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文檔簡介
2022-2023學(xué)年黑龍江省牡丹江市高中名校高考數(shù)學(xué)試題模擬(三診)試題
考生請注意:
1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。
2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的
位置上。
3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
1.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()
二十士
1111
3216
A.32TC.16D.—
3
kx,x>0
2.記/(幻=]一[幻其中[x]表示不大于x的最大整數(shù)g(x)=1八,若方程在/(%)=g(x)在[-5,5]有7個不
——,x<0
同的實數(shù)根,則實數(shù)4的取值范圍(
]_
B.C.D.
6?5655ri554
22
Xy
3.已知點尸在橢圓不:7十萬=1(">力>0)上,點尸在第一象限,點尸關(guān)于原點。的對稱點為A,點尸關(guān)于x軸的對
3--
稱點為。,設(shè)PD=—PQ,直線A。與橢圓r的另一個交點為3,若則橢圓T的離心率e=()
4
A.-B.—C.3D.—
2223
4.已知角a的頂點與坐標(biāo)原點重合,始邊與X軸的非負(fù)半軸重合,若點P(2,-l)在角。的終邊上,則sin'-2a
()
4433
A.D.
555
YCCWXTC7C
5.函數(shù)/(,)=-在-2,萬上的圖象大致為()
A.
D.
6.20世紀(jì)產(chǎn)生了著名的“3x+l”猜想:任給一個正整數(shù)x,如果工是偶數(shù),就將它減半;如果x是奇數(shù),則將它乘3
加1,不斷重復(fù)這樣的運算,經(jīng)過有限步后,一定可以得到1.如圖是驗證“3x+l”猜想的一個程序框圖,若輸入正整數(shù)
加的值為4(),則輸出的〃的值是()
開始
A.8B.9C.10D.11
x-y<0,
二■的取值范圍為()
7.若x,y滿足約束條件x+y<2,則=
zy+2
x+l>0,
24242
A.B.[-,3]C.[-,2]D.[~,2]
5353
2
8.已知雙曲線噂下y
=1(。>0力>0),。為坐標(biāo)原點,F(xiàn)]、工為其左、右焦點,點G在C的漸近線上,F(xiàn)2G1OG,
且61OG|=|G4I,則該雙曲線的漸近線方程為()
B.y=土冬c.y=±xD.y=土Ox
2
9.復(fù)數(shù)z=y二匕吧的虛部為(
)
z+1
B.—3c.1D.2
1d=0,=0且在(0,〃)上是單調(diào)函數(shù),則下
10.已知函數(shù)/'(x)=2sin(5+o)(a>>0,0<e<;r),
列說法正確的是()
1B.(訃勺
A.69=—
2
-rrD.函數(shù)“X)的圖像關(guān)于點停,()]對稱
C.函數(shù)/(x)在一肛-5上單調(diào)遞減
11.已知點A(2,0)、B(0,-2).若點p在函數(shù)y=的圖象上,則使得△PA8的面積為2的點P的個數(shù)為()
A.1B.2C.3D.4
x
12.已知函數(shù)“十、)=]e小,x_<l2)/>1
若方程/(x)一如-1=0恰有兩個不同實根,則正數(shù)m的取值范圍為()
A.1一,l]u(l,e-l)B-(T1[0,eT]
I,7
C.(T』[u(l,e-l)D.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.(5分)國家禁毒辦于2019年11月5日至12月15日在全國青少年毒品預(yù)防教育數(shù)字化網(wǎng)絡(luò)平臺上開展2019年
全國青少年禁毒知識答題活動,活動期間進(jìn)入答題專區(qū),點擊“開始答題''按鈕后,系統(tǒng)自動生成20道題.已知某校高
二年級有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)在這次活動中答對的題數(shù)分別是17,20,16,18,19,則這五位同學(xué)答對題數(shù)的方差
是.
14.已知在△ABC中,AB=(2s加32°,2cos32°),BC=(cos77°,-cosl3°),貝IA3?BC=,△ABC的面
積為.
15.設(shè)函數(shù)/(x)=|lnx+4+|x+4(a,0wR),當(dāng)xe[l,e]時,記/(x)最大值為,則的最小值為
16.圓心在曲線y=;(x>0,A:>0)上的圓中,存在與直線2x+y+1=()相切且面積為5兀的圓,則當(dāng)后取最大值時,
該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(12分)如圖,在直三棱柱A5C-451cl中,ZABC=90°,AB=AAi,M,N分別是AC,BCi的中點.求證:
(1)MN〃平面AB514;
(2)AN1.A1B.
