2022年陜西省寶雞市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（二模）（學(xué)生版+解析版）

2022年陜西省寶雞市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（二模）

一.選擇部分：共計(jì)12小題，每小題5分，共60分

1.（5分）若復(fù)數(shù)z滿足2z+2=3-2i,其中i為虛數(shù)單位，貝Uz=（）

A.1+2/B.1-2iC.-l+2zD.-1-2/

2.（5分）已知全集為U,集合4,B為U的子集，若（CuA）CB=0,則AAB=（）

A.CuBB.CuAC.BD.A

x2y2

3.（5分）“0＜機(jī)＜2”是“方程一+上一=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的（）

m2-m

A.充要條件

B..充分不必要條件

C..必要不充分條件

D..既不充分也不必要條件

4.（5分）平面內(nèi)有2〃個(gè)點(diǎn)（〃22）等分圓周，從2〃個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)，可構(gòu)成直角三角形

3

的概率為一，連接這2〃個(gè)點(diǎn)可構(gòu)成正多邊形，則此正多邊形的邊數(shù)為（）

11

A.6B.8C.12D.16

5.（5分）在等差數(shù)列｛斯｝中,aj=-9,05=-1.記…%（n=l,2,-??）,則數(shù)

歹北右｝（）

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

6.（5分）設(shè)相、〃是兩條不同的直線，a、0是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：

①若機(jī)J_a,n//af則機(jī)J_〃；

②若團(tuán)〃九，〃〃a,PiOm//a；

③若〃?〃〃，tn//a,則a_L0；

④若加w〃a,機(jī)〃0,〃〃a,枕〃0,則a〃仇

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

7.（5分）已知隨機(jī)變量X,y滿足y=2X+3,y的期望X分布列為：

X-101

PIab

2

則”，b的值分別為()

11111131

A.Q=zo，b=54B.a=4-T,b=75C.a=O,b=乞oD.a=o^,b=k

8.(5分)已知直線y=x+a與曲線y=&二淳的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()

A.(-2,2)B.(0,2)C.(V2,2)D.[&，2)

11

9.(5分)已知x>0,y>0,/g2x+/g8v=/g2,則l+癡的最小值是()

A.4B.2V2C.2D.2^3

D

10.(5分)在△4BC中，若s譏4s譏C=cos2表則△A8C是()

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

x2y2

11.(5分)橢圓Z+1中以點(diǎn)M(2,1)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為()

92

A.4x+9y-17=0B.4x-9y-17=0

C.缶+3y-2夕-3=0D.V7x+3y-2夕+3=0

12.(5分)已知函數(shù)/'(x)=bvc-f與g(x)=4-ax的圖象上存在關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn),

則實(shí)數(shù)”的取值范圍為()

C.(-8,1)

A.(-°°,e)B.(-8,e]D.(一8,

二.填空部分：每小題5分，共計(jì)4小題，總計(jì)20分

13.(5分)已知平面向量力滿足熱=(1,b)，畝=3,a±(a-b),貝丘與Z夾角的余

弦值為.

14.(5分)已知數(shù)列｛斯｝中，ai=l,蜘＞0,前”項(xiàng)和為S”.若0n=房+底=(n€N*，

〃22),則數(shù)列｛下1—｝的前15項(xiàng)和為____.

anan+l

15.(5分)對(duì)于〃?，“WN+,關(guān)于下列結(jié)論正確的是.

(1)源=(：「;

(2)黑】=常-1+常；

⑶71-=ex；

(4)橢1=(6+1)咪

Xv

16.(5分)已知雙曲線C：—--=1(tz>0,b>Q)的左、右焦點(diǎn)分別為Q,尸2，過(guò)Q

a2bz

T—>—>—>

的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn).若=AB,F1B-F2B=0,則C的離心

率為.

三.解答部分：共計(jì)6小題，共計(jì)70分，除二選一10分外，其余每小題12分

17.(12分)函數(shù)/(x)=2sin(3x+<p)+1(co>O,|<p|<J)的圖像過(guò)點(diǎn)弓，1),且相鄰

71

對(duì)稱軸間的距離為一.

