新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提升訓(xùn)練8.4 均值與方差在生活中的運(yùn)用（精講）（解析版）

8.4均值與方差在生活中的運(yùn)用（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一均值與方差的性質(zhì)【例1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列如下：236PSKIPIF1<0SKIPIF1<0a則SKIPIF1<0的值為（

）A．2 B．6 C．8 D．18【答案】D【解析】根據(jù)分布列可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D.【例1-2】（2022·廣西桂林）設(shè)0＜a＜1．隨機(jī)變量X的分布列是X0a1PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則當(dāng)a在（0，1）內(nèi)增大時(shí)，（

）E（X）不變 B．E（X）減小C．V（X）先增大后減小 D．V（X）先減小后增大【答案】D【解析】SKIPIF1<0，∴E（X）增大；SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵0＜a＜1，∴V（X）先減小后增大．故選：D．【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列為下表所示，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0由隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列的性質(zhì)得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故選：B2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列如下所示，則SKIPIF1<0（

）．X012PSKIPIF1<0aSKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由分布列的性質(zhì)得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選：D3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））設(shè)SKIPIF1<0，隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列是SKIPIF1<00p1PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則當(dāng)p在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)增大時(shí)，（

）A．SKIPIF1<0減小 B．SKIPIF1<0增大C．SKIPIF1<0先減小后增大 D．SKIPIF1<0先增大后減小【答案】D【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0單調(diào)遞減，又SKIPIF1<0，故存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單增，在SKIPIF1<0單減，即SKIPIF1<0先增大后減小.故選：D.考點(diǎn)二利用均值最決策【例2】1（2022·湖北·模擬預(yù)測(cè)）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，即2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，于2022年2月4日星期五開(kāi)幕，2月20日星期日閉幕，該奧運(yùn)會(huì)激發(fā)了大家對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情，某冰雪運(yùn)動(dòng)品商店對(duì)消費(fèi)達(dá)一定金額的顧客開(kāi)展了“冬奧”知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)答活動(dòng)，試題由若干選擇題和填空題兩種題型構(gòu)成，共需要回答三個(gè)問(wèn)題，對(duì)于每一個(gè)問(wèn)題，答錯(cuò)得0分；答對(duì)填空題得30分答對(duì)選擇題得20分現(xiàn)設(shè)置了兩種活動(dòng)方案供選擇，方案一：只回答填空題；方案二：第一題是填空題，后續(xù)選題按如下規(guī)則：若上一題回答正確，則下一次是填空題，若上題回答錯(cuò)誤，則下一次是選擇題．某顧客獲得了答題資格，已知其答對(duì)填空題的概率均為SKIPIF1<0，答對(duì)選擇題的概率均為P，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān)(1)若該顧客采用方案一答題，求其得分不低于60分的概率；(2)以得分的數(shù)學(xué)期望作為判斷依據(jù)，該顧客選擇何種方案更加有利？并說(shuō)明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，選方案一；SKIPIF1<0，方案一、方案二均可；SKIPIF1<0，選方案二．【解析】（1）采用方案一答題，得分不低于60分的情況為至少答對(duì)兩道填空題∴其概率為SKIPIF1<0（2）若采用方案一，設(shè)其答對(duì)題數(shù)為SKIPIF1<0，得分為X則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0若采用方案二，設(shè)其得分為Y，則SKIPIF1<0，20，30，50，60，90SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）即SKIPIF1<0，選方案一數(shù)學(xué)期望大SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，方案一、方案二數(shù)學(xué)期望一樣SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，選方案二數(shù)學(xué)期望大綜上所述：SKIPIF1<0選方案一；SKIPIF1<0方案一、方案二均可；SKIPIF1<0選方案二．【一隅三反】1（2022·棗莊模擬）2020年以來(lái)，新冠疫情對(duì)商品線下零售影響很大．某商家決定借助線上平臺(tái)開(kāi)展銷售活動(dòng)．