時里，根據題意列出分式方程，解方程即可求解．【詳解】解：設弟子們步行的速度為每小時里，則孔子坐牛車的速度是每小時里，由題意可得：解得，，經檢驗是原分式方程的解，當時，．答：弟子們步行速度為里小時，孔子坐牛車速度是里小時一、單選題1．下列方程中，不是分式方程的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據分式方程的定義逐項判斷分母中是否含有未知數即可.【詳解】A、分母中含有未知數，是分式方程，故本選項不符合題意；B、分母中含有未知數，是分式方程，故本選項不符合題意；C、分母中含有未知數，是分式方程，故本選項不符合題意；D、分母中不含未知數，不是分式方程，故本選項符合題意.故選：D.2．在正數范圍內定義一種運算“”，共規(guī)則為，如，根據這個規(guī)則，則方程的解為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據新定義列出方程，再計算即可．【詳解】∵，∴，，解得，經檢驗是原方程的根，故選：A．3．關于的分式方程的解為負數，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，表示出整式方程的解，根據解為負數及分式方程分母不為0求出的范圍即可．【詳解】解：去分母得：，解得：，由題意得：，解得：又因為，即所以，綜上所述：且故選D．4．關于x的分式方程有增根，則m的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】去分母，分式方程化為整式方程，由增根的定義，則整式方程根為，代入求解參數值．【詳解】解：分式方程變形，得，把代入，得；故選：B．5．某市為治理污水，需要鋪設一段全長為的污水排放管道，為盡量減少施工隊對城市交通所造成的影響，實際施工時每天的工作效率比原計劃提高，結果提前10天完成這一任務，設原計劃每天鋪設管道，根據題意可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由實際及原計劃工作效率間的關系，可得出實際施工時每天鋪設管道，利用工作時間工作總量工作效率，結合實際比原計劃提前10天完成任務，可得出關于的分式方程，此題得解．【詳解】解：實際施工時每天的工作效率比原計劃提高，且原計劃每天鋪設管道，實際施工時每天鋪設管道，根據題意得：，故選：D．6．若，則我們把稱為a的“友好數”，如3的“友好數”是，的“友好數”是．下列說法①4的“友好數”是；②若實數a的“友好數”與其倒數相等，則；③已知，是的“友好數”，是的“友好數”，…，依此類推，則．以上說法中正確的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】運用定義對各選項進行計算、推導、辨別．【詳解】解：，的“友好數”是,說法①符合題意；解方程，解得：，經檢驗是該方程的根，實數a的“友好數”與其倒數相等，則，說法②符合題意；，，，，，按照3，，，，3，4次一循環(huán)周期的規(guī)律出現，，，，，，說法③不符合題意；故選：C．二、填空題7．關于x的分式方程的解小于1，則a的取值范圍是．【答案】【分析】先將方程兩邊都乘以，將分式方程化為整式方程，再根據分式有意義的條件得出，以及該分式方程的解小于1，列出不等式，即可求解．【詳解】解：兩邊都乘以，得，移項，得：，合并同類項，得：，化系數為1，得：，∵，∴，解得：，∵該分式方程的解小于1，∴，解得：，綜上：a的取值范圍是．故答案為：．8．若關于x的分式方程的解是非負數解，且a滿足不等式，則所有滿足條件的整數a的值之和是．【答案】【分析】先解分式方程，再根據關于x的分式方程的解是非負數解，可得且，再根據，求出a的取值范圍，進一步可得滿足條件的整數a的值，再求和即可．【詳解】解：去分母，得，解得，∵關于x的分式方程的解是非負數解，∴且，解得且，∵，∴，∴a的取值范圍是且，∴滿足條件的整數a的值有，∴，故答案為：．9．觀察下列方程及其解：①，②，③．（①由，得或，②由，得或，③由，得或．）找出其中的規(guī)律，求關于x的方程（n為正整數）的解是．【答案】或【分析】先寫出第個方程及其解，將所求方程轉化為，再將作為整體寫出方程的解即可．【詳解】解：根據題意，得：第個方程為，解為：或，方程可化為：即，或，解得：或．故答案為：或．