18.(12分)為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中,參考的文科生與理科生人數(shù)之比為1:4,且成
績分布在[0,60]的范圍內(nèi),規(guī)定分?jǐn)?shù)在50以上(含50)的作文被評為“優(yōu)秀作文”,按文理科用分層抽樣的方法抽取
400人的成績作為樣本,得到成績的頻率分布直方圖,如圖所示.其中構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.
(1)求a/,c的值;
(2)填寫下面2x2列聯(lián)表,能否在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)?
文科生理科生合計
獲獎6
不獲獎
合計400
(3)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,現(xiàn)從全市參考學(xué)生中,任意抽取2名學(xué)生,記“獲得優(yōu)秀作文”的學(xué)生人數(shù)為X,
求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附:K~--------------------------,其中〃=a+b+c+d.
(Q+b)(c+d)(〃+c)[b+d)
2
P(K..k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
19.(12分)已知橢圓E:三+m=1(。>。>0)的離心率為白,且過點((,手,點P在第一象限,A為左頂點,
B為下頂點,R4交)'軸于點C,/必交x軸于點£>.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若CDIIAB,求點P的坐標(biāo).
20.(12分)若函數(shù)/(x)在/處有極值,且/⑷=/,則稱端為函數(shù)“X)的“廠點”.
(1)設(shè)函數(shù)/(%)=辰一21nx(CwR).
①當(dāng)4=1時,求函數(shù)/(x)的極值;
②若函數(shù)“X)存在“尸點”,求A的值;
(2)已知函數(shù)g(x)=<z?+Zzx2+cx(a,b,ceR,a#O)存在兩個不相等的“尸點々,且|g(%)-8(々),1,
求a的取值范圍.
21.(12分)某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品,如果年返修率不超過千分之一,則其生產(chǎn)部門當(dāng)年考核優(yōu)秀,現(xiàn)獲得該公司年
的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示:
年份20112012201320142015201620172018
年生產(chǎn)臺數(shù)(萬臺)2345671011
該產(chǎn)品的年利潤(百萬元)2.12.753.53.2534.966.5
年返修臺數(shù)(臺)2122286580658488
18188
部分計算結(jié)果:x=-^jxi=6,5=6工》=4,一?。﹡=72,
3/=18f=l/=1
88
一用2=18.045,Z(七一亍)(>「了)=34.5
i=li=l
年返修臺數(shù)
注:年返修率=
年生產(chǎn)臺數(shù)
(1)從該公司年的相關(guān)數(shù)據(jù)中任意選取3年的數(shù)據(jù),以J表示3年中生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù),求J的分布列和
數(shù)學(xué)期望;
(2)根據(jù)散點圖發(fā)現(xiàn)2015年數(shù)據(jù)偏差較大,如果去掉該年的數(shù)據(jù),試用剩下的數(shù)據(jù)求出年利潤,(百萬元)關(guān)于年
生產(chǎn)臺數(shù)X(萬臺)的線性回歸方程(精確到0.01).
,~(x,-J)V,'xy.-n-x-j,
附:線性回歸方程y="+4中,〃=白嗎~~——=七———>a=y-bx.
22.(10分)已知拋物線C:f=4y與直線/:x—2y-2=0.
(1)求拋物線C上的點到直線/距離的最小值;
(2)設(shè)點。(毛,%)是直線/上的動點,Q(1,D是定點,過點尸作拋物線C的兩條切線,切點為A,B,求證A,Q,
3共線;并在AQ=3Q8時求點尸坐標(biāo).
參考答案
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
1、D
【解析】
根據(jù)三視圖判斷出幾何體是由一個三棱錐和一個三棱柱構(gòu)成,利用錐體和柱體的體積公式計算出體積并相加求得幾何
體的體積.
【詳解】
由三視圖可知該幾何體的直觀圖是由一個三棱錐和三棱柱構(gòu)成,該多面體體積為-x2x2x2+-xlx2x2x2=—.
2323
故選D.
【點睛】
本小題主要考查三視圖還原為原圖,考查柱體和錐體的體積公式,屬于基礎(chǔ)題.
