（小白高考）新高考數(shù)學(零基礎)一輪復習教案8.4《橢圓》 (教師版)

頁第四節(jié)橢圓核心素養(yǎng)立意下的命題導向1.結合橢圓的定義，考查應用能力，凸顯邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．2．結合橢圓的定義、簡單的幾何性質、幾何圖形，會求橢圓方程及解與幾何性質有關的問題，凸顯數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．[理清主干知識]1．橢圓的定義平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)．(1)若a>c，則集合P為橢圓．(2)若a＝c，則集合P為線段．(3)若a<c，則集合P為空集．2．橢圓的標準方程和幾何性質標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)圖形性質范圍﹣a≤x≤a，﹣b≤y≤b﹣b≤x≤b，﹣a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：(0,0)頂點A1(﹣a,0)，A2(a,0)，B1(0，﹣b)，B2(0，b)A1(0，﹣a)，A2(0，a)，B1(﹣b,0)，B2(b,0)離心率e＝eq\f(c,a)，且e∈(0,1)a，b，c的關系c2＝a2﹣b23．常用結論(1)過橢圓焦點垂直于長軸的弦是最短的弦，長為eq\f(2b2,a)，過焦點最長弦為長軸．(2)過原點最長弦為長軸長2a，最短弦為短軸長2b.(3)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦點的橢圓方程為eq\f(x2,a2＋λ)＋eq\f(y2,b2＋λ)＝1(λ＞﹣b2)．(4)焦點三角形：橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點F1，F(xiàn)2構成的△PF1F2叫做焦點三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：①當r1＝r2，即點P為短軸端點時，θ最大；②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，當|y0|＝b，即點P為短軸端點時，S取得最大值，最大值為bc；③△PF1F2的周長為2(a＋c)．[澄清盲點誤點]一、關鍵點練明1．(橢圓的定義)設P是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1上的點，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝()A．4B．8C．6D．18解析：選C由定義知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6.2．(橢圓的離心率)橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的離心率是()A.eq\f(\r(13),3)B．eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2,3)D．eq\f(5,9)解析：選B∵橢圓方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，∴a＝3，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(9－4)＝eq\r(5).∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).故選B.3．(橢圓的方程)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于eq\f(1,3)，則橢圓C的方程是()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1B．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1D．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1解析：選D依題意，設橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,3)，,c2＝a2－b2，))解得a2＝9，b2＝8.故橢圓C的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.4．(求參數(shù))橢圓x2＋my2＝1的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的2倍，則m＝________.解析：橢圓x2＋my2＝1可化為x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1，因為其焦點在y軸上，所以a2＝eq\f(1,m)，b2＝1，依題意知eq\r(\f(1,m))＝2，解得m＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)二、易錯點練清1．(忽視橢圓定義中2a>|F1F2|)到兩定點F1(﹣2,0)和F2(2，0)的距離之和為4的點的軌跡是()A．橢圓B．線段C．圓D．以上都不對答案：B2．(忽視對焦點位置的討論)若橢圓的方程為eq\f(x2,10－a)＋eq\f(y2,a－2)＝1，且此橢圓的焦距為4，則實數(shù)a＝________.解析：①當焦點在x軸上時，10﹣a﹣(a﹣2)＝22，解得a＝4；②當焦點在y軸上時，a﹣2﹣(10﹣a)＝22，解得a＝8.答案：4或83．(忽視橢圓上點的坐標滿足的條件)已知點P是橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1上y軸右側的一點，且以點P及焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形的面積等于1，則點P的坐標為______________．解析：設P(x，y)，由題意知c2＝a2﹣b2＝5﹣4＝1，所以c＝1，則F1(﹣1,0)，F(xiàn)2(1,0)．由題意可得點P到x軸的距離為1，所以y＝±1，把y＝±1代入eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1，得x＝±eq\f(\r(15),2)，又x>0，所以x＝eq\f(\r(15),2)，所以P點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，1))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，－1)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，1))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，－1))考點一橢圓定義的應用考法(一)利用定義求軌跡方程[例1]已知兩圓C1：(x﹣4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓M在圓C1內部且和圓C1相內切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為()A.eq\f(x2,64)﹣eq\f(y2,48)＝1B.eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,48)＝1C.eq\f(x2,48)﹣eq\f(y2,64)＝1D．eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1[解析]設圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13﹣r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓，且2a＝16,2c＝8，故所求的軌跡方程為eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.[答案]D考法(二)求解“焦點三角形”問題[例2]橢圓C：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上異于端點的任意一點，PF1，PF2的中點分別為M，N，O為坐標原點，四邊形OMPN的周長為2eq\r(3)，則△PF1F2的周長是()A．2(eq\r(2)＋eq\r(3))B．4＋2eq\r(3)C.eq\r(2)＋eq\r(3)D．eq\r(2)＋2eq\r(3)[解析]如圖，由于O，M，N分別為F1F2，PF1，PF2的中點，所以OM∥PF2，ON∥PF1，且|OM|＝eq\f(1,2)|PF2|，|ON|＝eq\f(1,2)|PF1|，所以四邊形OMPN為平行四邊形，所以?OMPN的周長為2(|OM|＋|ON|)＝|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq\r(3)，所以a＝eq\r(3)，又知a2＝b2＋c2，b2＝1，所以c2＝a2﹣1＝2，所以|F1F2|＝2c＝2eq\r(2)，所以△PF1F2的周長為2a＋2c＝2eq\r(3)＋2eq\r(2)＝2(eq\r(2)＋eq\r(3))，故選A.[答案]A考法(三)利用定義求最值[例3]設點P是橢圓C：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1上的動點，F(xiàn)為橢圓C的右焦點，定點A(2,1)，則|PA|＋|PF|的取值范圍是______________．[解析]如圖所示，設F′是橢圓的左焦點，連接AF′，PF′，則F′(﹣2,0)，∴|AF′|＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17).∵|PF|＋|PF′|＝2a＝4eq\r(2)，∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a﹣|PF′|≤2a＋|AF′|＝4eq\r(2)＋eq\r(17)，|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a﹣|PF′|＝2a﹣(|PF′|﹣|PA|)≥2a﹣|AF′|＝4eq\r(2)﹣eq\r(17).∴|PA|＋|PF|的取值范圍是[4eq\r(2)﹣eq\r(17)，4eq\r(2)＋eq\r(17)]．[答案][4eq\r(2)﹣eq\r(17)，4eq\r(2)＋eq\r(17)][方法技巧]橢圓定義應用的類型及方法求方程通過對題設條件分析、轉化后，能夠明確動點滿足橢圓的定義，便可直接求解其軌跡方程焦點三角形問題利用定義求焦點三角形的周長和面積．解決焦點三角形問題常利用橢圓的定義、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a兩邊平方是常用技巧求最值抓住|PF1|與|PF2|之和為定值，可聯(lián)系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定義|PF1|＋|PF2|＝2a轉化或變形，借助三角形性質求最值[針對訓練]1．(多選)(2021·日照模擬)已知P是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1上一點，橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且cos∠F1PF2＝eq\f(1,3)，則()A．△PF1F2的周長為12B．S△PF1F2＝2eq\r(2)C．點P到x軸的距離為eq\f(2\r(10),5)D．eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝2解析：選BCD由橢圓方程知a＝3，b＝2，所以c＝eq\r(5)，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周長為2a＋2c＝6＋2eq\r(5)，故A選項錯誤；在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2﹣2|PF1||PF2|﹣2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，所以20＝36﹣2|PF1|·|PF2|﹣eq\f(2,3)|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝6，故S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×6×eq\f(2\r(2),3)＝2eq\r(2)，故B選項正確；設點P到x軸的距離為d，則S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·d＝eq\f(1,2)×2eq\r(5)d＝2eq\r(2)，解得d＝eq\f(2\r(10),5)，故C選項正確；eq\o(PF1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))＝|eq\o(PF1,\s\up7(→))|·|eq\o(PF2,\s\up7(→))|cos∠F1PF2＝6×eq\f(1,3)＝2，故D選項正確．考點二橢圓的標準方程[例1]過點(eq\r(3)，﹣eq\r(5))，且與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同焦點的橢圓的標準方程為()A.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,4)＝1B．eq\f(x2,2\r(5))＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1D．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2\r(5))＝1[解析]法一：定義法橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦點為(0，﹣4)，(0,4)，即c＝4.由橢圓的定義知，2a＝eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)＋42)＋eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)－42)，解得a＝2eq\r(5).由c2＝a2﹣b2，可得b2＝4.所以所求橢圓的標準方程為eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.故選C.法二：待定系數(shù)法設所求橢圓方程為eq\f(y2,25＋k)＋eq\f(x2,9＋k)＝1(k>﹣9)，將點(eq\r(3)，﹣eq\r(5))的坐標代入，可得eq\f(－\r(5)2,25＋k)＋eq\f(\r(3)2,9＋k)＝1，解得k＝﹣5，所以所求橢圓的標準方程為eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.故選C.