（小白高考）新高考數(shù)學(xué)(零基礎(chǔ))一輪復(fù)習(xí)教案3.1《導(dǎo)數(shù)的概念及運算》 (原卷版)

頁第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運算核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.與基本初等函數(shù)相結(jié)合考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算，凸顯數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．2．與曲線方程相結(jié)合考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，凸顯數(shù)學(xué)運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．[理清主干知識]1．導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).稱函數(shù)f′(x)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．2．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝eq\a\vs4\al(0)f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα﹣1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝﹣sin_xf(x)＝exf′(x)＝eq\a\vs4\al(ex)f(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝lnxf′(x)＝eq\a\vs4\al(\f(1,x))f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)3．導(dǎo)數(shù)運算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)[SKIPIF1<0]′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．4．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點P(x0，y0)處的切線的斜率．相應(yīng)地，切線方程為y﹣y0＝f′(x0)(x﹣x0)．特別地，如果曲線y＝f(x)在點(x0，y0)處的切線垂直于x軸，則此時導(dǎo)數(shù)f′(x0)不存在，由切線定義可知，切線方程為x＝x0.5．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積．[澄清盲點誤點]一、關(guān)鍵點練明1．若函數(shù)f(x)＝eq\f(x,ex)(e是自然對數(shù)的底數(shù))，則其導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝()A.eq\f(1＋x,ex)B.eq\f(1－x,ex)C．1＋xD．1﹣x2．已知f(x)＝13﹣8x＋2x2，f′(x0)＝4，則x0＝________.3．曲線y＝log2x在點(1,0)處的切線與坐標軸所圍成三角形的面積等于________．4．已知函數(shù)f(x)＝axlnx＋b(a，b∈R)，若f(x)的圖象在x＝1處的切線方程為2x﹣y＝0，則a＋b＝________.二、易錯點練清1．(多選)下列導(dǎo)數(shù)的運算中正確的是()A．(3x)′＝3xln3B．(x2lnx)′＝2xlnx＋xC.(SKIPIF1<0)′＝eq\f(xsinx－cosx,x2)D．(sinxcosx)′＝cos2x2．函數(shù)f(x)＝x2＋eq\f(1,x)的圖象在點(1，f(1))處的切線方程為()A．x﹣y＋1＝0B．3x﹣y﹣1＝0C．x﹣y﹣1＝0D．3x﹣y＋1＝0考點一導(dǎo)數(shù)的運算[典題例析](1)設(shè)f(x)＝x(2022＋lnx)，若f′(x0)＝2023，則x0等于()A．e2B．1C．ln2D．e(2))已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，則f′(1)＝()A．﹣eB．1C．﹣1D．e(3)函數(shù)f(x)＝xsin(2x+eq\f(π,2))cos(2x+eq\f(π,2)，則其導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝________________.[方法技巧]1．導(dǎo)數(shù)運算的常見形式及其求解方法連乘積形式先展開化為多項式的形式，再求導(dǎo)分式形式觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)對數(shù)形式先化為和、差的形式，再求導(dǎo)根式形式先化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)三角形式先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時可換元2．解決解析式中含有導(dǎo)數(shù)值問題的策略解決解析式中含有導(dǎo)數(shù)值的函數(shù)，即解析式類似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0為常數(shù))的函數(shù)問題的關(guān)鍵是恰當賦值，然后活用方程思想求解，即先求導(dǎo)數(shù)f′(x)，然后令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，進而得到函數(shù)解析式，最后求得所求導(dǎo)數(shù)值．[針對訓(xùn)練]1．已知函數(shù)f(x)＝ln(ax﹣1)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若f′(2)＝2，則實數(shù)a的值為()A.eq\f(1,2)B．eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D．12．等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x﹣a1)(x﹣a2)…(x﹣a8)，則f′(0)＝()A．26B．29C．212D．2153．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)＝________.