2、D
【解析】
做出函數(shù)/(X),g(x)的圖象,問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)/(x),g(x)的圖象在[-5,5]有7個交點,而函數(shù)/(x),g(x)在[-5,0]±
有3個交點,則在[0,5]上有4個不同的交點,數(shù)形結(jié)合即可求解.
【詳解】
方程/(X)=g(x)在1-5,0]上有3個不同的實數(shù)根,
則在[0,5]上有4個不同的實數(shù)根,
當(dāng)直線y=后經(jīng)過(4,1)時,k=]
當(dāng)直線y=丘經(jīng)過(5,1)時,k=(,
可知當(dāng)!<Z<,時,直線y=丘與/(x)的圖象在[0,5]上有4個交點,
54
即方程/(x)=g(x),在[0,5]上有4個不同的實數(shù)根.
故選:D.
【點睛】
本題考查方程根的個數(shù)求參數(shù),利用函數(shù)零點和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點是解題的關(guān)鍵,運用數(shù)形結(jié)合
是解決函數(shù)零點問題的基本思想,屬于中檔題.
3、C
【解析】
設(shè)P&,X),貝!。(加-yj,。斗,一會,設(shè)3(%,%),根據(jù)24化簡得到34=后,得到
答案.
【詳解】
設(shè)P&,y),貝!0(和一%),PD^PQ,則。卜,一段}設(shè)B(私斗),
工+上=1
則/h\,兩式相減得到:(玉+2)?-±)=_5+型>「力),
V,^2,1礦b-
L-----2--十---b---2---I
kk=k即與k/_4(x+%)
“Xf一/X+)「ADkAB,即你iJ
PA_LPB)故?kpA*kpB=_l,即—4^y=—1,故3。2=4(?2,故e=^^.
a~2
故選:C.
【點睛】
本題考查了橢圓的離心率,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.
4、D
【解析】
由題知cosa=亭,又sin6-2“=cos2a=2cos2a-1,代入計算可得.
【詳解】
由題知cosa=,又sin-2a)=cos2a=2cos2a-l=1.
故選:D
【點睛】
本題主要考查了三角函數(shù)的定義,誘導(dǎo)公式,二倍角公式的應(yīng)用求值.
5、C
【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在0<x<1時的符號,即可求解.
【詳解】
rcosx
由./?(—X)=—=-fix)可知函數(shù)/(X)為奇函數(shù).
2+2
所以函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱,排除選項A,B;
7T
當(dāng)。時,cosx>0,
2
YCCSY
?../(x)=二一二>0,排除選項O,
故選:C.
【點睛】
本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對稱性,屬于中檔題.
6、C
【解析】
列出循環(huán)的每一步,可得出輸出的〃的值.
【詳解】
A
九=1,輸入加=40,〃=1+1=2,加=1不成立,團(tuán)是偶數(shù)成立,貝!]/篦二
20s
〃=2+1=3,m=1不成立,m是偶數(shù)成立,則nI機(jī)=一=10;
2
10<
〃=3+1=4,m=1不成立,加是偶數(shù)成立,則nlm=一=5;
2
〃=4+1=5,根=1不成立,團(tuán)是偶數(shù)不成立,則加=3x5+1=16;
則機(jī)=L=8;
幾=5+1=6,團(tuán)=1不成立,加是偶數(shù)成立,
2
8
〃=6+1=7,能=1不成立,m是偶數(shù)成立,則〃2=—=4;
2
4c
〃=7+1=8,m=1不成立,機(jī)是偶數(shù)成立,則nIm=—二2;
2
2?
〃=8+1=9,加二1不成立,m是偶數(shù)成立,則nIm=-=1;
2
〃=9+1=10,團(tuán)=1成立,跳出循環(huán),輸出〃的值為10.
故選:C.
【點睛】
本題考查利用程序框圖計算輸出結(jié)果,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.
7、D
【解析】
x+3
由題意作出可行域,轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z=7瓦為連接點。(-3,-2)和可行域內(nèi)的點(乂),)的直線斜率的倒數(shù),數(shù)形結(jié)合
即可得解.