[答案]C[例2]如圖，已知橢圓C的中心為原點O，F(xiàn)(﹣5,0)為C的左焦點，P為C上一點，滿足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，則橢圓C的標準方程為()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1B.eq\f(x2,40)＋eq\f(y2,15)＝1C.eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1D．eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,20)＝1[解析]由題意可得c＝5，設右焦點為F′，連接PF′(圖略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝eq\r(|FF′|2－|PF|2)＝eq\r(102－62)＝8，由橢圓的定義，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，從而a＝7，a2＝49，于是b2＝a2﹣c2＝49﹣25＝24，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1，故選C.[答案]C[方法技巧]求橢圓標準方程的2種常用方法定義法根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，結合焦點位置可寫出橢圓方程待定系數(shù)法若焦點位置明確，則可設出橢圓的標準方程，結合已知條件求出a，b；若焦點位置不明確，則需要分焦點在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)[針對訓練]1．若直線x﹣2y＋2＝0經(jīng)過橢圓的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的標準方程為()A.eq\f(x2,5)＋y2＝1B.eq\f(x2,4)＋y2＝1C.eq\f(x2,5)＋y2＝1或eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1D．以上答案都不正確解析：選C直線與坐標軸的交點為(0,1)，(﹣2,0)，由題意知當焦點在x軸上時，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,5)＋y2＝1；當焦點在y軸上時，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求橢圓的標準方程為eq\f(y2,5)＋eq\f(x2,4)＝1.2．一個橢圓的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，eq\r(3))是橢圓上一點，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓的方程為()A.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1解析：選A設橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由點P(2，eq\r(3))在橢圓上知eq\f(4,a2)＋eq\f(3,b2)＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，又c2＝a2﹣b2，聯(lián)立得a2＝8，b2＝6.所以橢圓方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1.考點三橢圓的幾何性質考法(一)求橢圓的離心率[例1](1)已知橢圓方程為eq\f(x2,a)＋eq\f(y2,b)＝1，且a，b，a＋b成等差數(shù)列，a，b，ab成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2)D．eq\f(\r(3),2)(2)過橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>b>0))的左焦點F的直線過C的上端點B，且與橢圓相交于點A，若eq\o(BF,\s\up7(→))＝3eq\o(FA,\s\up7(→))，則C的離心率為()A.eq\f(1,3)B．eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(2),2)[解析](1)因為a，b，a＋b成等差數(shù)列，所以2b＝a＋a＋b，即b＝2a，又因為a，b，ab成等比數(shù)列，b≠0，a≠0，所以b2＝a·ab，即b＝a2，所以a＝2，b＝4，橢圓方程為eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,4)＝1，c＝eq\r(4－2)＝eq\r(2)，所以離心率e＝eq\f(\r(2),2).故選C.(2)由題意可得B(0，b)，F(xiàn)(﹣c,0)，由eq\o(BF,\s\up7(→))＝3eq\o(FA,\s\up7(→))，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)c，－\f(b,3)))，又點A在橢圓上，則eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)c))2,a2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,3)))2,b2)＝1，整理可得eq\f(16,9)·eq\f(c2,a2)＝eq\f(8,9)，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,2)，e＝eq\f(\r(2),2).故選D.[答案](1)C(2)D[方法技巧]求橢圓離心率的3種方法(1)直接求出a，c來求解e.通過已知條件列方程組，解出a，c的值．(2)構造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關于a，c的二元齊次方程，然后轉化為關于離心率e的一元二次方程求解．(3)通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．[提醒]在解關于離心率e的二次方程時，要注意利用橢圓的離心率e∈(0,1)進行根的取舍，否則將產(chǎn)生增根.考法(二)求橢圓的離心率的范圍[例2]已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，直線y＝x與橢圓相交于A，B兩點，若橢圓上存在異于A，B兩點的點P使得kPA·kPB∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，則離心率e的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))[解析]設P(x0，y0)，直線y＝x過原點，由橢圓的對稱性設A(x1，y1)，B(﹣x1，﹣y1)，kPAkPB＝eq\f(y0－y1,x0－x1)×eq\f(y0＋y1,x0＋x1)＝eq\f(y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,0)－x\o\al(2,1)).又eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，兩式做差，代入上式得kPAkPB＝﹣eq\f(b2,a2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，故0<eq\f(b2,a2)<eq\f(1,3)，所以e＝eq\r(1－\f(b2,a2))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，1)).