專題強化練7等比數(shù)列的綜合應(yīng)用含解析

專題強化練7等比數(shù)列的綜合應(yīng)用一、選擇題1.(2021湖北武漢外國語學(xué)校高一月考,)數(shù)列{an}是首項為1的等比數(shù)列,Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且9S3=S6,那么數(shù)列1an的前5項和為A.158或5B.3116C.3116D.2.(2021浙江嘉興高一期末,)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn=2an-3(n∈N*),那么S6=()3.(2021河南開封高二上期末聯(lián)考,)公差不為0的等差數(shù)列{an}的局部項ak1,ak2,ak3,…構(gòu)成公比為4的等比數(shù)列{akn},且k1=1,4.(2021山東棗莊滕州一中高三月考,)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=2,an+1=Sn,假設(shè)an∈(0,2020),那么稱項an為“和諧項〞,那么數(shù)列{an}的所有“和諧項〞的平方和為()A.13×411+83B.13×4C.13×410+83D.13×45.(多項選擇)(2021廣東仲元中學(xué)、中山一中等七校聯(lián)合體高三第一次聯(lián)考,)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,其前n項和為Sn,前n項積為Tn,并且滿足a1>1,a9a10>1,a9-1aA.0<q<1B.a10a11>1C.Sn的最大值為S10D.Tn的最大值為T96.(多項選擇)(2021湖北武漢新洲一中高一月考,)在?增減算法統(tǒng)宗?中有這樣一那么故事:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難;次日腳痛減一半,如此六日過其關(guān).〞那么以下說法正確的選項是()14還多3二、填空題7.(2021湖南三湘名校教育聯(lián)盟高三第二次大聯(lián)考,)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,an+Sn=32,那么S7=.

8.(2021江蘇南京外國語學(xué)校高一月考,)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點n,Snn(n∈N*)均在直線y=x+12上,假設(shè)bn=3an+12,那么數(shù)列{b三、解答題9.(2021河南頂級名校高二聯(lián)考,)數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*),Sn=n+23an,且a1=1,{bn}為等比數(shù)列,b1=a3-4,b4=a5+1(1)求{an}和{bn}的通項公式;(2)設(shè)cn=n·bnan+1,n∈N*,數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,假設(shè)對任意的n∈N*均滿足Tn>10.(2021江蘇江陰要塞中學(xué)高二期中,)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2an-2,n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列{an2}的前n項和為Tn,求證:S(3)判斷數(shù)列{3n-an}中是否存在三項成等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論.專題強化練7等比數(shù)列的綜合應(yīng)用一、選擇題1.C設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由9S3=S6,得q≠1,那么9(1-q3)1-q=1-q61-q,即1+q3=9,解得q=2,所以數(shù)列1an是首項為2.B∵Sn=2an-3(n∈N*),∴n=1時,S1=a1=2a1-3,解得a1=3.n=2時,S2=a1+a2=2a2-3,∴a2=6.n≥2時,Sn+1=2an+1-3,∴an+1+Sn=2an+1-3,即an+1+2an-3=2an+1-3,即an+1=2an,易知an≠0,∴an+1an∴數(shù)列{an}是首項為3,公比為2的等比數(shù)列,∴S6=3×(1-23.B設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0).由題意知a1,a2,ak3構(gòu)成公比為4所以a2=4a1,所以a1+d=4a1,得d=3a1.所以ak3=4a2=4(a1+d)=4(a1+3a1)=16a所以a1+(k3-1)d=16a1,即a1+(k3-1)·3a1=16a1,易知a1≠0,所以k3=6.應(yīng)選B.4.A因為an+1=Sn,所以an=Sn-1(n≥2),那么an+1-an=Sn-Sn-1,即an+1-an=an,即an+1=2an,易知an≠0,故an+1an因為a1=2,所以a2=S1=a1=2,不滿足此式,故an=2假設(shè)an∈(0,2021),那么1≤n≤11,故數(shù)列{an}的所有“和諧項〞的平方和為a12+a22+…+a102+a112=4+4+42+…+410=4+4×(1-45.AD因為{an}是公比為q的等比數(shù)列,且a1>1,a9a10>1,所以q>0,由a9-1a10-1<0,可得(a9-1)(a10-1)<0,所以a9>1,a10<1或a9<1,a10>1.假設(shè)a9<1,a10>1,那么q>1,此時an=a1qn-1>1,那么a9>1,與a9<1不符,所以a9>1,a10<1,所以q<1,所以由上述分析可知,數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列,故可構(gòu)造新數(shù)列{lgan},因為lgan-lgan-1=lganan-1=lgq<0,所以數(shù)列{lgan}是以lgq為公差的等差數(shù)列,且單調(diào)遞減,又a9>1,a10<1,所以lga9>0,lga10<0,所以數(shù)列{lgan}從第10項開始小于零,故其前9項和最大,可得Tn的最大值為T9,所以D正確;因為lga10+lga11=lg(a10a11)<0,所以a10a11<1,所以B不正確;因為0<q<1,a1>1,所以數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),所以Sn沒有最大值,所以C不正確.應(yīng)選AD.6.BCD根據(jù)題意知,此人每天行走的路程數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,設(shè)此人第n天走了an里路,那么{an}是公比q=12的等比數(shù)列∴S6=a1解得a1=192,∴a6=a1q5=192×125=6,∴A由a1=192,S6=378,得a2+a3+a4+a5+a6=S6-a1=378-192=186,又192-186=6,∴B正確.∵a2=a1q=192×12=96,14S6=∴96-1892=32,∴C∵a1+a2+a3=192×1+12+14=336,∴后三天走的路程為應(yīng)選BCD.二、填空題7.答案127解析依題意,當(dāng)n=1時,a1+S1=2a1=32,所以a1=16.當(dāng)n≥2時,an+Sn=32①,an-1+Sn-1=32②,①-②得2an-an-1=0,即an=12a所以S7=16×1-12718.答案9解析依題意得Snn=n+12,即Sn=n2+12n.當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2+12n-(n-1)2+12(n-1)=2n-12;當(dāng)n=1時,a1=S1=32.經(jīng)檢驗,a1符合an=2n-12,所以an=2n-12(n∈N*),那么bn=32n.由bn+1bn=32(n+1)32n三、解答題9.解析(1)當(dāng)n≥2時,有an=Sn-Sn-1=n+23·an-n+13an-1,整理,得anan所以an=a1×a2a1×a3a2×a4a3×…×anan-1=1×31×42×53×64×所以{an}的通項公式為an=n(設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q.由b1=a3-4=2,b4=a5+1=16,可得q3=8,所以q=2,所以bn=2n.(2)由(1)及得cn=n·bnan+1=所以Tn=233-222+244-2因為Tn+1-Tn=cn+1=(n+1)2n+2(n+2)(n+3)>0,所以Tn+1>Tn,即Tn單調(diào)遞增所以對任意的n∈N*均滿足Tn>m2019等價于m2019<23,即1345.10.解析(1)當(dāng)n=1時,S1=2a1-2,解得a1=2.當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(2an-2)-(2an-1-2)=2an-2an-1,即an=2an-1,因為a1≠0,所以an故數(shù)列{an}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以an=2n.(2)證明:因為an2=(2n)2故數(shù)列{an2}是以4為首項,4為公比的等比數(shù)列,從而Tn=4(1-4n)1-4=43(4n-1),又S2n=2(3)不存在.證明如下:易知數(shù)列{3n-an}單調(diào)遞增,故假設(shè){3n-an}中存在第m,n,k(m<n<k,且m,n