2

(1)求3,(p的值；

A

(2)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊為a,h,c,若fg)=3,且〃=2,求AABC

的面積最大值；

18.(12分)近年來(lái)，隨之物質(zhì)生活水平的提高以及中國(guó)社會(huì)人口老齡化加速，家政服務(wù)市

場(chǎng)規(guī)模逐年增長(zhǎng)，下表為2017年-2021年中國(guó)家政服務(wù)市場(chǎng)規(guī)模及2022年家政服務(wù)規(guī)

模預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)(單位：百億元)

年份201720182019202020212022

市場(chǎng)規(guī)模3544587088100

(1)若2017-2021年對(duì)應(yīng)的代碼依次為1-5,根據(jù)2017年-2021年的數(shù)據(jù)，用戶規(guī)

模y關(guān)于年度代碼的線性回歸方程y=bx+a；

(2)把2022年的年代代碼6代入(1)中求得回歸方程，若求出的用戶規(guī)模與預(yù)測(cè)的用

戶規(guī)模誤差上下不超過(guò)5%,則認(rèn)為預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)符合模型，試問(wèn)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)是否符合回歸模

型？

參考數(shù)據(jù)：歹=59,2Ml為加=1017,參考公式：b=第］零,a=y-bx.

2

%xt-nx

19.(12分)如圖所示，平面以BL平面ABC。，底面ABC。是邊長(zhǎng)為8的正方形，NAPB

=90°,點(diǎn)、E,尸分別是QC,AP的中點(diǎn).

(1)證明：OF〃平面P8E；

(2)若AB=2%,求直線BE與平面8力尸所成角的正弦值.

20.(12分)已知曲線C上任意一點(diǎn)到尸(3,0)距離比它到直線x=-5的距離小2,經(jīng)過(guò)

點(diǎn)尸(3,0)的直線/的曲線C交于A,8兩點(diǎn).

(1)求曲線C的方程；

(2)若曲線C在點(diǎn)A,B處的切線交于點(diǎn)P,求面積最小值.

21.(12分)已知函數(shù)/G)="+〃/〃(-%)+1,/(%)是其導(dǎo)數(shù)，其中“6R.

(1)若/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.

(2)若不等式/(x)Wf(x)對(duì)(-oo,o)恒成立，求”的取值范圍.

2Sina+

22.(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為卜=+c°sa，(a為參

=cosa—sina

數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的方程為e=B(ov0V

2，p6R).

(1)求曲線C的普通方程；

(2)若曲線C與直線/交于A,B兩點(diǎn)，且|。4|+|08|=3,求直線/的斜率.

23.已知函數(shù)/(x)—lg(|x-m\+\x-2|-3)(mGR).

(1)當(dāng)〃?=1,求函數(shù)/(x)的定義域；

(2)若不等式f(x)20對(duì)于R恒成立，求實(shí)數(shù)〃，的取值范圍.

2022年陜西省寶雞市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（二模）

參考答案與試題解析

一.選擇部分：共計(jì)12小題，每小題5分，共60分

1.（5分）若復(fù)數(shù)z滿足2z+2=3-2i,其中i為虛數(shù)單位，則2=（）

A.1+2/B.1-2iC.-1+2?D.-1-2/

【解答】解:復(fù)數(shù)z滿足2z+z=3-2i,

設(shè)z=a+bi,

可得：2a+2bi+a-bi=3-2i.

解得a—\,b--2.

z=1-2i.

故選：B.

2.（5分）已知全集為U,集合A,B為U的子集，若（CuA）08=0,則AH8=（）

A.CuBB.CuAC.BD.A

【解答】解：因?yàn)椋–uA）C1B=0,所以BUA,

所以AnB=B.

故選：C.

x2y2

3.（5分）“0<〃?V2"是"方程一+，:=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的（）

m2-m

A.充要條件

B..充分不必要條件

C..必要不充分條件

D..既不充分也不必要條件

x2y2

【解答】解：若方程一+”一=1表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，

m2-m

m>0

2-m>0,解得1<相<2,

{m>2—m

x2y2

所以“0V加V2”是“方程一+4=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的必要不充分條

m2-m

件.

故選：C.

