15.3 分式方程（解析版）

15.3分式方程1.理解和掌握分式方程的概念、分式方程的解法，能夠解分式方程；2.理解和掌握分式方程的增根的含義；3.理解和掌握列分式方程解應(yīng)用題的方法、步驟和常見的等量關(guān)系。一、分式方程1.分式方程(1)概念：分母中含未知數(shù)的方程叫作分式方程。(2)特征：一是方程；二是分母中含未知數(shù)。因此，整式方程和分式方程的根本區(qū)別就在于分母中是否含未知數(shù)。2.分式方程的解法(1)解分式方程的基本思路：分式方程去分母，整式方程。(2)解分式方程的一般步驟：①去分母：在方程兩邊同乘最簡公分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。②解方程：解這個整式方程。③驗根：把整式方程的根代入最簡公分母，使最簡公分母不等于0的根是原方程的根；使最簡公分母等于0的根不是原方程的根，必須舍去。(3)分式方程驗根的方法：把解得的未知數(shù)的值代入最簡公分母較為簡捷，但是不能檢查解方程的過程中出現(xiàn)的計算錯誤，我們可以采用另一種驗根的方法，即把求得的未知數(shù)的值代入原方程進(jìn)行檢驗，這種方法可以檢查解方程時有無計算錯誤。3.分式方程的增根(1)增根的定義：在方程兩邊都乘一個含未知數(shù)的最簡公分母時，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍。有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫方程的增根。(2)分式方程產(chǎn)生增根的原因：解方程時，總是將方程兩邊同乘以含有未知數(shù)的整式(即最簡公分母)，將分式方程化為整式方程，當(dāng)所乘的這個整式不為零時，所得的整式方程與原方程同解；當(dāng)所乘的整式為零時，原方程中的分式無意義，求出來的根就是增根。(3)增根的特點：增根是原分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程后所產(chǎn)生的根，增根必定使各分式的最簡公分母的值等于0。題型一分式方程的定義在①，②，③，④中，其中關(guān)于的分式方程的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】直接根據(jù)分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】解：①，是分式，不是分式方程，故①錯誤，不符合題意；②是關(guān)于的分式方程，故②錯誤，不符合題意；③，是一元一次方程，不是分式方程，故③錯誤，不符合題意；④，是關(guān)于的分式方程，故④正確，符合題意；關(guān)于的分式方程的個數(shù)為1個，故選：A．1．已知關(guān)于的方程的解是正數(shù)，那么的取值范圍是（

）A．且 B． C．且 D．【答案】A【分析】先求解分式方程，根據(jù)“方程無增根”和“解是正數(shù)”即可求出的取值范圍．【詳解】解：去分母：解得：∵∴∵方程的解是正數(shù)∴∴綜上：且故選：A2．下列是分式方程的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程，對每個選項進(jìn)行判斷，找出是等式，且分母含有未知數(shù)的方程，即可得解．【詳解】解：A、是一個代數(shù)式，不是方程，所以A不是分式方程；B、是一元一次方程，是整式方程，所以B不是分式方程；C、是一元一次方程，是整式方程，所以C不是分式方程；D、分母含有未知數(shù)，所以D是分式方程；故選：D．題型二解分式方程解方程：(1)(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】（1）解：，去分母得：，整理得：，解得：，經(jīng)檢驗是分式方程的解；（2）解：，去分母得：，整理得：，解得：，經(jīng)檢驗是分式方程的解．1．解方程：(1)(2)【答案】(1)；(2)無解【分析】（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】（1）解：，方程的兩邊同乘得，，解得，，檢驗，把代入最簡公分母，所以是原方程的解；（2）解：，方程的兩邊同乘得，，解得，，檢驗，把代入最簡公分母，所以是原方程的增根，∴原方程無解．2．解分式方程．(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）兩邊同時乘以，再解整式方程最后檢驗即可；（2）兩邊同時乘以，再解整式方程最后檢驗即可．【詳解】（1）解：方程兩邊都乘以，得：，解得：，檢驗：當(dāng)時，，∴原分式方程的解是；（2）解：方程兩邊都乘以，得：，解這個方程，得．檢驗：時，，∴原分式方程的解是．