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)平臺(tái)供選擇，且當(dāng)每件商品的售價(jià)為SKIPIF1<0元時(shí)，從該商品在兩個(gè)平臺(tái)所有銷售數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取100天的日銷售量統(tǒng)計(jì)如下，商品日銷售量（單位：件）678910甲平臺(tái)的天數(shù)1426262410乙平臺(tái)的天數(shù)1025352010假設(shè)該商品在兩個(gè)平臺(tái)日銷售量的概率與表格中相應(yīng)日銷售量的頻率相等，且每天的銷售量互不影響，（1）求“甲平臺(tái)日銷售量不低于8件”的概率，并計(jì)算“從甲平臺(tái)所有銷售數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3天的日銷售量，其中至少有2天日銷售量不低于8件”的概率；（2）已知甲平臺(tái)的收費(fèi)方案為：每天傭金60元，且每銷售一件商品，平臺(tái)收費(fèi)30元；乙平臺(tái)的收費(fèi)方案為：每天不收取傭金，但采用分段收費(fèi)，即每天銷售商品不超過(guò)8件的部分，每件收費(fèi)40元，超過(guò)8件的部分，每件收費(fèi)35元．某商家決定在兩個(gè)平臺(tái)中選擇一個(gè)長(zhǎng)期合作，從日銷售收入（單價(jià)×日銷售量-平臺(tái)費(fèi)用）的期望值較大的角度，你認(rèn)為該商家應(yīng)如何決策？說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）解：令事件SKIPIF1<0“甲平臺(tái)日銷售量不低于8件”，則SKIPIF1<0，令事件SKIPIF1<0“從甲平臺(tái)所有銷售數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3天的日銷售量，其中至少有2天日銷售量不低于8件”，則SKIPIF1<0（2）解：設(shè)甲平臺(tái)的日銷售收入為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的所有可能取值為SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設(shè)乙平臺(tái)的日銷售收入為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的所有可能取值為SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0所以，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，選擇甲平臺(tái)；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，甲乙平臺(tái)均可；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，選擇乙平臺(tái).2．（2022·南京模擬）空氣質(zhì)量指數(shù)AQI與空氣質(zhì)量等級(jí)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：空氣質(zhì)量指數(shù)AQI空氣質(zhì)量等級(jí)[0，50]優(yōu)（50，100]良（100，150]輕度污染（150，200]中度污染（200，300]中度污染（300，＋￥）嚴(yán)重污染下列頻數(shù)分布表是某場(chǎng)館記錄了一個(gè)月（30天）的情況：空氣質(zhì)量指數(shù)AQI[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]頻數(shù)（單位：天）36156（1）利用上述頻數(shù)分布表，估算該場(chǎng)館日平均AQI的值；（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（2）如果把頻率視為概率，且每天空氣質(zhì)量之間相互獨(dú)立，求未來(lái)一周（7天）中該場(chǎng)館至少有兩天空氣質(zhì)量等級(jí)達(dá)到“優(yōu)或良”的概率；（參考數(shù)據(jù)：0.77≈0.0824，結(jié)果精確到0.01）（3）為提升空氣質(zhì)量，該場(chǎng)館安裝了2套相互獨(dú)立的大型空氣凈化系統(tǒng)．已知每套凈化系統(tǒng)一年需要更換濾芯數(shù)量情況如下：更換濾芯數(shù)量（單位：個(gè)）345概率0.20.30.5已知廠家每年年初有一次濾芯促銷活動(dòng)，促銷期內(nèi)每個(gè)濾芯售價(jià)1千元，促銷期結(jié)束后每個(gè)濾芯恢復(fù)原價(jià)2千元．該場(chǎng)館每年年初先在促銷期購(gòu)買n（n≥8，且n∈N*）個(gè)濾芯，如果不夠用，則根據(jù)需要按原價(jià)購(gòu)買補(bǔ)充．問(wèn)該場(chǎng)館年初促銷期購(gòu)買多少個(gè)濾芯，使當(dāng)年購(gòu)買濾芯的總花費(fèi)最合理，請(qǐng)說(shuō)明理由．（不考慮往年剩余濾芯和下一年需求）【答案】見(jiàn)解析【解析】（1）解：法一：SKIPIF1<0；法二：SKIPIF1<0（2）解：一個(gè)月30天中達(dá)到優(yōu)或良的天數(shù)為9，空氣質(zhì)量等級(jí)達(dá)到優(yōu)或良的概率為SKIPIF1<0，∴未來(lái)一周（7天）中該場(chǎng)館至少有兩天空氣質(zhì)量達(dá)到優(yōu)或良的概率為SKIPIF1<0；（3）法一：需要更換的濾芯個(gè)數(shù)X的所有可能取值為6，7，8，9，10，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴更換濾芯個(gè)數(shù)X的期望為：SKIPIF1<0個(gè)若購(gòu)買8個(gè)，則總花費(fèi)為SKIPIF1<0元，若購(gòu)買9個(gè)，則總花費(fèi)為9000元，∵SKIPIF1<0，故應(yīng)購(gòu)買9個(gè)最合理．法二：按照這個(gè)數(shù)據(jù)，每年需要6到10個(gè)濾芯，也就是SKIPIF1<0，9，10，而需求假設(shè)為Z，會(huì)有SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0那么當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，會(huì)有花費(fèi)SKIPIF1<0的分布為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0均值SKIPIF1<0同理算出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故此買9個(gè)最劃算．