關(guān)于積分的定義

關(guān)于積分的定義

1定義域d的積分統(tǒng)計分析包括許多分?jǐn)?shù)的概念，如絕對分?jǐn)?shù)、二重積分、三重分?jǐn)?shù)、曲線分?jǐn)?shù)和曲線分?jǐn)?shù)。這些成績有不同的感受，但在思維、本質(zhì)和處理方法上基本相同。因此，以下定義可以用系統(tǒng)的概念來表達(dá)。積分定義設(shè)D為一個可度量的幾何區(qū)域,f(p)為定義在D上的有界函數(shù),如果對于D上任意一個分劃T將D分成n個小區(qū)域:D1,D2,…,Dn,以及在D1中的任意選點(diǎn)pi(i=1,2,…n),記△Di為小區(qū)域Di的度量,λ=max1≤i≤nd(Di),d(Di)λ=max1≤i≤nd(Di),d(Di)為小區(qū)域Di的直徑.若當(dāng)λ→0時,和數(shù)n∑i=1f(pi)△Di∑i=1nf(pi)△Di的極限存在,即有l(wèi)imλ→0n∑i=1f(pi)△Di=Ιlimλ→0∑i=1nf(pi)△Di=I,且I與D的分劃與Di(i=1,2,…n)上的選點(diǎn)無關(guān),則稱函數(shù)f(p)在D上可積,記為∫Df(p)dD=Ι∫Df(p)dD=I.于是對于定義域D的各種不同情況便可推得如下幾種積分定義:(I)當(dāng)D=[a,b]時,則f(p)=f(x),△Di=△xi(i=1,2,…n),此時即為定積分的定義.(II)當(dāng)D為平面區(qū)域時,則△Di(i=1,2,…n)為平面上的小區(qū)域的面積,f(p)=f(x,y),此時即為二重積分的定義.(III)當(dāng)D為空間中的立體時,則△Di(i=1,2,…n)為空間中的小立體的體積,f(p)=f(x,y,z),此時即為三重積分的定義.(IV)當(dāng)D為一可求長的曲線時,則△Di(i=1,2,…n)為小弧段的弧長,f(p)=f(x),此時即為第一型曲線積分(即對弧長的曲線積分)的定義.(Ⅴ)當(dāng)D為一可求面積的曲面時,則△Di(i=1,2,…n)為小曲面的面積,f(p)=f(x,y),此時即為第一型曲面積分(即對面積的曲面積分)的定義.特別地,推而廣之,可由此得到進(jìn)一步的實(shí)分析中的勒貝格積分的定義,此時D為R上的一個可測集合,△Di(i=1,2,…n)為D的不相交子集Di(i=1,2,…n)的測度,f(p)=f(x).掌握這個普遍性的積分定義,就可使學(xué)生對于積分思想的本質(zhì)(分劃、選點(diǎn)、求和數(shù)、求極限)有著深刻的理解,并由此觸類旁通、舉一反三地為今后學(xué)習(xí)相關(guān)的積分概念打下堅實(shí)的基礎(chǔ).2[a,b]的再識別從定積分的定義可知,對于閉區(qū)間[a,b]上的有界函數(shù)f(x)來講,如果f(x)在[a,b]可積,對于[a,b]的任意分劃和相應(yīng)的任意一組選點(diǎn){ξi},和數(shù)的極限limλ→0n∑i=1f(ξi)△xilimλ→0∑i=1nf(ξi)△xi均存在且相等.可是和數(shù)n∑i=1f(ξi)△xi∑i=1nf(ξi)△xi不僅跟[a,b]的分劃T有關(guān),而且還跟分劃T相應(yīng)的選點(diǎn){ξi}有關(guān),也就是說,當(dāng)分劃T確定時,和數(shù)n∑i=1f(ξi)△xi∑i=1nf(ξi)△xi仍不能確定,還必須與選點(diǎn){ξi}一起才能確定.其次,[a,b]上的分劃T有無窮多.同時,對于[a,b]上確定的一個分劃T0,相應(yīng)的選點(diǎn){ξi}也有無窮多.