題型三根據(jù)分式方程的解的情況求值關(guān)于x的方程：的解是負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是（）A． B．且 C． D．且【答案】B【分析】方程去分母化為整式方程，求得，再根據(jù)方程的解是負(fù)數(shù)，可得，且，即可求解．【詳解】解：去分母得，，∴，∵方程的解是負(fù)數(shù)，且，∴，且，∴a的取值范圍是且．故選：B．1．已知關(guān)于x的方程的解是，則a的值為（）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】將代入方程，即可求a的值．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程的解是，∴，解得，經(jīng)檢驗是方程的解．故選：C．2．關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】先解分式方程，再根據(jù)分式方程有解并解為正數(shù)得到關(guān)于m的不等式，然后求解即可．【詳解】解：原方程去分母，得，解得，∵原分式方程的解為正數(shù)，∴，解得且，故選：D．題型四分式方程的增根問題若關(guān)于的方程無解，則值為（

）A． B． C．3 D．11【答案】B【分析】將分式方程化成整式方程，求出使最簡公分母為0的x的值，代入整式方程或根據(jù)整式方程無解，進(jìn)行計算即可；【詳解】解：將分式方程變?yōu)檎椒匠痰茫海淼茫海咴质椒匠虩o解，∴，∴，解得：．故選B．1．關(guān)于的方程有增根，則增根可能是（

）A．1 B．3 C．－1 D．1或【答案】D【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根，確定出所求即可．【詳解】解：∵方程中各分式的最簡公分母為，分式方程有增根，∴，解得，化簡為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，增根可能是1或．故選：D．2．若方程無解，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程無解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【詳解】解：去分母得：，由分式方程無解，得到，即，把代入，得：．故選：A．二、分式方程的應(yīng)用1.分式方程的應(yīng)用解題步驟：分式方程的應(yīng)用主要是列方程解應(yīng)用題，它與列一元一次方程解應(yīng)用題的思路和方法基本相同。簡單地說就是“審、找、設(shè)、列、解、驗、答”。①審：審清題意。②找：找出相等關(guān)系。③設(shè)：設(shè)未知數(shù)。④列：列出分式方程。⑤解：解這個分式方程。⑥驗：既要檢驗所得未知數(shù)的值是不是所列分式方程的解，又要檢驗其是否符合題意。⑦答：寫出答案。2.構(gòu)建分式方程的方法(1)在實際問題中，有時題目中包含多個相等的數(shù)量關(guān)系，在列方程時一定要選擇一個能夠體現(xiàn)全部(或大部分)題意的相等關(guān)系列方程。(2)在一些實際問題中，有時直接設(shè)出題中所求的未知數(shù)可能比較麻煩，需要間接地設(shè)出未知數(shù)，或設(shè)出一個未知數(shù)不好表示相等關(guān)系，還可設(shè)多個未知數(shù)，即設(shè)輔助未知數(shù)。3.用分式方程解應(yīng)用題的常見題型(1)行程問題：有路程、時間和速度3個量，其關(guān)系式是“路程=速度×?xí)r間”，一般是以時間為等量關(guān)系。(2)工程問題：有工作效率、工作時間和工作總量3個量，其關(guān)系式是“工作總量=工作效率×工作時間”，一般以工作總量為等量關(guān)系。(3)增長率問題：其等量關(guān)系式是“原量×(1+增長率)=增長后的量，原量×(1-減少率)=減少后的量”。題型五列分式方程嘉淇一家自駕游去某地旅行，導(dǎo)航系統(tǒng)推薦了兩條線路，線路一全程75km，線路二全程90km，汽車在線路二上行駛的平均速度是線路一的1.8倍，線路二的用時預(yù)計比線路一少半小時．設(shè)汽車在線路一上行駛的平均速度為xkm/h，則下面所列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)汽車在線路一上行駛的平均速度為xkm/h，則在線路二上行駛的平均速度為km/h，根據(jù)線路二的用時預(yù)計比線路一用時少半小時，列方程即可．【詳解】設(shè)汽車在線路一上行駛的平均速度為xkm/h，則在線路二上行駛的平均速度為km/h，由題意得：，故選：D．1．某車間加工600個零件后采用了新工藝，工效提高了50%，這樣加工同樣多的零件少用5h，求采用新工藝前、后每小時分別加工多少個零件？