考點(diǎn)三均值與其他知識(shí)的結(jié)合【例3】（2022·云南師大附中）某校組織“生物多樣性”知識(shí)競(jìng)賽，甲、乙兩名同學(xué)參加比賽，每一輪比賽，甲、乙各回答一道題，已知每道題得分為1~100的任意整數(shù)，60分及以上判定為合格.規(guī)定：在一輪比賽中，若兩名參賽選手，一名合格一名不合格，記合格者為SKIPIF1<0，不合格者為SKIPIF1<0；若兩名參賽選手，同時(shí)合格或同時(shí)不合格，記兩名選手都是SKIPIF1<0.在比賽前，甲、乙分別進(jìn)行模擬練習(xí).已知某次練習(xí)中，甲、乙分別回答了15道題，答題分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，甲、乙回答每道題得分不相互影響，并以該次練習(xí)甲、乙每道題的合格概率估計(jì)比賽時(shí)每道題的合格概率.(1)分別求甲、乙兩名同學(xué)比賽時(shí)每道題合格的概率；(2)設(shè)2輪比賽中甲獲得SKIPIF1<0的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)若甲、乙兩名同學(xué)共進(jìn)行了10輪比賽，甲同學(xué)獲得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）個(gè)SKIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0最大時(shí)，求SKIPIF1<0.【答案】(1)甲的合格率為SKIPIF1<0，乙的合格率為SKIPIF1<0(2)分布列見(jiàn)解析，SKIPIF1<0(3)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0最大【解析】(1)根據(jù)莖葉圖知，15道題中甲同學(xué)合格了5個(gè)題，乙同學(xué)合格了6個(gè)題，所以甲同學(xué)合格的概率為SKIPIF1<0，乙同學(xué)合格的概率為SKIPIF1<0.(2)設(shè)一輪比賽中，甲同學(xué)獲得SKIPIF1<0的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的可能取值為0，1，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0由于甲同學(xué)2輪比賽可能獲得SKIPIF1<0的個(gè)數(shù)為0，1，2，故SKIPIF1<0的可能取值為0，1，2，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(3)設(shè)10輪比賽中，甲同學(xué)獲得SKIPIF1<0的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(SKIPIF1<0且SKIPIF1<0)．由于SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0隨著SKIPIF1<0的增大而增大，所以SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0；SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0最大．【一隅三反】1．（2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）某工廠對(duì)一批零件進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，具體檢測(cè)方案是：從這批零件中任取10件逐一進(jìn)行檢測(cè)，當(dāng)檢測(cè)到2件不合格零件時(shí)，停止檢測(cè)，此批零件未通過(guò)，否則檢測(cè)通過(guò).設(shè)每件零件為合格零件的概率為p，且每件零件是否合格是相互獨(dú)立的.(1)已知SKIPIF1<0，若此批零件檢測(cè)未通過(guò)，求恰好檢測(cè)5次的概率；(2)已知每件零件的生產(chǎn)成本為80元，合格零件的售價(jià)為每件150元.現(xiàn)對(duì)不合格零件進(jìn)行修復(fù)，修復(fù)后按正常零件進(jìn)行銷售，修復(fù)后不合格零件以每件10元按廢品處理.若每件零件修復(fù)的費(fèi)用為每件20元，每件不合格的零件修復(fù)為合格零件的概率為SKIPIF1<0工廠希望每件零件可獲利至少60元.求每件零件為合格零件的概率p的最小值？【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)解：記事件SKIPIF1<0“此批零件檢測(cè)未通過(guò)，恰好檢測(cè)5次”則前4次有1次未通過(guò)，第5次未通過(guò)SKIPIF1<0.即恰好檢測(cè)5次未通過(guò)的概率為SKIPIF1<0；(2)由題意可得，合格產(chǎn)品利潤(rùn)為70元，不合格產(chǎn)品修復(fù)合格后利潤(rùn)為50元，不合格產(chǎn)品修復(fù)后不合格的利潤(rùn)為SKIPIF1<0元，設(shè)每件零件可獲利X元，SKIPIF1<0；50；SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

解得SKIPIF1<0，即：每件零件為合格零件的概率p的最小值為SKIPIF1<02.（2022·內(nèi)蒙古）某職業(yè)中專開(kāi)設(shè)的一門學(xué)科的考試分為理論考試和實(shí)踐操作考試兩部分，當(dāng)理論考試合格才能參加實(shí)踐操作考試，只有理論考試與實(shí)踐操作考試均合格，才能獲得技術(shù)資格證書(shū)，如果一次考試不合格有1次補(bǔ)考機(jī)會(huì).學(xué)校為了掌握該校學(xué)生對(duì)該學(xué)科學(xué)習(xí)情況，進(jìn)行了一次調(diào)查，隨機(jī)選取了100位同學(xué)的一次考試成績(jī)，將理論考試與實(shí)踐操作考試成績(jī)折算成一科得分（百分制），制成如下表格：分段[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人數(shù)510a30a+510(1)①求表中a的值，并估算該門學(xué)科這次考試的平均分（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；②在[40，50)，[50，60)，[60，70)