[答案]B[方法技巧]求橢圓離心率范圍的2種方法方法解讀適合題型幾何法利用橢圓的幾何性質，設P(x0，y0)為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點，則|x0|≤a，a﹣c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等關系，或者根據(jù)幾何圖形的臨界情況建立不等關系題設條件有明顯的幾何關系直接法根據(jù)題目中給出的條件或根據(jù)已知條件得出不等關系，直接轉化為含有a，b，c的不等關系式題設條件直接有不等關系[針對訓練]1．(多選)已知橢圓C：16x2＋25y2＝400，則下述正確的是()A．橢圓C的長軸長為10B．橢圓C的兩個焦點分別為(0，﹣3)和(0,3)C．橢圓C的離心率等于eq\f(3,5)D．若過橢圓的焦點且與長軸垂直的直線l與橢圓C交于P，Q，則|PQ|＝eq\f(32,5)解析：選ACD∵16x2＋25y2＝400，∴eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1，∴a＝5，b＝4，c＝3，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，∴長軸長2a＝10，故A、C正確，B錯誤．對于選項D，|PQ|＝eq\f(2b2,a)＝eq\f(32,5)，正確．故選A、C、D.2．已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，直線l過焦點且傾斜角為eq\f(π,4)，以橢圓的長軸為直徑的圓截l所得的弦長等于橢圓的焦距，則橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(2),3)B．eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(5),3)D．eq\f(\r(6),3)解析：選D直線l的方程為y＝x±c，以橢圓的長軸為直徑的圓截l所得的弦為AB，AB＝2c，設OC⊥AB，垂足為C，則OC＝eq\f(|±c|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)c，在Rt△OAC中，OA2＝AC2＋OC2?a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2＋eq\f(1,2)c2?a2＝eq\f(3,2)c2?c＝eq\f(\r(6),3)a?e＝eq\f(\r(6),3)，故選D.eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])一、基礎練——練手感熟練度1．(多選)已知曲線C：mx2＋ny2＝1.()A．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點在x軸上C．若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為eq\r(n)D．若m＝0，n＞0，則C是兩條直線解析：選AD∵mx2＋ny2＝1，∴eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1，若m＞n＞0，∴0＜eq\f(1,m)＜eq\f(1,n)，∴C是橢圓，且焦點在y軸上，故A正確，B錯誤．若m＝n＞0，則x2＋y2＝eq\f(1,n)，C是圓，半徑為eq\f(1,\r(n))，C錯誤．若m＝0，n＞0，∴y2＝eq\f(1,n)，∴y＝±eq\f(\r(n),n)，則C是兩條直線，D正確．故選A、D.2．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,2)，則()A．a(chǎn)2＝2b2B．3a2＝4b2C．a(chǎn)＝2bD．3a＝4b解析：選B因為橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以a2＝4c2.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.3．已知焦點在y軸上的橢圓eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,m)＝1的長軸長為8，則m＝()A．4B．8C．16D．18解析：選C橢圓的焦點在y軸上，則m＝a2.由長軸長2a＝8得a＝4，所以m＝16.故選C.4．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為eq\f(\r(3),3)，過F2的直線l交C于A，B兩點，若△AF1B的周長為4eq\r(3)，則C的方程為()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1B．eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1D．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1解析：選A∵△AF1B的周長為4eq\r(3)，∴由橢圓的定義可知4a＝4eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)，∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，∴c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝2，∴C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1，故選A.5．橢圓eq\f(x2,m2＋1)＋eq\f(y2,m2)＝1(m＞0)的焦點為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，若∠F1AF2＝eq\f(π,3)，則m＝()A．1B．eq\r(2)C.eq\r(3)D．2解析：選C∵c＝eq\r(m2＋1－m2)＝1，b＝m，由∠F1AF2＝eq\f(π,3)，得∠F1AO＝eq\f(π,6)，∴tan∠F1AO＝eq\f(1,m)＝eq\f(\r(3),3)，解得m＝eq\r(3)，故選C.6．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，則C的離心率為()A．1﹣eq\f(\r(3),2)B．2﹣eq\r(3)C.eq\f(\r(3)－1,2)D．eq\r(3)﹣1解析：選D由題設知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c.由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a，即eq\r(3)c＋c＝2a，所以(eq\r(3)＋1)c＝2a，故橢圓C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)﹣1.故選D.二、綜合練——練思維敏銳度1．橢圓以x軸和y軸為對稱軸，經(jīng)過點(2,0)，長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的標準方程為()A.eq\f(x2,4)＋y2＝1B．eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1C.eq\f(x2,4)＋y2＝1或eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1D．eq\f(x2,4)＋y2＝1或eq\f(y2,4)＋x2＝1解析：選C由題意知，橢圓的長軸長是短軸長的2倍，即a＝2b.