4.（5分）平面內(nèi)有2〃個(gè)點(diǎn)（”22）等分圓周，從2〃個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)，可構(gòu)成直角三角形

的概率為靜，連接這2〃個(gè)點(diǎn)可構(gòu)成正多邊形，則此正多邊形的邊數(shù)為（）

A.6B.8C.12D.16

【解答】解：從2〃個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)點(diǎn)，共有C券種，

三個(gè)點(diǎn)要構(gòu)成直角三角形，則有2個(gè)點(diǎn)是直徑的端點(diǎn)，共有§="條直徑，當(dāng)取走2個(gè)

點(diǎn)后，還剩（2"-2）個(gè)點(diǎn)，從（2〃-2）個(gè)點(diǎn)中取1個(gè)點(diǎn)即可，共有乳_2種，

所以「=/1=白，

r511

c2n

解得〃=6,

所以共有2〃=12個(gè)點(diǎn)，可形成12條邊，所以正多邊形邊數(shù)為12,

故選：C.

5.（5分）在等差數(shù)列｛“”｝中，a\=-9,?5—-1"記7”=的〃2…%（"=1，2,…），則數(shù)

歹（）｛〃｝（）

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

【解答】解：設(shè)等差數(shù)列｛〃”｝的公差為d,由m=-9,“5=-1，得d=等"=9）=

3-1T丁4

2,

，斯=-9+2（n-1）=2〃-11.

11

由斯=2〃-11=0,得"=-y,而〃eN*,

可知數(shù)列｛斯｝是單調(diào)遞增數(shù)列，且前5項(xiàng)為負(fù)值，自第6項(xiàng)開始為正值.

可知八=-9<0,乃=63>0,73=-315<0,2=945>0為最大項(xiàng)，

自0起均小于0,且逐漸減小.

數(shù)列｛TQ有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng).

故選：B.

6.（5分）設(shè)成、”是兩條不同的直線，a、0是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：

①若，"_La,n//a,則〃?_L〃；

②若m〃n,n//a,則〃?〃a；

③若"_L0,tn//a,則a_L0；

④若，〃ria=4,，"〃a,n//a,則。〃0.

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：對(duì)于①，假設(shè)〃up,anp=/,因?yàn)椤ā╝,所以〃〃/,又加_La,

所以而〃〃/,所以m_L〃，正確；

對(duì)于②，若加〃〃，〃〃a,則根〃a或mua,故錯(cuò)誤；

對(duì)于③，若機(jī)〃〃，H±P，則m_L0,又加〃a,所以在平面a內(nèi)一定存在一條直線/,使

m//1,

而相，0,所以/ca,則正確；

對(duì)于④，由面面平行的判定定理，可以判斷出是正確的.

故真命題有3個(gè).

故選：C.

7.(5分)己知隨機(jī)變量x,y滿足y=2x+3,y的期望x分布列為：

X-101

p1ab

2

則a,6的值分別為()

、1,1c1,1_1,13,1

A.Q=z，b=為B.a=-T,b=-TC.a=,b=三D.Q=G，b=不

oD4430oo

【解答】解：由分布列的性質(zhì)可得，。+6=寺①，

E(X)=—lx^+Oxa+lxb-b—之，

:隨機(jī)變量x,y滿足y=2x+3,y的期望就=，，

：.E(y)=2E(X)+3=(b-》X2+3=豺，

聯(lián)立①②解得，a=百，b=

故選：C.

8.(5分)已知直線y=x+”與曲線y=、2-/的兩個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

()

A.(-2,2)B.(0,2)C.(V2,2)D.［企，2)

【解答】解：曲線丁=后望線是以(0,0)為圓心，魚為半徑位于x軸上方的半圓.

當(dāng)直線/過(guò)點(diǎn)A(-V2,0)時(shí)，直線/與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

此時(shí)0=—y/2+a,解得a=V2.

當(dāng)直線/與曲線相切時(shí)，直線和圓有一個(gè)交點(diǎn)，

圓心（0,0）到直線x-y+a=o的距離"=號(hào)=或

解得〃=2或-2（舍去），

若曲線C和直線/有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

則直線/夾在兩條直線之間，

因此或<a<2,

故選：D.

