考研數(shù)學一(二次型)模擬試卷7(題后含答案及解析)

考研數(shù)學一（二次型）模擬試卷7(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．設二次型f(x1，x2，x3)在正交變換x=Py下的標準形為2y21+y22-y23，其中P=(e1，e2，e3)，若Q=(e1，-e3，e2)，則f(x1，x2，x3)在正交變換x=Qy下的標準形為()A．2y21-y22+y23B．2y21+y22-y23C．2y21-y22-y23D．2y21+y22+y23正確答案：A解析：本題考查正交變換化二次型為標準形的有關理論，所涉及的知識點是：任給一個二次型f(x1，x2，x3)=xTAx，總存在一個正交變換x=Py將二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化為標準形，其標準形的系數(shù)是A的特征值；標準形的系數(shù)即A的特征值的順序與正交矩陣P中對應的列的順序即A的特征值的所對應的特征向量的順序一致．設二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的矩陣為A，正交矩陣P=(e1，e2，e3)，則f(x1，x2，x3)在正交變換x=Qy下的標準形為2y21+y22-y23，即若Q=(e1，-e3，e2)，則所以f(x1，x2，x3)在正交變換x=Qy下的標準形為2y21-y22+y23．故應選A．知識模塊：二次型2．設，則A與B()A．合同且相似B．合同但不相似C．不合同但相似D．不合同且不相似正確答案：A解析：顯然A是實對稱矩陣，且特征值為4，0，0，0．故存在正交矩陣Q，使得Q-1AQ=QTAQ=B．因此選A．知識模塊：二次型填空題3．設二次型f(x1，x2，x3)=x21+2x1x2+2x2x3，則f的正慣性指數(shù)為_________________．正確答案：2解析：用配方法把f(x1，x2，x3)化成標準形，或求出特征值，正特征值個數(shù)即為正慣性指數(shù)．利用配方法化二次型為標準形．f=x21+2x1x2+2x2x3=x21+2x1x2+x22-(x22-2x2x3)=(x1+x2)2-(x2-x3)2+x23=y21-y22+y23，其中y1=x1+x2，y2=x2-x3，y3=x3，即由于這個線性變換是可逆的，故由慣性定理知，二次型f的正慣性指數(shù)為2．知識模塊：二次型4．若二次型f(x1，x2，x3)=2x21+x22+x23+2x1x2+tx2x3正定，則t的取值范圍是_______________．正確答案：解析：由于二次型f(x1，x2，x3)=2x21+x22+x23+2x1x2+tx2x3的矩陣所以，有知識模塊：二次型解答題解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22-3x23+4x1x2-4x1x3+8x2x3．5．寫出二次型f的矩陣表達式；正確答案：二次型f的矩陣表達式為其中解析：本題主要考查用正交變換化二次型為標準形的方法，矩陣特征值、特征向量的求法．先求出二次型f的矩陣A及A的特征值與特征向量，再將特征向量正交單位化，求出正交矩陣，即可把f化為標準形．知識模塊：二次型6．用正交變換把二次型f化為標準形，并求出相應的正交矩陣．正確答案：矩陣A的特征多項式為由此得矩陣A的特征值為λ1=1，λ2=6，λ3=-6．于是，二次型f可通過正交變換x=Qy化為標準形f=y21+6y22-6y23．對于特征值λ1=1，由于故對應于特征值λ1=1的特征向量可取為ξ1=(2，0，-1)T．類似地，對應于特征值λ2=6，λ3=-6的特征向量可分別取為ξ2=(1，5，2)T，ξ3=(1，-1，2)T．因為A是實對稱矩陣，且λ1，λ2，λ3互異，故x1，x2，x3構成正交向量組，將其單位化得于是，所求的正交矩陣為故對二次型f作正交變換則可將f化為標準形f=y21+6y22-6y23．