于是,[a,b]上的所有分劃構(gòu)成一個集合{T},相應(yīng)于每個分劃T的選點(diǎn){ξi}又構(gòu)成一個集合{{ξi}T},從而由這兩個集合中的元素構(gòu)成一個和數(shù)的集合.{n∑i=1f(ξi)△xi}{∑i=1nf(ξi)△xi}對于一般的函數(shù)f(x)而言,要證明這所有的和數(shù)當(dāng)λ→0時的極限都收斂于同一個常數(shù)顯然是十分繁瑣和困難的,因此很自然地希望能否有這樣的和數(shù)存在,使得它只跟分劃有關(guān)而與選點(diǎn)無關(guān)?考慮到在[a,b]上可積的函數(shù)必為有界函數(shù)f(x),根據(jù)有界必有上、下確界存在的性質(zhì),于是對任意一個分劃T=a=x0<x1<…<xn=b,f(x)在每個小區(qū)間[xi-1,xi]的上、下確界Mi與mi(i=1,2,…,n)存在且唯一,從而由每個小區(qū)間的上、下確界所組成的和數(shù)S(Τ)=n∑i=1Μi△xiS(T)=∑i=1nMi△xi與s(Τ)=n∑i=1Μi△xis(T)=∑i=1nMi△xi就是兩個與分劃T有關(guān)而與選點(diǎn)無關(guān)的特殊的和數(shù).這樣,給定[a,b]的一個分劃T,就得到對應(yīng)兩個只與T有關(guān)而與選點(diǎn)無關(guān)的和數(shù)S(T)與s(T),從而得到對應(yīng)于[a,b]上的全體分劃T的兩個集合{S(T)}與{s(T)}.現(xiàn)在探討這樣的兩個集合{S(T)}、{s(T)}與全體和數(shù)的集合{n∑i=1f(ξi)△xi}{∑i=1nf(ξi)△xi}之間的關(guān)系.性質(zhì)1對于[a,b]的任意一個分劃T均有s(T)≤S(T).性質(zhì)2對于[a,b]的任意一個分劃T均有s(Τ)≤n∑i=1f(ξi)△xi≤S(Τ)s(T)≤∑i=1nf(ξi)△xi≤S(T).其中n∑i=1f(ξi)△xi為相應(yīng)于分劃T的任意一個積分和數(shù).性質(zhì)3對于[a,b]的任意一個分劃T均有s(Τ)=inf{n∑i=1f(ξi)△xi}Τ及s(Τ)=sup{n∑i=1f(ξi)△xi}Τ由性質(zhì)1-3可知,對于[a,b]的一個確定的分劃T,相應(yīng)于這個分劃T的所有積分和{n∑i=1f(ξi)△xi}Τ恰好被達(dá)布大和S(T)與達(dá)布小和s(T)十分貼切地所界定.然而這尚遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠,因?yàn)閷τ诓煌姆謩漈,相應(yīng)的達(dá)布大和S(T)與達(dá)布小和s(T)以及積分和數(shù){n∑i=1f(ξi)△xi}Τ也將隨之變化.所以,根據(jù)可積的定義,就必須研究當(dāng)分劃T改變時達(dá)布大和S(T)與達(dá)布小和s(T).s(T)以及積分和數(shù){n∑i=1f(ξi)△xi}Τ之間具有哪些關(guān)系.對此,有以下的關(guān)系:性質(zhì)4對于[a,b]的任意兩個分劃T1與T2均有s(T1)≤S(T2).性質(zhì)5對于[a,b]的所有分劃T,全體達(dá)布大和構(gòu)成的集合{S(T)}有下確界,全體達(dá)布小和構(gòu)成的集合{s(T)}有上確界.由性質(zhì)5,令I(lǐng)0=inf{S(T)},I0=sup{s(T)},根據(jù)性質(zhì)4就可推出性質(zhì)6I0≤I0.綜合上述討論便可知道,一方面對于[a,b]的任意一個分劃T,達(dá)布大和S(T)與達(dá)布小s(T)恰好為對應(yīng)于分劃T的所有積分和數(shù){n∑i=1f(ξi)△xi}Τ的上、下確界;另一方面,全體達(dá)布大和的集合{S(T)}與全體達(dá)布小構(gòu)成的集合{s(T)}又有下確界I0和上確界I0.