若設(shè)采用新工藝前每小時加工x個零件，則可列方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】加工600個零件，新工藝前加工時間為；新工藝加工時間為，然后根據(jù)題意列出方程即可．【詳解】解：加工600個零件，新工藝前加工時間為；新工藝加工時間為，根據(jù)題意得．故選：B．2．“十一”黃金周，幾名同學(xué)乘坐一輛客車前去“方特歡樂世界”游玩，客車的車費為180元，出發(fā)時，又增加了兩名同學(xué)，結(jié)果每個同學(xué)比原來少分?jǐn)偭?元車費，若設(shè)實際參加游覽的學(xué)生共有人，則所列方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)實際參加游覽的同學(xué)共人，則實際每人分擔(dān)的車費為：元，原來每名同學(xué)分擔(dān)的車費為：元，根據(jù)每個同學(xué)比原來少分?jǐn)偭?元車費即可得到等量關(guān)系從而列出方程．【詳解】解：設(shè)原來參加游覽的同學(xué)共人，根據(jù)題意可得：，故選：D．題型六分式方程的應(yīng)用為了改善錦州的交通狀況，政府投資修建北外環(huán)公路．某筑路工程公司中標(biāo)了一段公路的路基工程，計劃在規(guī)定時間完成．為了向“七，一”獻(xiàn)禮，公司決定加快工程進(jìn)度實際平均每天完成的工程量是原計劃的倍，結(jié)果提前天完成任務(wù)，那么該筑路工程公司實際每天完成路基多少米？（要求用方程求解）【答案】米【分析】設(shè)該筑路工程公司實際每天完成路基米，由實際天數(shù)原計劃天數(shù)列方程，解方程可求解．【詳解】解：設(shè)該筑路工程公司實際每天完成路基米，由題意得：，解得，經(jīng)檢驗：是分式方程的解，答：設(shè)該筑路工程公司實際每天完成路基米．1．在甲、乙兩個社區(qū)各設(shè)立了一個核酸檢測點，經(jīng)統(tǒng)計，甲社區(qū)檢測點平均每小時檢測的人數(shù)是乙社區(qū)檢測點平均每小時人數(shù)的1.2倍，檢測1200人，甲檢測點比乙檢測點少用1小時完成．求甲檢測點平均每小時核酸檢測的人數(shù)？【答案】240人【分析】設(shè)乙社區(qū)檢測點每小時檢測x人，則甲社區(qū)檢測點每小時檢測人數(shù)人，根據(jù)檢測時間檢測總?cè)藬?shù)每小時檢測人數(shù)列分式方程，求解檢驗后即可得到答案．【詳解】解：設(shè)原計劃每小時檢測x人，則實際每小時檢測人數(shù)人，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，∴甲檢測點平均每小時核酸檢測的人數(shù)為：人，答：甲檢測點平均每小時核酸檢測的人數(shù)為240人．2．“孔子周游列國”是流傳很廣的故事．有一次他和弟子顏回等到離所住驛站里的書院講學(xué)，弟子們步行出發(fā)小時后，孔子坐牛車出發(fā)，已知牛車的速度是步行的倍，結(jié)果孔子和弟子們同時到達(dá)書院，求孔子及其弟子們的速度各是多少里小時．【答案】弟子們步行速度為里小時，孔子坐牛車速度是里小時【分析】設(shè)弟子們步行的速度為每小時里，則孔子坐牛車的速度是每小時里，根據(jù)題意列出分式方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)弟子們步行的速度為每小時里，則孔子坐牛車的速度是每小時里，由題意可得：解得，，經(jīng)檢驗是原分式方程的解，當(dāng)時，．答：弟子們步行速度為里小時，孔子坐牛車速度是里小時一、單選題1．下列方程中，不是分式方程的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式方程的定義逐項判斷分母中是否含有未知數(shù)即可.【詳解】A、分母中含有未知數(shù)，是分式方程，故本選項不符合題意；B、分母中含有未知數(shù)，是分式方程，故本選項不符合題意；C、分母中含有未知數(shù)，是分式方程，故本選項不符合題意；D、分母中不含未知數(shù)，不是分式方程，故本選項符合題意.故選：D.2．在正數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算“”，共規(guī)則為，如，根據(jù)這個規(guī)則，則方程的解為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)新定義列出方程，再計算即可．【詳解】∵，∴，，解得，經(jīng)檢驗是原方程的根，故選：A．3．關(guān)于的分式方程的解為負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，表示出整式方程的解，根據(jù)解為負(fù)數(shù)及分式方程分母不為0求出的范圍即可．