因為橢圓經(jīng)過點(2,0)，所以若焦點在x軸上，則a＝2，b＝1，橢圓的標準方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1；若焦點在y軸上，則a＝4，b＝2，橢圓的標準方程為eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1，故選C.2．設F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點，P為橢圓上一點，M是F1P的中點，|OM|＝3，則P點到橢圓左焦點的距離為()A．4B．3C．2D．5解析：選A連接PF2，由題意知，a＝5，在△PF1F2中，|OM|＝eq\f(1,2)|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a﹣|PF2|＝10﹣6＝4.故選A.3．與橢圓9x2＋4y2＝36有相同焦點，且短軸長為2的橢圓的標準方程為()A.eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,4)＝1B．x2＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,6)＋y2＝1D．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,5)＝1解析：選B橢圓9x2＋4y2＝36可化為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，可知焦點在y軸上，焦點坐標為(0，±eq\r(5))，故可設所求橢圓方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，則c＝eq\r(5).又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，則所求橢圓的標準方程為x2＋eq\f(y2,6)＝1.4．直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的eq\f(1,4)，則該橢圓的離心率為()A.eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)解析：選B不妨設直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點B(0，b)和一個焦點F(c,0)，則直線l的方程為eq\f(x,c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋cy﹣bc＝0.由題意知eq\f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝eq\f(1,4)×2b，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，即e＝eq\f(1,2).故選B.5．(多選)設橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1的右焦點為F，直線y＝m(0<m<eq\r(3))與橢圓交于A，B兩點，則下述結論正確的是()A．|AF|＋|BF|為定值B．△ABF的周長的取值范圍是[6,12]C．當m＝eq\r(2)時，△ABF為直角三角形D．當m＝1時，△ABF的面積為eq\r(6)解析：選AD設橢圓的左焦點為F′，則|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6為定值，A正確；△ABF的周長為|AB|＋|AF|＋|BF|，∵|AF|＋|BF|為定值6，|AB|的取值范圍是(0,6)，∴△ABF的周長的取值范圍是(6,12)，B錯誤；將y＝eq\r(2)與橢圓方程聯(lián)立，可解得A(﹣eq\r(3)，eq\r(2))，B(eq\r(3)，eq\r(2))，又∵F(eq\r(6)，0)，∴BA→·eq\o(BF,\s\up7(→))＝(﹣2eq\r(3)，0)·(eq\r(6)﹣eq\r(3)，﹣eq\r(2))＝6﹣6eq\r(2)<0，∴△ABF不是直角三角形，C錯誤；將y＝1與橢圓方程聯(lián)立，解得A(﹣eq\r(6)，1)，B(eq\r(6)，1)，∴S△ABF＝eq\f(1,2)×2eq\r(6)×1＝eq\r(6)，D正確．6．已知O為坐標原點，點F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦點，A為橢圓C上的一點，且AF2⊥F1F2，AF1與y軸交于點B，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OB))的值為()A.eq\f(3,4)B．eq\f(3,2)C.eq\f(5,4)D．eq\f(5,2)解析：選A由AF2⊥F1F2，可知eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF2))＝eq\f(b2,a)＝eq\f(3,2)，∵OB∥AF2且O為F1F2中點，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OB))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF2))＝eq\f(3,4).7．與圓C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且與圓C2：(x﹣3)2＋y2＝81內切的動圓圓心P的軌跡方程為________．解析：設動圓的半徑為r，圓心為P(x，y)，則有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9﹣r.所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|＝6，即P在以C1(﹣3,0)，C2(3,0)為焦點，長軸長為10的橢圓上，得點P的軌跡方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.答案：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝18．設F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一個點，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面積為9，周長為18，則橢圓C的方程為________．解析：∵PF1⊥PF2，∴△PF1F2為直角三角形，又知△PF1F2的面積為9，∴eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝9，得|PF1|·|PF2|＝18.在Rt△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝2a，∴(|PF1|＋|PF2|)2﹣2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，即4a2﹣36＝4c2，∴a2﹣c2＝9，即b2＝9，又知b>0，∴b＝3，∵△PF1F2的周長為18，∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①又知a2﹣c2＝9，∴a﹣c＝1.②由①②得a＝5，c＝4，∴所求的橢圓方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.答案：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝19．已知橢圓e