因而根據(jù)極限的夾值同限的性質(zhì),倘若當(dāng)λ→0時,I0與I0有著相同的極限,亦即limλ→0S((Τ)-s(Τ))=0.于是猜想此時應(yīng)該所有的積分和數(shù){n∑i=1f(ξi)△xi}將趨于同一極限,從而f(x)在[a,b]上是可積的.通過證明就得到如下的可積準(zhǔn)則:定理1(可積準(zhǔn)則Ⅰ)函數(shù)f(x)在[a,b]上可積的充要條件為limλ→0(S(Τ)-s(Τ))=0.其次,由定理1可得limλ→0(S(Τ)-s(Τ))=limλ→0(n∑i=1Μi△xi-n∑i=1mi△xi)=limλ→0n∑i=1(Μi-mi)△xi=0,令wi=Mi-mi,(i=1,2,…,n),則有l(wèi)imλ→0n∑i=1wi△xi=0.用極限語言敘述即為:?ε>0,?δ>0,對于[a,b]的任意分劃T,只要λ(T)<δ時便有n∑i=1wi△xi＜ε(1)仔細(xì)觀察(1)式便可發(fā)現(xiàn),要使(1)式成立,不僅要保證每個wi△xi必須是無窮小,還要使得這些無窮小的和是無窮小.根據(jù)無窮小運(yùn)算的性質(zhì)可知,對于每個wi△xi(i=1,2,…,n),要使其為無窮小,則或者wi與△xi均為無窮小,或者一個為無窮小,另一個為有界量.據(jù)此,對于?ε>0,分幾種情況討論:①如果對每個i(i=1,2,…,n)均有wi<ε,則n∑i=1wi△xi＜εn∑i=1△xi=ε(b-a),此時顯然(1)式成立.②并非對所有的i(i=1,2,…,n)均有wi<ε,用∑wi＜ε和∑wi≥ε分別表示對應(yīng)于那些使得wi<ε和wi≥ε和的小區(qū)間的總長度之和,則有n∑i=1wi△xi=∑wi＜εwi△xi+∑wi≥εwi△xi＜ε(b-a)+∑wi≥εwi△xi(2)(2)式中的第一項(xiàng)已是一個無窮小量,在第二項(xiàng)中,由于f(x)是[a,b]上的有界函數(shù),故而可設(shè)Μ=supa≤x≤b{f(x)},m=infa≤x≤b{f(x)}.于是∑wi≥εwi△xi=∑wi≥ε(Μi-mi)△xi≤(Μ-m)∑wi≥ε△xi.因此,(2)式可化為n∑i=1wi△xi＜ε(b-a)+(Μ-m)∑wi≥ε△xi(3)顯然,要使(1)式成立,必須且只須(3)式中∑wi≥ε△xi的是無窮小量.由此便得到可積準(zhǔn)則Ⅱ.定理2(可積準(zhǔn)則Ⅱ)f(x)在[a,b]可積的充要條件是?ε>0對應(yīng)于wi≥ε的那些小區(qū)間的總長度為無窮小量.定理2用極限的語言也可敘述為:f(x)在[a,b]可積??ε>0及?uf8f5瘙窞>0,?δ>0,對于[a,b]上的任意分劃T,當(dāng)λ(T)<δ時有∑wi≥ε△xi＜■.可積準(zhǔn)則Ⅱ?qū)ψC明有些函數(shù)f(x)的可積性有時往往較之準(zhǔn)則Ⅰ更為簡便.例1若函數(shù)f(x)在[a,b]連續(xù),則f(x)在[a,b]可積.證明因?yàn)閒(x)在[a,b]連續(xù),從而f(x)在[a,b]一致連續(xù),即?ε>0,?δ>0,?x1,x2∈[a,b]有|f(x1)-f(x2)|<ε.因此,對于任意的分劃T,只要λ(T)<δ時,f(x)在每個小區(qū)間上的任意兩個函數(shù)值的差小于ε,于是f(x)在每個小區(qū)間上的最大值與最小值的差亦小于ε,故而在每個小區(qū)間上均有wi<ε,亦即∑wi≥ε△xi=0,根據(jù)可積準(zhǔn)則Ⅱ知f(x)在[a,b]可積.例2設(shè)x∈?f(x)={0,x≠1n,n=1,2,?,1,x=1n,n=1,2,?,求證f(x)在可積.證明f(x)不連續(xù)的點(diǎn)為x=1n(n=1,2,?),對于[a