理論力學(xué)-第29-30課時(shí)

§4.2

轉(zhuǎn)動(dòng)參照系(二)根本知識(shí)回憶慣性力的應(yīng)用

例題練習(xí)分析轉(zhuǎn)動(dòng)參照系溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院1.轉(zhuǎn)動(dòng)參照系的速度變換2.轉(zhuǎn)動(dòng)參照系的加速度變換3.例題與作業(yè)分析一.根本知識(shí)回憶溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院作業(yè)-習(xí)題4.3:

P點(diǎn)離開圓錐頂點(diǎn)O,以速度沿著母線作勻速運(yùn)動(dòng)，此圓錐以角速度ω繞其軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求開始t秒后P的絕對(duì)加速度的量值，假定圓錐體的半頂角為。oPzxy解：如下圖，將空間坐標(biāo)系建立在該圓錐體上，質(zhì)點(diǎn)P在xz平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)隨著該圓錐體一起轉(zhuǎn)動(dòng)。因此這是個(gè)空間轉(zhuǎn)動(dòng)參照系問(wèn)題。在動(dòng)坐標(biāo)系中，可寫出：根本知識(shí)回憶溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院同時(shí)，空間轉(zhuǎn)動(dòng)參照系的絕對(duì)加速度表達(dá)式：將上面公式代入，得：因此，絕對(duì)加速度的量值為：根本知識(shí)回憶溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院在固定參照系中，我們有絕對(duì)加速度表達(dá)式為：那么，當(dāng)我們變換到轉(zhuǎn)動(dòng)參照系中，其相對(duì)加速度相對(duì)應(yīng)于固定參照系中的絕對(duì)加速度，因此可以寫出：在固定參照系中，牛頓第二定律表達(dá)式：令：那么，得轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中的牛頓第二定律：二.慣性力的應(yīng)用溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院1.非慣性系中的牛頓定律其中：與離心慣性力有關(guān)科里奧利力慣性力的應(yīng)用溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院慣性力的應(yīng)用溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院例題2:

一光滑細(xì)管可在豎直平面內(nèi)繞通過(guò)其一端的水平軸線以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，管中有一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)。開始時(shí)，細(xì)管在水平方向，質(zhì)點(diǎn)距轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離為a,質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于管的速度為，求該質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于管子的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：如下圖，在管子上面建立平面動(dòng)坐標(biāo)系oxymθω那么在動(dòng)坐標(biāo)系中，有：那么：慣性力的應(yīng)用溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院2.轉(zhuǎn)動(dòng)參照系中的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題那么在動(dòng)坐標(biāo)系中分別寫出三個(gè)力的表達(dá)式：由于在動(dòng)坐標(biāo)系中：因此，僅考慮x方向，有：慣性力的應(yīng)用溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院因此，得到運(yùn)動(dòng)微分方程：同時(shí)，根據(jù)題目意思，可知該方程的初始條件為：慣性力的應(yīng)用溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院解題一般步驟：1.建立動(dòng)坐標(biāo)系xyz,進(jìn)行受力分析2.建立動(dòng)坐標(biāo)系xyz,寫出動(dòng)坐標(biāo)系中各個(gè)物理量3.代入方程進(jìn)行求解例題3:

