2023年高考數(shù)學(xué)第44講 設(shè)而不求點(diǎn)差法

第44講設(shè)而不求點(diǎn)差法，整體思想是主線

一、知識聚焦

在求解某個(gè)量的過程中，常常需要借助其他量，對于這些輔助量，只需要表示而不必求

出，謂之“設(shè)而不求”，其實(shí)質(zhì)也是一種整體代換、整體變形，在解析幾何中“設(shè)而不求”

法也叫做“點(diǎn)差法”，經(jīng)常用于解決直線與圓錐曲線相交中涉及弦的中點(diǎn)問題，通?？上仍O(shè)

出兩個(gè)交點(diǎn)RMM),Q泡％),然后代入圓錐曲線方程，得到兩個(gè)恒等式，再把兩式相減，

整理后可得弦。。的斜率與弦。。中點(diǎn)㈤的關(guān)系式，從而使問題得解，此過程不需要

具體求出戶，。的坐標(biāo)(設(shè)而不求，關(guān)鍵是得出即。=上&),整體思想是運(yùn)用點(diǎn)差法解題的

內(nèi)一當(dāng)

一條主線，求解時(shí)還要注意弦所在直線的斜率是否存在，并注意運(yùn)用判別式檢驗(yàn)弦所在直線

與曲線是否相交.

二、精講與訓(xùn)練

核心例題1

已知點(diǎn)48的坐標(biāo)分別是(-1,0).(1,0),直線4K的相交于點(diǎn)M且它們的斜率

之積為-2..

(1)求動(dòng)點(diǎn)例的軌跡方程.

(2)若過點(diǎn)，1)的直線/交動(dòng)點(diǎn)例的軌跡于C。兩點(diǎn)，且AZ為線段。。的中點(diǎn)，

求直線/的方程.

解題策略凡涉及弦中點(diǎn)問題常用“點(diǎn)差法”，其解題步驟如下：

(1)設(shè)點(diǎn)，即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)代入，即代入錐曲線方程；

(3)作差，即兩式相減，再用平方差公式把上式展開，構(gòu)造出占+々，%-々，X+%，

乂一必；

⑷整理，即轉(zhuǎn)化為斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，然后求解.

解⑴設(shè)M(XQJ,G%=_2,一=-2("±1),

x+\x-\

化簡得2f+/=2(x大±1),即為動(dòng)點(diǎn)例的軌跡方程.

(2)設(shè)QM,必)，4及，%).

當(dāng)直線八軸時(shí)’直線/的方程為W，貝UC

此時(shí)線段。的中點(diǎn)不是點(diǎn)A/,不合題意.

故直線/的方程為片l=《x-g).

2k+y：=2①

將口幾/),久xz,詞代入2f+"=2(xW±l),得，

2x；+y；=2②

Ji~y~(xi+x2)(-2)x1

①■②整理得:--------2-=--------------=----------——1

2

直線/的方程為即2x+2尸3=0.

變式訓(xùn)練

22

⑴過點(diǎn)僅1,1)作斜率為的直線與橢圓。：^+/=1(3>6>0)相交于48兩點(diǎn),

若例是線段的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于.

r2*4V2

⑵設(shè)力8是橢圓靛+*=1(>匕>0)上的任意一條與“軸不垂直的弦，。是橢圓的中

心，e是橢圓的離心率，例是ZI6的中點(diǎn)，則3*加的值為().

Ae-1B.l-eC.e-1D.l-e

核心例題2

X"2v2

已知橢圓七二+J=1,試確定Z77的取值范圍，使得橢圓￡上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直

43

線/*4X+/7?對稱.

解題策略本題以橢圓為背景，考查對稱問題在圓錐曲線中的應(yīng)用，所謂橢圓上存在不同

兩點(diǎn)關(guān)于某條直線對稱的問題，一般應(yīng)滿足3個(gè)條件11兩點(diǎn)連線的斜率是對稱軸直線斜率

的負(fù)倒數(shù)；②兩點(diǎn)的中點(diǎn)應(yīng)在對稱軸上：③中點(diǎn)應(yīng)在橢圓的內(nèi)部.本例的求解策略有兩種，一

是利用“點(diǎn)差法”求解，二是通過判別式及韋達(dá)定理求解,策略二運(yùn)用的實(shí)質(zhì)也是“設(shè)而不

求”，“設(shè)而不求”的解題方法更為廣泛，而“點(diǎn)差法”僅是其中的一種解法.