涉及知識點：二次型7．設二次型f=x21+x22+x23+2αx1x2+2βx2x3+2x1x3經正交變換x=Py化成f=y22+2y23，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3維列向量，P是3階正交矩陣．試求常數(shù)α，β．正確答案：二次型f(x1，x2，x3)的矩陣為因為P為正交矩陣，所以即A與B相似，故A與B有相同的特征值λ1=0，λ2=1，λ3=2，這些特征值滿足｜λE—A｜=0．當λ1=0，則當λ2=1，則由式(1)和(2)，可求得α=β=0．注：本題可用特征值的性質和特征方程求得α，β如用｜A｜=0×1×2=0．｜E-A｜=0．解析：本題主要考查二次型在正交變換下的不變量．令二次型f(x1，x2，x3)的矩陣為A，由標準形為f=y22+2y23，知A的特征值為0，1，2，代入A的特征方程，求得α，β．知識模塊：二次型設二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=ax21+2x22-2x23+2bx1x3(b＞0)，其中二次型的矩陣A的特征值之和為1，特征值之積為-12．8．求a，b的值；正確答案：二次型f的矩陣為設A的特征值為λi=(i=1，2，3)．由題設，有λ1+λ2+λ3=a+2+(-2)=1，解得a=1，b=2．解析：本題主要考查用正交變換化二次型為標準形的方法，特征值與特征向量的計算與性質．首先寫出二次型f的矩陣A，利用特征值與行列式、跡之間的關系，求出a，b的值．此時該題成為一道常規(guī)題了．知識模塊：二次型9．利用正交變換將二次型f化為標準形，并寫出所用的正交變換和對應的正交矩陣．正確答案：由矩陣A的特征多項式得A的特征值λ1=λ2=2，λ3=-3．對于λ1=λ2=2，解齊次線性方程組(2E-A)x=0，得其基礎解系ξ1=(2，0，1)T，ξ2=(0，1，0)T．對于λ3=-3，解齊次線性方程組(-3E-A)x=0，得基礎解系ξ3=(1，0，-2)T．由于ξ1，ξ2，ξ3已是正交向量組，為得到規(guī)范正交向量組，只需將ξ1，ξ2，ξ3單位化，由此得令矩陣則Q為正交矩陣，在正交變換x=Qy，有且二次型的標準形為f=2y21+2y22-3y23．涉及知識點：二次型設矩陣10．已知A的一個特征值為3．試求y；正確答案：由拉普拉斯展開定理，得把λ=3代入，解得y=2．解析：本題主要考查特征值、特征向量的概念與求法，用正交變換把實對稱矩陣化為對角矩陣的方法．行列式的計算．將λ=3代入方程｜λE-A｜=0，求出y的值，然后求出ATA，利用常規(guī)方法求正交矩陣P，使PT(ATA)P為對角矩陣．知識模塊：二次型11．求矩陣P，使(AP)T(AP)為對角矩陣．正確答案：注意到(AP)T(AP)=PTA2P，其中矩陣A2的特征方程為｜λE-A2｜=(1-λ)3(9-λ)=0，解得A2的特征值為λ1=λ2=λ3=1，λ4=9．再分別求出對應于它們的特征向量：這4個特征向量已經互相正交，再單位化，得令，則有涉及知識點：二次型已知實二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的矩陣A滿足tr(A)=-6．AB=C，其中12．用正交變換將二次型化為標準形，并寫出所用的正交變換；正確答案：由題設AB=C，得由此知λ1=0，λ2=-12是A的特征值，α1=(1，2，1)T，α2=(1，-1，1)T分別是對應的特征向量．設A的第3個特征值為λ3，由λ1+λ2+λ3=tr(A)=-6，得λ3=6，再設A的對應于λ3=6的特征向量為α3=(x1，x2，x3)T，則由λ1，λ2，λ3互異，有解得α3=(-1，0，1)T．將α1，α2，α3單位化得令P=(p1，p2，p3)，則x=Py為所求的正交變換，將f=-12y22+623解析：本題考查抽象二次型化標準形，由矩陣的運算關系和A的跡求出A的特征值與特征向量，寫出二次型的標準形，由此確定二次曲面．