11

9.（5分）已知x>0,y>0,/媛+/g8）'=/g2,則一+h的最小值是（）

x3y

A.4B.2A/2C.2D.2V3

【解答】解：妒*+&8）'=收2*+她3，=（x+3y）lg2,

又由lg2x+IgSy=lg2,

則x+3y=i,

進(jìn)而由基本不等式的性質(zhì)可得，

11113vx

-+——=（x+3y）（一+—）—2+—+-y->4,

x3yx3yx3y

故選：A.

10.（5分）在△ABC中，若sinAsinC=cos?3，則△ABC是（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【解答】解：由sinAsinC=cos2^,得sinAsinC=1+^osg,

則2sinAsinC=l+cosB=1-cos（A+C）=1-cosAcosC+sinAsinC,

.,.cosAcosC+sinAsinC=1,即cos（A-C）=1.

V-TC<A-C<n,AA-C=0,得4=仁

...△ABC是等腰三角形.

故選：C.

x2y2

11.（5分）橢圓反+》=1中以點(diǎn)M（2,1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為（）

A.4x+9y-17=0B.4x-9y-17=0

C.>/7x+3y-2V7-3=0D.V7x+3y-277+3=0

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)以點(diǎn)/（2,1）為中點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)為A（xi，yi）,B（X2,”）,

叱+紀(jì)=1

9

則有《22

xiz-x2yi2-y2

兩式相減得可得:22

92

又由點(diǎn)M(2,1)為A3的中點(diǎn)，貝IJ有XI+X2=4,yi+”=2,

mi七以一段244

則有-----=--X-=--,

%1T2929

即以點(diǎn)M(2,1)為中點(diǎn)的弦所在直線斜率為-*

4

直線方程為：y-1=—g(x-2),即4x+9y-17=0.

故選：A.

12.(5分)已知函數(shù)/G)與g(x)=9-辦的圖象上存在關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn),

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

11

A.(-8,e)B.(-8,0C.(-巴D.(-8，-]

【解答】解：函數(shù)/(x)=/nx-x3與g(x)的圖象上存在關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn),

：.f(x)=-g(x)有解,

：?lnx-x--/+奴,

：.lnx=ax,在(0,+8)有解,

分別設(shè)了=/心，y=ax,

若y=ax為y=lnx的切線,

?,1

??y=-

設(shè)切點(diǎn)為(XQ,和),

*.a=―,axo=lnxo

xo9

??xo=e，

.〃=一1,

??e

結(jié)合圖象可知，―

故選：D.

13.(5分)已知平面向量孟，b滿足展=(1,V3),|b|=3,a±(a-b),則聯(lián)與b夾角的余

弦值為I.

【解答】解：向=2,1|=3；

—>TT

Va±(a—b)；

TT——>TTT-

/.a?(a—h)=a2—a-Z?=4—6cos<a,b>=0；

t-2

cos<a/b>=^.

故答案為：|.

14.(5分)已知數(shù)列｛小｝中，ai=l,a?>0,前〃項(xiàng)和為S”.若斯=居+質(zhì)二(neN*,

鼠22),則數(shù)歹U｛而1右15｝的前15項(xiàng)和為—■

【解答】解：數(shù)列｛斯｝中，ai=l,a,.>0,前〃項(xiàng)和為S“癡一國(guó)+塔二”N*,

心2),則5-S“_1=y[s^+JSn-1，

整理得6；-底==i，所以數(shù)列｛店｝是以1為首項(xiàng)，1位公差的等差數(shù)列，

則=1+(n-1)=n,所以an—Sn-Sn-\—2n-1.

“，11111

所以-------=--------------=_(------_-----).

。71。九+1(2n—1)(271+1)22n—12)1+1

所以小=女1一寺+A/+…余)=驛

15

故答案為：—.

15.(5分)對(duì)于加，尤N+,關(guān)于下列結(jié)論正確的是(1)⑵⑶,

(1)C*-

(2)%】=常-1+制；

⑶a,=c鏟砥；

(4)4罌=(6+1)儲(chǔ).