【詳解】解：去分母得：，解得：，由題意得：，解得：又因為，即所以，綜上所述：且故選D．4．關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】去分母，分式方程化為整式方程，由增根的定義，則整式方程根為，代入求解參數(shù)值．【詳解】解：分式方程變形，得，把代入，得；故選：B．5．某市為治理污水，需要鋪設(shè)一段全長為的污水排放管道，為盡量減少施工隊對城市交通所造成的影響，實際施工時每天的工作效率比原計劃提高，結(jié)果提前10天完成這一任務(wù)，設(shè)原計劃每天鋪設(shè)管道，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由實際及原計劃工作效率間的關(guān)系，可得出實際施工時每天鋪設(shè)管道，利用工作時間工作總量工作效率，結(jié)合實際比原計劃提前10天完成任務(wù)，可得出關(guān)于的分式方程，此題得解．【詳解】解：實際施工時每天的工作效率比原計劃提高，且原計劃每天鋪設(shè)管道，實際施工時每天鋪設(shè)管道，根據(jù)題意得：，故選：D．6．若，則我們把稱為a的“友好數(shù)”，如3的“友好數(shù)”是，的“友好數(shù)”是．下列說法①4的“友好數(shù)”是；②若實數(shù)a的“友好數(shù)”與其倒數(shù)相等，則；③已知，是的“友好數(shù)”，是的“友好數(shù)”，…，依此類推，則．以上說法中正確的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】運(yùn)用定義對各選項進(jìn)行計算、推導(dǎo)、辨別．【詳解】解：，的“友好數(shù)”是,說法①符合題意；解方程，解得：，經(jīng)檢驗是該方程的根，實數(shù)a的“友好數(shù)”與其倒數(shù)相等，則，說法②符合題意；，，，，，按照3，，，，3，4次一循環(huán)周期的規(guī)律出現(xiàn)，，，，，，說法③不符合題意；故選：C．二、填空題7．關(guān)于x的分式方程的解小于1，則a的取值范圍是．【答案】【分析】先將方程兩邊都乘以，將分式方程化為整式方程，再根據(jù)分式有意義的條件得出，以及該分式方程的解小于1，列出不等式，即可求解．【詳解】解：兩邊都乘以，得，移項，得：，合并同類項，得：，化系數(shù)為1，得：，∵，∴，解得：，∵該分式方程的解小于1，∴，解得：，綜上：a的取值范圍是．故答案為：．8．若關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)解，且a滿足不等式，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是．【答案】【分析】先解分式方程，再根據(jù)關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)解，可得且，再根據(jù)，求出a的取值范圍，進(jìn)一步可得滿足條件的整數(shù)a的值，再求和即可．【詳解】解：去分母，得，解得，∵關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)解，∴且，解得且，∵，∴，∴a的取值范圍是且，∴滿足條件的整數(shù)a的值有，∴，故答案為：．9．觀察下列方程及其解：①，②，③．（①由，得或，②由，得或，③由，得或．）找出其中的規(guī)律，求關(guān)于x的方程（n為正整數(shù)）的解是．【答案】或【分析】先寫出第個方程及其解，將所求方程轉(zhuǎn)化為，再將作為整體寫出方程的解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得：第個方程為，解為：或，方程可化為：即，或，解得：或．故答案為：或．10．若關(guān)于的不等式組有且僅有3個整數(shù)解，關(guān)于的方程的解為正整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)的和為．【答案】【分析】根據(jù)含參數(shù)一元一次不等式組的解法得到的范圍，再由關(guān)于的方程的解為正整數(shù)，求出得到的范圍，從而得到答案．【詳解】解：，由①得；由②得；關(guān)于的不等式組有且僅有3個整數(shù)解，，即；由可知，當(dāng)為整數(shù)時，取，解關(guān)于的方程得，關(guān)于的方程的解為正整數(shù)，當(dāng)時，，滿足題意；當(dāng)時，，不滿足題意；當(dāng)時，，滿足題意；則符合條件的所有整數(shù)的和為，故答案為：．11．