【詳解】
由題意作出可行域,如圖,
x+3
目標(biāo)函數(shù)z=不2可表示連接點D(-3,-2)和可行域內(nèi)的點(x,y)的直線斜率的倒數(shù),
由圖可知,直線D4的斜率最小,直線OB的斜率最大,
x-y=0/、x+y=2/、
由,川=??傻?1)'由川:0可得B(T3),
3+252
所以=1=['仁功=-^=彳,所以4KzW2.
—1+JL—1+JLJ
本題考查了非線性規(guī)劃的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
8,D
【解析】
根據(jù)巴GLOG,先確定出的長度,然后利用雙曲線定義將指IOGRGKI轉(zhuǎn)化為a*,c的關(guān)系式,化簡
b
后可得到一的值,即可求漸近線方程.
a
【詳解】
如圖所示:
又因為迷|OG|=|G用,所以布|。6卜,列,所以而[0?=|6/2+6耳|,
所以610G『=,尸2+8尸j,所以6a2=b2+4c?+?x2cxcos(180°—NGgf;),
所以6a2=/+4/+2bx2cx(―2}所以從=2",夜,
所以漸近線方程為y=±0x.
故選:D.
【點睛】
本題考查根據(jù)雙曲線中的長度關(guān)系求解漸近線方程,難度一般.注意雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛軸長度的一半.
9、B
【解析】
對復(fù)數(shù)二進(jìn)行化簡計算,得到答案.
【詳解】
("1)2+44-2/(4-2Z)(1-z)
z=---------=-----=--------—^=1-3/
1+11+12
所以z的虛部為-3
故選B項.
【點睛】
本題考查復(fù)數(shù)的計算,虛部的概念,屬于簡單題.
10、B
【解析】
根據(jù)函數(shù)/(x),在(0,〃)上是單調(diào)函數(shù),確定0<041,然后一一驗證,
A.若0=;,則/(x)=2sin(gx+*),由=得夕=手,但/?)=sin+彳由
'(三)=°‘確定/(x)=2sin(gx+笄),再求解了(一兀、
,閨S-驗證.C.利用整體法根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)
87
性判斷.D.計算/是否為0.
【詳解】
因為函數(shù)/(X),在(0,4)上是單調(diào)函數(shù),
T2萬
所以一之兀,即一22%,所以0v&,
2co
若0=3,則〃x)=2si31
n+又因為/0,即/si?lx|Xo,解得T,而
+4
3冗
故A錯誤.
T2
,j丁4瓜CO71后71CD
+。=。n,不妨令---+9=乃,得°=71———
)22
容得冗j[3乃
由/=sin=cox——\-(p=2攵乃+—或GX——\-(p=227+——
(f)Frd8484
71712k兀
當(dāng)口乂可+0=2左;時,co------+2,不合題意.
3
O萬
,TC.f37r?斫犯22
當(dāng)GX—(p—2左"十—時,+此時〃x)=2sin—x+——
84333
(222小_.77r>/6+\/2
所以2sin—x十一=2sin—x+——=2sin——=-,---故---B---正確.
(33)33122
E17T12lf71
因為一肛---,-XH-------€0,1,函數(shù)/(x),在上是單調(diào)遞增,故C錯誤.
2333
故D錯誤.
故選:B
【點睛】
本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用,還考查了運算求解的能力,屬于較難的題.
11、C
【解析】
設(shè)出點P的坐標(biāo),以4B為底結(jié)合△PAB的面積計算出點P到直線AB的距離,利用點到直線的距離公式可得出關(guān)于
”的方程,求出方程的解,即可得出結(jié)論.
【詳解】
設(shè)點P的坐標(biāo)為直線的方程為:一1=1,即x—y—2=0,
設(shè)點P到直線A3的距離為d,則S嘰=;|陰,d=;x2虛xd=2,解得]=8,
另一方面,由點到直線的距離公式得d=)一"一2|=0,
V2
整理得。一\/^=0或〃一6-4=0,?>0,解得<7=0或4=]或々=9.
2
綜上,滿足條件的點P共有三個.
故選:C.
【點睛】
本題考查三角形面積的計算,涉及點到直線的距離公式的應(yīng)用,考查運算求解能力,屬于中等題.
12、D
【解析】
當(dāng)x>l時,函數(shù)周期為2,畫出函數(shù)圖像,如圖所示,方程兩個不同實根,即函數(shù)/(%)和,=座+1有圖像兩個交
點,計算人“=<,kBC=e-],根據(jù)圖像得到答案.