【解答】解：根據(jù)題意，依次判斷選項(xiàng)：

對(duì)于⑴，根據(jù)組合數(shù)公式，左式=而%而右式=0尸=而卷而,故

c￡=crm>故(1)正確，

對(duì)于(2),左式=C%=m!(M**而右式=C$T+C7

_________H：_________?_____幾！=(n+1)!(2),F確

—(m—l)!x(n—m+l)!7n!x(7i-m)!—?n!x(7i-m+l)!'''

對(duì)于(3)，左式=A7=昌1，右式=C￡4股=而用1、加=口%，(3)正確，

對(duì)于(4),左式=4黠1=,右式=(m+1)A普=(/n+1)(幾_-[)!，(4)錯(cuò)誤，

故答案為：(1)(2)(3).

%2y2

16.(5分)已知雙曲線C：—--=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F”乃，過(guò)Q

azbz

的直線與C的兩條漸近線分別交于A,8兩點(diǎn).若點(diǎn)=幾，F(xiàn)；B?費(fèi)=0,則C的離心

率為2.

【解答】解：如圖，

?..點(diǎn)=晶，為FiB的中點(diǎn)，且。為F10的中點(diǎn),

：.AO為AF1F2B的中位線，

又：盛,彘=0,；.FIBLF2B,則OB=FiO=c.

設(shè)8(xi，yi),A(%2>)2)，

；點(diǎn)3在漸近線產(chǎn)，x上，

_-c+a

2

b,

{V2=2

在漸近線y=—上，

bba-c.__「

------，得c=2a,則雙曲線的離心率e=-=2.

2a2---------------------------------------------------Q

故答案為：2.

三.解答部分：共計(jì)6小題，共計(jì)70分，除二選一10分外，其余每小題12分

17.(12分)函數(shù)/(x)=2sin(a)x+<p)+1(a)>0,|<p|<J)的圖像過(guò)點(diǎn)歲1),且相鄰

71

對(duì)稱軸間的距離為一.

2

(1)求3,(p的值；

A

(2)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊為a,b,c,若fg)=3,且〃=2,求△ABC

的面積最大值；

71271

【解答】解：(1)??,相鄰對(duì)稱軸間的距離為一????一=71,???3=2,

20)

.*./(x)=2sin(2x+(p)+1,

"：f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)g,1),/.2sin(2x：+<p)+1=1,Asin(2xj+(p)=0,

(p=-2kez,又|年|<2，(p=可

(2)由(1)知/(x)=2sin(2x+1)+1,又/(3=3,

2sin（A+4）+1=3,sin（A+百）—11

\77rz417r,4〃...7T71..n

乂一~<A+VQ，??A+i"=5，??/A—

333326

在△ABC中，由余弦定理有/=序+/-2加cosA,：.4、2bc-Wbc,

：.bc<^==8+4^3,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào),

17T

.?.△ABC的面積最大值為S=^x（8+4遮）sin-=2+8.

乙6

18.(12分)近年來(lái)，隨之物質(zhì)生活水平的提高以及中國(guó)社會(huì)人口老齡化加速，家政服務(wù)市

場(chǎng)規(guī)模逐年增長(zhǎng)，下表為2017年-2021年中國(guó)家政服務(wù)市場(chǎng)規(guī)模及2022年家政服務(wù)規(guī)

模預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)（單位：百億元）

年份201720182019202020212022

市場(chǎng)規(guī)模3544587088100

（1）若2017-2021年對(duì)應(yīng)的代碼依次為1-5,根據(jù)2017年-2021年的數(shù)據(jù)，用戶規(guī)

模y關(guān)于年度代碼的線性回歸方程y=bx+a：

（2）把2022年的年代代碼6代入（1）中求得回歸方程，若求出的用戶規(guī)模與預(yù)測(cè)的用

戶規(guī)模誤差上下不超過(guò)5%,則認(rèn)為預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)符合模型，試問(wèn)預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)是否符合回歸模

型？

參考數(shù)據(jù)：y=59,2篙x/y,=10l7,參考公式：b=第1絲一字,a=y-bx.