再由方陣對角化的逆問題求出矩陣A，從而求出原二次型．知識模塊：二次型13．指出方程f(x1，x2，x3)=1表示何種曲面；正確答案：由第一問知，f(x1，x2，x3)=1的標準方程為-12y22+623=1故f(x1，x2，x3)=1表示雙曲柱面．涉及知識點：二次型14．求出該二次型f(x1，x2，x3)．正確答案：由第一問可得由此推得故原二次型為f(x1，x2，x3)=xTAx=-x21-4x22-x23+8x1x2-14x1x3+8x2x3．涉及知識點：二次型已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交變換x=Qy下的標準形為y21+y22，且Q的第3列為15．求矩陣A；正確答案：由題設知A的特征值為1，1，0．且α=(1，0，1)T是屬于A的特征值0對應的一個特征向量．設x=(x1，x2，x3)T為A的屬于特征值1的特征向量，由于A的不同的特征值所對應的特征向量正交，所以有(x，α)=0，即x1+x3=0，解該方程組的基礎解系ξ1=(1，0，-1)T，ξ2=(0，1，0)T，將其單位化，并將其取為A的屬于特征值1對應的正交單位的特征向量，令從而，解析：本題考查抽象二次型化標準形的逆問題，由正交變換下的標準形與二次型對應的矩陣A的特征值的關系，求A．再由正定矩陣的定義判定A+E的正定性．知識模塊：二次型16．證明A+E為正定矩陣，其中E為3階單位矩陣．正確答案：由第一問知A的特征值為1，1，0，于是A+E的特征值為2，2，1，又A+E為實對稱矩陣，故A+E為正定矩陣．涉及知識點：二次型已知A是3階實對稱矩陣，α1=(1，-1，-1)T，α2=(-2，1，0)T是齊次線性方程組Ax=0的解，又(A-6E)α=0，α≠0．17．求α和二次型xTAx的表達式；正確答案：由Aα1=0=0α1，Aα2=0=0α2，知λ1=λ2=0是矩陣A的特征值，α1，α2是矩陣A的屬于特征值0的線性無關的特征向量．由已知Aα=6α，且α≠0，所以λ3=6是A的特征值，設α=(x1，x2，x3)T，由于實對稱矩陣不同的特征值對應的特征向量正交，于是解得λ3=6的一個特征向量為α=(1，2，-1)T．由A(α1，α2，α)=(0，0，6α)，得故f=xTAx=x21+4x22+x23+4x1x2-2x1x3-4x2x3．解析：本題考查用正交變換化二次型為標準形的逆問題．知識模塊：二次型18．用正交變換x=Py化二次型xTAx為標準形，并寫出所用的正交變換；正確答案：取α1=(1，-1，-1)T，α2=(-2，1，0)T，α=(1，2，-1)T．顯然α1，α2與α正交，而α1，α2是線性無關的(可用施密特標準正交化)，也可取ξ1=α1=(1，-1，-1)T，ξ2=α1+α2=(1，-1，-1)T+(-2，1，0)T=(-1，0，-1)T，ξ3=α=(1，2，-1)T．則ξ1，ξ2，ξ3兩兩正交，單位化，得令，則P為正交矩陣，x=Py為正交變換，該變換將二次型xTAx化為標準形為f=6y23．涉及知識點：二次型19．求(A-3E)6．正確答案：因為于是涉及知識點：二次型設實二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的秩為2，且α1=(1，0，0)T是(A-2E)x=0的解，α2=(0，-1，1)T是(A-6E)x=0的解．20．用正交變換將該二次型化成標準形，并寫出所用的正交變換和所化的標準形；正確答案：由α1=(1，0，0)T是(A-2E)x=0的解，α2=(0，-1，1)T是(A-6E)x=0的解，得Aα1=2α1，Aα2=6α2，于是得A的兩個特征值為λ1=2，λ2=6，其對應的特征向量依次為α1=(1，0，0)T，α2=(0，-1，1)T．又由于實二次型f(x1，x2，x3)的秩為2，所以A的另一個特征值為λ3=0，設其對應的特征向量為α3=(x1，x2，x3)T，則有解得特征向量為令，則P為正交矩陣，故x=Py為