【詳解】
當(dāng)x>l時,/(x)=/(x-2),故函數(shù)周期為2,畫出函數(shù)圖像,如圖所示:
方程/(X)-如一1=0,即/(x)=znr+l,即函數(shù)/(x)和y=蛆+1有兩個交點.
/(x)=e\f\x)=e\故/(0)=1,8(1,e),C(3,e),L=?,L="L
根據(jù)圖像知:機(jī)(Le-1].
故選:D.
本題考查了函數(shù)的零點問題,確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13、2
【解析】
-17+20+16+18+19
由這五位同學(xué)答對的題數(shù)分別是17,20,16,18,19,得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)x=------------------------------=18,則方差
5
s2=-X[(17-18)2+(20-18)2+(16-18)2+(18-18)2+(19-18)2]=—=2.
55
72
14、-y/2
【解析】
BABCV2
①根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合兩角差的正弦公式的逆用即可得解;②結(jié)合①求出cosZABC=
2,
根據(jù)面積公式即可得解.
【詳解】
?ABBC=2s山32°-cosIT-2cos32°?的13°=2(si"32°?cos77°-cos32°?s加77°)
2克〃(32。-77。)=-2s加45。=,
BABC41
②網(wǎng)=2,|5C|=1,cosAABC=
AB\^BC\2,
AsinZABC=立
2
,.SABC=BC\sinZABC=-x2xlx—^—
2'11?222
故答案為:-夜,巫.
2
【點睛】
此題考查平面向量與三角函數(shù)解三角形綜合應(yīng)用,涉及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,三角恒等變換,根據(jù)三角形面積
公式求解三角形面積,綜合性強(qiáng).
15、£
2
【解析】
易知/(x)=max{|lnx+Q+x+b|Jlnx+a-x-4},設(shè)G(x)=|lnx-x+Q-W,F(xiàn)^=\lnx+x+a+b\,利用絕
對值不等式的性質(zhì)即可得解.
【詳解】
/(x)=max^lnx+6z4-x+/7|,|lnx4-^-x—Z?||,
設(shè)G(x)=|lnx-x+a-b|,F(x)=|lnx+x4-4z+/?|,
令/z(x)=lnx-x,//(%)=——1
x
當(dāng)了41,4時,A'(x)<0,所以/2(x)單調(diào)遞減
令=lnx+x,n(x)=—+1
當(dāng)xe[l,e]時,〃(x)>0,所以〃(x)單調(diào)遞增
所以當(dāng)xe[l,e]時,
G(x)=max{|l+a—@,|l+a—e-4},
E(x)=max1|l+a+/?|,|l+?+e+/?||,
貝?。?Af(a,Z?)>|l+6(—Z?|+|l+4z_c-/?|+|l+iz+c+Z?|+|l+4z+/?|
則4M(a,Z?)>|2+e+2a|+|2-e+2a|>2e,
即M(a,O)奇
故答案為:—.
2
【點睛】
本題考查函數(shù)最值的求法,考查絕對值不等式的性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想及邏輯推理能力,屬于難題.
16、(1)2+0—2)2=5
【解析】
由題意可得圓的面積求出圓的半徑,由圓心在曲線上,設(shè)圓的圓心坐標(biāo),到直線的距離等于半徑,再由均值不等式可
得女的最大值時圓心的坐標(biāo),進(jìn)而求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】
設(shè)圓的半徑為廣,由題意可得〃尸=5%,所以廠=行,
由題意設(shè)圓心C(a,K),由題意可得。>0,
a
k
由直線與圓相切可得”____k,所以|2。+人+1|=5,
忑7a
而%>0,<2>0>所以5=2aH卜1N2、[2ahl,即22J2k,解得%W2,
aVci
k
所以我的最大值為2,當(dāng)且僅當(dāng)2a=一時取等號,可得。=1,
a
所以圓心坐標(biāo)為:(1,2),半徑為近,
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:(x—l)2+(y—2)2=5.
故答案為:(xT)2+(y—2)2=5.
【點睛】
本題考查直線與圓的位置關(guān)系及均值不等式的應(yīng)用,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運
算求解能力,求解時注意驗正等號成立的條件.
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17、(1)詳見解析;(2)詳見解析.
【解析】
(1)利用平行四邊形的方法,證明MN//平面ABgA.
(2)通過證明平面由此證得48LAN.