為了改善生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，某村計劃在荒坡上種4000棵樹，后來由于青年志愿者的支援，每日比原計劃多種，結(jié)果提前10天完成任務(wù)，那么原計劃每天種棵樹．【答案】80【分析】設(shè)該村原計劃每天種樹x棵，則實際每天種數(shù)棵，根據(jù)“工作時間=工作總量÷工作效率”結(jié)合實際比原計劃提前10天完成任務(wù)，即可得出關(guān)于x的分式方程求解即可．【詳解】解：設(shè)該村原計劃每天種樹x棵，則實際每天種數(shù)棵，依題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解且符合題意．故答案為：80．12．已知關(guān)于x的分式方程．（1）若，則x＝．（2）若該方程的解為負(fù)整數(shù)，整數(shù)m的值有個．【答案】43【分析】（1）將代入分式方程，解方程，檢驗即可解答．（2）去分母得，根據(jù)題意得到，解答即可．【詳解】（1）解：將代入，得，，方程兩邊同乘以，，去括號得，合并同類項，，系數(shù)化為一，檢驗：把代入得：，∴是原分式方程的根（2）解：兩邊同乘以，去分母得，去括號得，合并同類項，，∵是負(fù)整數(shù)，∴是4的約數(shù)，∴，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，∴，∴整數(shù)m的值有3個．三、解答題13．解方程：(1)；(2)．【答案】(1)無解；(2)【分析】（1）將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解后進(jìn)行檢驗即可；（2）將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解后進(jìn)行檢驗即可．【詳解】（1）解：方程兩邊同乘，得：，解得：；當(dāng)時，，∴原方程無解．（2）方程兩邊同時乘以，得：，去括號，得：，移項，合并，得：，系數(shù)化1，得：；經(jīng)檢驗，是原方程的解．∴原方程的解為．14．某校開展了主題為“粽葉飄香，自包米辣．共度端午，互贈祝福”活動，讓住校生親身體驗包粽子的實踐活動．學(xué)校決定用1800元購進(jìn)包粽子的兩種原材料，臘肉丁陷和綠豆花生餡的粽子，已知用來購買兩種餡的費用一樣，臘肉丁餡粽子比綠豆花生餡每個粽子成本價高20%，兩次共包粽子1100個，求臘肉丁陷的粽子每個成本價是多少元？【答案】臘肉丁餡的粽子每個成本價是元．【分析】設(shè)綠豆花生餡的粽子每個成本價是x元，則臘肉丁餡的粽子每個成本價是元，利用數(shù)量=總價÷單價，結(jié)合兩次共包粽子1100個，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出綠豆花生餡的粽子每個成本價，再將其代入中，即可求出臘肉丁餡的粽子每個成本價．【詳解】解：（元）．設(shè)綠豆花生餡的粽子每個成本價是x元，則臘肉丁餡的粽子每個成本價是元，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是所列方程的解，且符合題意，∴．答：臘肉丁餡的粽子每個成本價是元．15．某中學(xué)準(zhǔn)備從體育用品商場一次性購買若干個足球和籃球，每個足球的價格都相同，每個籃球的價格也相同．已知籃球的單價比足球的單價的2倍少30元，用1200元購買足球的數(shù)量是用900元購買籃球數(shù)量的2倍．(1)足球和籃球的單價各是多少元？(2)學(xué)校要一次性購買足球和籃球共200個，但要求總費用不超過15500元，學(xué)校最多可購買多少個籃球？【答案】(1)足球的單價為元，籃球的單價為元(2)學(xué)校最多可購買116個籃球【分析】（1）設(shè)足球的單價為元，根據(jù)籃球的單價比足球的單價的2倍少30元，用1200元購買足球的數(shù)量是用900元購買籃球數(shù)量的2倍，列出分式方程進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)購買籃球個，根據(jù)總費用不超過15500元，列出不等式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)足球的單價為元，則籃球的單價為：元，由題意，得：，解得：；經(jīng)檢驗，是原方程的解，∴，答：足球的單價為元，籃球的單價為元；（2）設(shè)購買籃球個，則購買足球個，由題意，得：，解得：，∵為整數(shù)，∴的最大值為116；答：學(xué)校最多可購買116個籃球．16．計算題(1)解不等式組．(2)把下列各式因式分解：①；②．(3)先化簡，再求值：，其中．(4)當(dāng)m為何值時，關(guān)于x的方程無解．【答案】(1)(2)①；②(3)，4(4)【分析】（1）分別求出每個不等式的解集，繼而得到不等式組的解集；（2）①先提公因式，再利用完全平