一質(zhì)點(diǎn)以初速度在緯度為λ的地方豎直向上拋出，達(dá)到高度h后，復(fù)落到地面，假定空氣阻力可以忽略不計(jì)，求落到地面時(shí)的偏差。解：如圖我們?cè)诘厍蛲獗斫⒁粋€(gè)三維坐標(biāo)系，固定在地球上面，因此在動(dòng)坐標(biāo)系中，有：慣性力的應(yīng)用溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院由于不考慮空氣阻力，因此在地球這個(gè)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)系中，萬(wàn)有引力的表達(dá)式和慣性離心力表達(dá)式分別為：實(shí)際上，萬(wàn)有引力應(yīng)該可以分解為重力和提供地球自轉(zhuǎn)的向心力，該力大小等于慣性離心力，因此。慣性力的應(yīng)用溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院同時(shí)，科里奧利力為：整理，得到在動(dòng)坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)微分方程的三個(gè)分量表達(dá)式：慣性力的應(yīng)用溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院利用初始條件，并且忽略ω2項(xiàng)，最后可求得運(yùn)動(dòng)方程為：落地的條件為z=0,得：此時(shí)：又因?yàn)椋旱茫浩鞣较驊T性力的應(yīng)用溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院三.例題與練習(xí)分析溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院例題1：在一光滑水平直管中有一質(zhì)量為m的小球，此管以勻角速度繞通過(guò)其一端的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。若開始時(shí)，球距轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離為a,球相對(duì)管的速率為零，而管的總長(zhǎng)為2a。求球剛要離開管口時(shí)的相對(duì)速度和絕對(duì)速度，并求小球從開始運(yùn)動(dòng)到離開管口所需的時(shí)間。解：如下圖建立動(dòng)坐標(biāo)在管子上，坐標(biāo)原點(diǎn)在管子一端上，x軸方向?yàn)楣茏臃较?，那么：其中：例題與練習(xí)分析溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院主動(dòng)力F為：慣性力為：因此，得：又因?yàn)樾∏虮还茏蛹s束，只能在x方向運(yùn)動(dòng)，因此有：例題與練習(xí)分析溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院整理后，得：下面開始求解運(yùn)動(dòng)微分方程：根據(jù)初始條件，其解為：相對(duì)速度表達(dá)式為：當(dāng)x=2a時(shí)，解得時(shí)間為：代入相對(duì)速度表達(dá)式，得：例題與練習(xí)分析溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院根據(jù)速度變換關(guān)系，得小球絕對(duì)速度表達(dá)式：?jiǎn)栴}1：管子對(duì)小球的支持力多大？思考1：求運(yùn)動(dòng)微分方程還有其他解法嗎？直接積分，得速度例題與練習(xí)分析溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院例題2：小環(huán)重W,穿在曲線形y=f(x)的光滑鋼絲上，此曲線通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，并繞豎直軸線Oy以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，如欲使小環(huán)在曲線上的任何位置均處于相對(duì)平衡狀態(tài)，求此曲線的形狀及曲線對(duì)小環(huán)的約束反作用力。解：如下圖，選曲線作為轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系，小環(huán)處于相對(duì)平衡狀態(tài)是指它在該轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中速度和加速度均為零。根據(jù)受力分析如下圖，那么：?jiǎn)栴}1：科氏力呢?答：相對(duì)平衡沒(méi)科氏力例題與練習(xí)分析溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院那么代入，有：得：答：代入，可得：?jiǎn)栴}2：約束力如何求解？根據(jù)初始條件，容易解得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：例題與練習(xí)分析溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院練習(xí)1：軸為豎直的光滑鋼絲為拋物線，其方程為x2=4ay,該曲線繞豎直軸線Oy以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，一個(gè)小環(huán)套在鋼絲上面，求其運(yùn)動(dòng)微分方程。解：如下圖，選曲線作為轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系，根據(jù)受力分析如下圖，那么：代入后，得：例題與練習(xí)分析溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院將寫成分量形式，得：由于小環(huán)受到約束，故它在z方向無(wú)運(yùn)動(dòng)：因此，得：說(shuō)明z方向的科氏力和約束力抵消，對(duì)運(yùn)動(dòng)沒(méi)影響例題與練習(xí)分析溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院根據(jù)金屬絲的拋物線方程知：將其對(duì)時(shí)間求導(dǎo)兩次后，代入運(yùn)動(dòng)微分方程，得：得：例題3：質(zhì)量為m的小環(huán)M，套在半徑為a的光滑圓圈上，并可沿著圓圈滑動(dòng)。如圓圈在水平面內(nèi)以勻角速度ω繞圈上一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，求小環(huán)沿圓圈切線方向的運(yùn)動(dòng)微分方程。解:如下圖建立動(dòng)坐標(biāo)，那么ηoξωtθaCM(x,y)ωxy溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院例題與練習(xí)分析那么慣性力為：ηoξωtθaCM(x,y)ωxy根據(jù)切向力和慣性力的直角分量的關(guān)系:溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院例題與練習(xí)分析其中:那么得切向加速度為:因此，動(dòng)坐標(biāo)系微分方程為為:ηoξωtθaCM(x,y)ωxy思考2:此時(shí)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理圖景如何?你能描述一下嗎？觀察者在轉(zhuǎn)動(dòng)參照系