【詳解】
(D設(shè)E是中點,連接由于M是AC中點,所以ME"BC且MN=^BC,而用N//BC且
B】N=gBC,所以ME與gN平行且相等,所以四邊形ME用N是平行四邊形,所以MN//B、E,由于MN"平
面B|Eu平面ABBA,所以用N//平面ABqA.
(2)連接Aq,由于直三棱柱中BC_L8用,而1.A3,8片cA3=8,所以8C_L平面AB44,所以BC_LA.B,
由于8C//BC,所以?由于四邊形AB44是矩形且AB=AA,所以四邊形ABqA是正方形,所以
43_14片,由于44門用0=31,所以48,平面/1477,所以A]LAN.
【點睛】
本小題主要考查線面平行的證明,考查線面垂直的證明,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.
18、(1)a=0.005,8=0.01,c=0.02.(2)填表見解析;在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下,不能認(rèn)為“獲得
優(yōu)秀作文,,與,,學(xué)生的文理科,,有關(guān)(3)詳見解析
【解析】
(1)根據(jù)頻率分步直方圖和。,仇c構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列,即可得解;
(2)由頻率分步直方圖算出相應(yīng)的頻數(shù)即可填寫2x2列聯(lián)表,再用K?的計算公式運算即可;
(3)獲獎的概率為亮=點,隨機(jī)變量1~3(2,,],再根據(jù)二項分布即可求出其分布列與期望.
【詳解】
解:(1)由頻率分布直方圖可知,10x(a+b+c)=l-10x(0.018+0.022+0.025)=0.35,
因為a,dc構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列,所以a+2a+4a=0.035,解得a=0.005,
所以£>=2a-0.01>c-4a=0.02.
故a=0.005,8=0.01,c=0.02.
(2)獲獎的人數(shù)為0.005x1Ox400=20人,
因為參考的文科生與理科生人數(shù)之比為1:4,所以400人中文科生的數(shù)量為400x(=80,理科生的數(shù)量為
400-80=320.
由表可知,獲獎的文科生有6人,所以獲獎的理科生有20—6=14人,不獲獎的文科生有80—6=74人.
于是可以得到2x2列聯(lián)表如下:
文科生理科生合計
獲獎61420
不獲獎74306380
合計80320400
五2_400x(6>306-14>74)2
八20x380x80x320?1.32<6.635
所以在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下,不能認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān).
201
(3)由(2)可知,獲獎的概率為K=
40020
X的可能取值為0,1,2,
02361
P(X=())=《?1(2102,120,
,-400,
12、_38_19
P(X=1)=C;?
.工20)J瓦-400-200,
2空
P(X=2)=C]120,I.f=_L
<20,4001
分布列如下:
X012
361191
P
400200400
數(shù)學(xué)期望為E(X)=0x迎■+lxJ-+2x」一=-t
40020040010
【點睛】
本題考查頻率分布直方圖、統(tǒng)計案例和離散型隨機(jī)變量的分布列與期望,考查學(xué)生的閱讀理解能力和計算能力,屬于
中檔題.
2(
19、(1)—+y2=1;(2)V2,
4-
【解析】
£=在
a2
222
(1)由題意得《a^b+c,求出進(jìn)而可得到橢圓后的方程;
79
4a②+16b2
(2)由(1)知點A,8坐標(biāo),設(shè)直線AP的方程為y=-x+2),易知0<上<(,可得點C的坐標(biāo)為(0,2&),聯(lián)立方
y-k(x+2)
程《22,得到關(guān)于丁的一元二次方程,結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系,可用人表示p的坐標(biāo),進(jìn)而由三點共線,
―x+/=]
I4,
即kBD=kpB,可用攵表示。的坐標(biāo),再結(jié)合k8=&",可建立方程,從而求出攵的值,即可求得點P的坐標(biāo).
【詳解】
c6
a2
a2=4
(1)由題意得《<z2=b~+C1,解得
b2=1
79
V+16F-
丫2
所以橢圓E的方程為土+y2=i.
4-
(2)由⑴知點4—2,0),8(0,—1),
由題意可設(shè)直線AP的斜率為左,則所以直線AP的方程為y=&(x+2),則點C的坐標(biāo)為(0,2%),
y^k(x+2)
2
聯(lián)立方程x,,消去》得:(1+442)/+16憶2%+16%2-4=().