解法一

設(shè)/（M,M）,穌②㈤是橢圓￡上關(guān)于直線的兩個(gè)對稱點(diǎn)，

V近=1①

4

3

2

%

4&>=1②

3

%中

七一工2

X+%=4xi^+/w@

22

\22

詈）+4

3y+%I<12@

2

62并把③代入得0,%+必=3（再+工2）（?

43

X.+X.

—...-=—

2

聯(lián)立4⑥得,代入?yún)^(qū)）得3（-機(jī)）2+4（-3%）2<12,

2

2而2而2萬2屈、

解得--------<tn<--,---即--。的取值范圍為

2222

解法二設(shè)A（x「x）,8（々,為）是橢圓￡上關(guān)于/對稱的兩點(diǎn)，則所在直線方程可設(shè)

>=_/+6（其斜率為直線/斜率的負(fù)倒數(shù)），與橢圓3x2+4y2=12聯(lián)立，

4

消去X得13y2-24by+3（4〃-1）=0.

?.,此方程有兩個(gè)實(shí)根，二△=（—246）2—12x13（4^2

砧、/曰\/13\/13

解N得一~—</?<—.1

22

由韋達(dá)定理，得弘+必=絲，，弦力6中點(diǎn)縱坐標(biāo)為些，

1313

又弦中點(diǎn)是直線*4X+/77與y=-1x+6的公共點(diǎn)，

解方程組［1得弦中點(diǎn)為"醇］

y=--x+b(*17)

.\6b+tn12b13人人彳、—\/1313713

-------------,^bA=n--m,代入］式，得-Z-B-<--m<—

17134242

2萬2萬、

即勿的取值范圍為

1313

變式訓(xùn)練.

x~V

已知點(diǎn)46是雙曲線=l右支上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則04。8

22

的取值范圍是.

核心例題3

是否存在實(shí)數(shù)a,使拋物線片蘇-1上總有關(guān)于直線*gx對稱的兩個(gè)點(diǎn)？

若不存在，說明理由；若存在，求a的取值范圍.

解題策略本例的解法有兩種:①如果存在對稱的兩點(diǎn)48滿足題設(shè)要求，顯然Z6的中

點(diǎn)用（%,光）在拋物線內(nèi)部，構(gòu)成一個(gè)含有a的不等式，從而確定a的取值范圍；

②按照對稱問題的一般處理方法，即48兩點(diǎn)連線與對稱軸片-x垂直，的中點(diǎn)

M（x。,%））在對稱軸上，且直線，8與拋物線片添-1必有兩個(gè)交點(diǎn)，消元后的一元二次方

程必有兩個(gè)不等的實(shí)根，判別式應(yīng)大于0,無論哪種解法，“點(diǎn)差法”是解題過程中的一個(gè)

重要步驟，而兩個(gè)對稱點(diǎn)的存在性務(wù)必需加驗(yàn)證.

解法一假設(shè)存在拋物線上兩點(diǎn)A（$，X）,關(guān)于直線y=gx對稱，記線段48

的中點(diǎn)為則點(diǎn)例在），=3'上，即為=3%,

又由卜一'"相減，得芯+/）（西_工2）-

y2=ajq-\

??,直線9垂直于y=L,A^ZA=-2.

2xx-x2

又西+”2%。，由號="（玉+"2）得寸j

⑴若a>0,如果點(diǎn)M（X。,％）在拋物線片a0-l內(nèi)部，則有關(guān)系式為>or：-1.

a>0

a

由不等式組1<if,解得之

——>a\——-12

2a\a）

⑵若a<0,如果點(diǎn)M（x0,y。）在拋物線尸旅-1內(nèi)部，則有關(guān)系式先<4-1.

Q<0a<0

由不等式組1,整理得3,此時(shí)無解.

-----<a1—>1

2a2a

綜上所述,存在實(shí)數(shù)a取值范圍為*■

解法二設(shè)A（%,%）,8（々,為）是拋物線片蘇-1上關(guān)于直線y=gx對稱的兩個(gè)點(diǎn),

川+玉2乂+%

=°即（喈-1）-（*1）

222

則=-2IX]+%2=---,1

王一9

1

又：X+%即（or；-1）+（利：-1）=—~I"（X：+々2）=2--.