考點二導(dǎo)數(shù)的幾何意義考法(一)求切線方程[例1]已知函數(shù)f(x)＝x2.(1)求曲線f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；(2)求經(jīng)過點P(﹣1,0)的曲線f(x)的切線方程．[方法技巧]求切線方程問題的2種類型及方法(1)求“在”曲線y＝f(x)上一點P(x0，y0)處的切線方程：點P(x0，y0)為切點，切線斜率為k＝f′(x0)，有唯一的一條切線，對應(yīng)的切線方程為y﹣y0＝f′(x0)(x﹣x0)．(2)求“過”曲線y＝f(x)上一點P(x0，y0)的切線方程：切線經(jīng)過點P，點P可能是切點，也可能不是切點，這樣的直線可能有多條．解決問題的關(guān)鍵是設(shè)切點，利用“待定切點法”求解，即：①設(shè)切點A(x1，y1)，則以A為切點的切線方程為y﹣y1＝f′(x1)(x﹣x1)；②根據(jù)題意知點P(x0，y0)在切線上，點A(x1，y1)在曲線y＝f(x)上，得到方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＝fx1，,y0－y1＝f′x1x0－x1，))求出切點A(x1，y1)，代入方程y﹣y1＝f′(x1)(x﹣x1)，化簡即得所求的切線方程．考法(二)求參數(shù)值或范圍[例2]已知曲線f(x)＝e2x﹣2ex＋ax﹣1存在兩條斜率為3的切線，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(3，eq\f(7,2))B．(3，＋∞)C.(-∞，eq\f(7,2))D．(0,3)[方法技巧]利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，進而求出參數(shù)的值或取值范圍．[提醒](1)注意曲線上橫坐標的取值范圍；(2)謹記切點既在切線上又在曲線上．考法(三)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與函數(shù)圖象[例3]已知y＝f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g′(3)＝________.[方法技巧]函數(shù)圖象與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切線的斜率就是函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)．(2)切線斜率的變化對函數(shù)圖象的影響：函數(shù)圖象在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點處的變化情況，|f′(x)|越大，曲線f(x)的形狀越陡，f′(x)＞0，曲線上升；f′(x)＜0，曲線下降．[針對訓(xùn)練]1．若曲線y＝ex在x＝0處的切線也是曲線y＝lnx＋b的切線，則b＝()A．﹣1B．1C．2D．e2．(多選)若直線y＝eq\f(1,2)x＋b是函數(shù)f(x)圖象的一條切線，則函數(shù)f(x)可以是()A．f(x)＝eq\f(1,x)B．f(x)＝x4C．f(x)＝sinxD．f(x)＝ex3．已知直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋ax＋b相切于點A(1,3)，則2a＋b＝________.4.已知f′(x)，g′(x)分別是二次函數(shù)f(x)和三次函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且它們在同一直角坐標系內(nèi)的圖象如圖所示．(1)若f(1)＝1，則f(﹣1)＝________.(2)設(shè)函數(shù)h(x)＝f(x)﹣g(x)，則h(﹣1)，h(0)，h(1)的大小關(guān)系為____________(用“＜”連接)．eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])1．曲線y＝ex﹣lnx在點(1，e)處的切線方程為()A．(1﹣e)x﹣y＋1＝0B．(1﹣e)x﹣y﹣1＝0C．(e﹣1)x﹣y＋1＝0D．(e﹣1)x﹣y﹣1＝02．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足關(guān)系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，則f′(2)的值等于()A．﹣2B．2C．﹣eq\f(9,4)D．eq\f(9,4)3．設(shè)函數(shù)f(x)＝x(x＋k)(x＋2k)(x﹣3k)，且f′(0)＝6，則k＝()A．0B．﹣1C．3D．﹣64．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)的大致圖象為()5．已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，則f2021(x)＝()A．﹣sinx﹣cosxB．sinx﹣cosxC．﹣sinx＋cosxD．sinx＋cosx6．已知直線y＝ax是曲線y＝lnx的切線，則實數(shù)a＝()A.eq\f(1,2)B．eq\f(1,2e)C.eq\f(1,e)D．eq\f(1,e2)7．函數(shù)f(x)＝x4﹣2x3的圖象在點(1，f(1))處的切線方程為()A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x＋1C．y＝2x﹣3D．y＝2x＋18．已知曲線y＝eq\f(2x,x－1)在點P(2,4)處的切線與直線l平行且距離為2eq\r(5)，則直線l的方程為()A．2x＋y＋2＝0B．2x＋y＋2＝0或2x＋y﹣18＝0C．2x﹣y﹣18＝0D．2x﹣y＋2＝0或2x﹣y﹣18＝09．過曲線y＝x2﹣2x＋3上一點P作曲線的切線，若切點P的橫坐標的取值范圍是[1，eq\f(3,2)]，則切線的傾斜角的取值范圍是()A.[0，eq\f(π,2)]B．[0，eq\f(π,4)]C．[0，π)D．[eq\f(3π,4)，π)10．若曲線y＝f(x)＝lnx＋ax2(a為常數(shù))不存在斜率為負數(shù)的切線，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(-eq\f(1,2),＋∞)B．[-eq\f(1,2),＋∞)C．(0，＋∞)D．[0，＋∞)11．(多選)已知點A(1,2)在函數(shù)f(x)＝ax3的圖象上，則過點A的曲線C：y＝f(x)的切線方程是()A．6x﹣y﹣4＝0B．x﹣4y＋7＝0C．3x﹣2y＋1＝0D．4x﹣y＋3＝012．函數(shù)f(x)＝(2x