一+曠=1
I4-
16/一48k2—2
設(shè)P(石,X),則—2-X]-------,所以%=-------
1+4/11+4公7
由“I,/8&2-2c、4Zg”a8爐一24k、
所以,=?W+2)=所以詢).
設(shè)。點的坐標(biāo)為(不,0),因為點P,8,。三點共線,所以kBD=kpB,即
「力+】
11+4公2_4kbtnN_4k.
,所以不TF,所以O(shè)(TF,°)?
8k2—21+2k1+2k
1+4公
2k_1
因為CD//AB,所以k8=左.,即2-4k2?
~1+2k
所以4k2+4左一1=0,解得"=二1主也,
2
又0<A<<,所以左=立二1符合題意,
22
計算可得一窯!母‘高考,
故點P的坐標(biāo)為(、回,立).
2
【點睛】
本題考查橢圓方程的求法,考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,考查平行線的性質(zhì),考查學(xué)生的計算求解能力,屬于難
題.
20、(1)①極小值為1,無極大值.②實數(shù)#的值為1.(2)[-2,0)
【解析】
⑴①將后=1代入〃x)可得/(同=/一2111;1,求導(dǎo)討論函數(shù)單調(diào)性,即得極值;②設(shè).%是函數(shù)/(力的一個“尸
點即是/'(X)的零點,那么由導(dǎo)數(shù)/,(x)=2("——1)可知女>0,且/'(%)=0,可得豌L,根
Xk
據(jù)/(毛)=方可得%+21門0-1=0,設(shè)°(x)=x+21nx-l,由。(x)的單調(diào)性可得.%,即得h⑵方法一:先
求g(x)的導(dǎo)數(shù),8(%)存在兩個不相等的“尸點”為,可以由g'(x)=0和韋達(dá)定理表示出為,々的關(guān)系,再由
g(X1)-g(X2)=X]-工2,可得a,》,c的關(guān)系式,根據(jù)已知解年(%)-8優(yōu))|=回一巧|21即得?方法二:由函數(shù)g(x)
3加+2版+c=。的兩個相異實數(shù)根,由
存在不相等的兩個“尸點”網(wǎng)和巧,可知再,起是關(guān)于x的方程組
ax+cx=x
加+加+5=工得九二。,分兩種情況:x=0是函數(shù)g(x)一個“尸點”,x=0不是函數(shù)g(x)一個“尸點”,進(jìn)行討
論即得.
【詳解】
解:(1)①當(dāng)%=1時,/(x)=f_21nx(后eR),
則有/(X)=2(XT)(X+1)(%>。),令/,(》)=0得%=I,
X
列表如下:
X(0,1)1(1,+8)
—0+
/W極小值
故函數(shù)/(X)在x=l處取得極小值,極小值為1,無極大值.
②設(shè)%是函數(shù)/(X)的一個“F點”(/>0).
尸(力,2伏1)(x〉0),???不是函數(shù)/'(x)的零點.
X
■.k>0,由/''(Xo)=o,得同=1,%=4,
由/(玉))=玉),得叱_21nxo=%,即Xo+21n玉)-1=0.
/、2
設(shè)°(x)=x+21nx-l,則d(x)=l+—>0,
所以函數(shù)°(x)=x+21nx-1在(0,+“)上單調(diào)增,注意到0(1)=0,
所以方程Xo+21nXo-l=O存在唯一實根1,所以入0=6=1,得z=1,
根據(jù)①知,左=1時,x=l是函數(shù)/(x)的極小值點,
所以1是函數(shù)/(x)的“F點”.
綜上,得實數(shù)〃的值為1.
(2)由g(x)=o?+fer2+5(Q,b,cwR,a#0),
可得/(%)=3加+2/?x+c(a/O).
又函數(shù)g(x)存在不相等的兩個“尸點”占和馬,
二苞,馬是關(guān)于x的方程3以2+次+。=()(。。0)的兩個相異實數(shù)根.
A=4/-12ac>0
2b
〈X]+X)=---------
3a
又g(xj=渥+〃x;+CT]=x,,g(x)=dx1+cx
2+hx^2=x2,
.??8(%)一且(尤2)=玉—尤2,即(渥+hx:+61)一(渥+/zx;+3)=%]一工2,
從而(%-%2)[。(片+%工
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