10．若關于的不等式組有且僅有3個整數解，關于的方程的解為正整數，則符合條件的所有整數的和為．【答案】【分析】根據含參數一元一次不等式組的解法得到的范圍，再由關于的方程的解為正整數，求出得到的范圍，從而得到答案．【詳解】解：，由①得；由②得；關于的不等式組有且僅有3個整數解，，即；由可知，當為整數時，取，解關于的方程得，關于的方程的解為正整數，當時，，滿足題意；當時，，不滿足題意；當時，，滿足題意；則符合條件的所有整數的和為，故答案為：．11．為了改善生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，某村計劃在荒坡上種4000棵樹，后來由于青年志愿者的支援，每日比原計劃多種，結果提前10天完成任務，那么原計劃每天種棵樹．【答案】80【分析】設該村原計劃每天種樹x棵，則實際每天種數棵，根據“工作時間=工作總量÷工作效率”結合實際比原計劃提前10天完成任務，即可得出關于x的分式方程求解即可．【詳解】解：設該村原計劃每天種樹x棵，則實際每天種數棵，依題意得：，解得：，經檢驗，是原方程的解且符合題意．故答案為：80．12．已知關于x的分式方程．（1）若，則x＝．（2）若該方程的解為負整數，整數m的值有個．【答案】43【分析】（1）將代入分式方程，解方程，檢驗即可解答．（2）去分母得，根據題意得到，解答即可．【詳解】（1）解：將代入，得，，方程兩邊同乘以，，去括號得，合并同類項，，系數化為一，檢驗：把代入得：，∴是原分式方程的根（2）解：兩邊同乘以，去分母得，去括號得，合并同類項，，∵是負整數，∴是4的約數，∴，當時，當時，當時，∴，∴整數m的值有3個．三、解答題13．解方程：(1)；(2)．【答案】(1)無解；(2)【分析】（1）將分式方程轉化為整式方程，求解后進行檢驗即可；（2）將分式方程轉化為整式方程，求解后進行檢驗即可．【詳解】（1）解：方程兩邊同乘，得：，解得：；當時，，∴原方程無解．（2）方程兩邊同時乘以，得：，去括號，得：，移項，合并，得：，系數化1，得：；經檢驗，是原方程的解．∴原方程的解為．14．某校開展了主題為“粽葉飄香，自包米辣．共度端午，互贈祝福”活動，讓住校生親身體驗包粽子的實踐活動．學校決定用1800元購進包粽子的兩種原材料，臘肉丁陷和綠豆花生餡的粽子，已知用來購買兩種餡的費用一樣，臘肉丁餡粽子比綠豆花生餡每個粽子成本價高20%，兩次共包粽子1100個，求臘肉丁陷的粽子每個成本價是多少元？【答案】臘肉丁餡的粽子每個成本價是元．【分析】設綠豆花生餡的粽子每個成本價是x元，則臘肉丁餡的粽子每個成本價是元，利用數量=總價÷單價，結合兩次共包粽子1100個，可列出關于x的分式方程，解之經檢驗后，可得出綠豆花生餡的粽子每個成本價，再將其代入中，即可求出臘肉丁餡的粽子每個成本價．【詳解】解：（元）．設綠豆花生餡的粽子每個成本價是x元，則臘肉丁餡的粽子每個成本價是元，根據題意得：，解得：，經檢驗，是所列方程的解，且符合題意，∴．答：臘肉丁餡的粽子每個成本價是元．15．某中學準備從體育用品商場一次性購買若干個足球和籃球，每個足球的價格都相同，每個籃球的價格也相同．已知籃球的單價比足球的單價的2倍少30元，用1200元購買足球的數量是用900元購買籃球數量的2倍．(1)足球和籃球的單價各是多少元？(2)學校要一次性購買足球和籃球共200個，但要求總費用不超過15500元，學校最多可購買多少個籃球？【答案】(1)足球的單價為元，籃球的單價為元(2)學校最多可購買116個籃球【分析】（1）設足球的單價為元，根據籃球的單價比足球的單價的2倍少30元，用1200元購買足球的數量是用900元購買籃球數量的2倍，列出分式方程進行求解即可；（2）設購買籃球個，根據總費用不超過15500元，列出不等式進行求解即可．【詳解】（1）解：設足球的單價為元，則籃球的單價為：元，由題意，得：，解得：；經檢驗，是原方程的解，∴，答：足球的單價為元，籃球的單價為元；（2）設購買籃球個，則購買足球個，由題意，得：，解得：，∵為整數，∴的最大值為116；答：學校最多可購買116個籃球．16．計算題(1)解不等式組．(2)把下列各式因式分解：①；②．(3)先化簡，再求值：，其中．(4)當m為何值時，關于x的方程無解．【答案】(1)(2)①；②(3)，4(4)【分析】（1）分別求出每個不等式的解集，繼而得到不等式組的解集；（2）①先提公因式，再利用完全平