%x^-nx

【解答】解：（1）由表中的數(shù)據(jù)可得，x=|x（14-2+3+4+5）=3,

y=59,Sf=i*=55,Sf=i^,=1017,

故b=2和「嗎=1°17-5X3產(chǎn)=132>

￡之1々2-nJ55-5x3“

a=y-bx=59-13.2X3=19.4,

故y=13.2%+19.4.

（2）當(dāng)x=6時(shí)，y=13.2x6+19.4=98.6,

V198.6-100|<100X5%,

???認(rèn)為預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)符合模型.

19.（12分）如圖所示，平面以B_L平面ABC。，底面A8CQ是邊長(zhǎng)為8的正方形，NAPB

=90°,點(diǎn)E,尸分別是。C,AP的中點(diǎn).

（1）證明：。尸〃平面P8E；

（2）若AB=2%,求直線BE與平面8。尸所成角的正弦值.

【解答】解：（1）證明：取P8的中點(diǎn)尸是AP的中點(diǎn),

，MF//AB且MF=/B,又E是。C的中點(diǎn),

：.DE//ABS.DE=^AB,

.?.M廣〃DE且M尸=OE,，四邊形DEM尸是平行四邊形,

J.ME//DF,又MEu平面PBE,DF《平面PBE,

〃平面P3E；

(2)過(guò)尸作PO_LAB于。，?.?平面以B_L平面A8C￡>,平面力BC平面ABCZ)=A8,

，PO_L平面ABC。,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)。作A。的平行線為x軸，OB,OP為y,z軸建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，

'：AB=2PA,/AP8=90°,可得/B48=60°,AP=4,AO=2,PO=2y[3,

則B(0,6,0),D(8,-2,0),F(0,-1,遮),E(8,2,0),

：.BD=(8,-8,0),BF=(0,-7,V3),BE=(8,-4,0),

設(shè)平面8。廠的一個(gè)法向量為言=(x,y,z),

:呼=°,即8x-8y=0.e7

則-7y+岳=0'令產(chǎn)1'則A1'z=看'

n-BF—0

7

平面BO尸的一個(gè)法向量為蔡=(1,1,-=),

V3

設(shè)直線BE與平面8。F所成角為0,

??n-i1羨一、1|SE-n|4^^195

??sin0—|cosVBE,n>\=——=^zzz~'=-ZF--

\BE\-\n\V64+16xJl+l+Z

直線BE與平面BDF所成角的正弦值為萼.

65

20.(12分)已知曲線C上任意一點(diǎn)到尸(3,0)距離比它到直線x=-5的距離小2,經(jīng)過(guò)

點(diǎn)尸(3,0)的直線/的曲線C交于A,B兩點(diǎn).

（1）求曲線C的方程;

（2）若曲線C在點(diǎn)A,B處的切線交于點(diǎn)P,求△以8面積最小值.

【解答】解：（1）由題意知曲線C上任意一點(diǎn)到F（3,0）距離與它到直線x=-3的距

離相等,

由拋物線的定義可知，曲線C的方程為）2=12x.

y2y2

（2）設(shè)點(diǎn)尸（xo，和），A（6~，yi），B

由題設(shè)直線l的方程為my=x-3,

聯(lián)立方程｛?二短3,消去x得/-12?36=0,

貝！Jy\+y2=12ni,y\y2=-36,

由V=i2x得29=12,即y'="則切線"的方程為了-）】=連（x—?jiǎng)?wù)），即為尸

yy\工乙

梟+與，同理切線BP的方程為尸&+孕，

6為

/7_

yo=%2

把點(diǎn)P（不），州），代入切線AP,8P方程得?6上

f2

y。=及

v_丫。2

1則(絆，即

解得"°-v^，PP(-3,6m),

一一1十丫2122

yQ-^r~

點(diǎn)P(-3,6m)到直線/：x-my-3=0的距離d=器=5Vm2+1,

7n2+l

線段|A3|=((jri2+l)[(yi+y2)?—4yly21=V(m2+l)(144m2+144)=12(/n2+l),

1oI~：-------o-

S^PAB=-^AB\d=36(nv+1)Vm2+1=36(nr+1)2,

故當(dāng)加=0時(shí)，△外8面積有最小值36.

21.（12分）已知函數(shù)/（x）（-X）+1,f（x）是其導(dǎo)數(shù)，其中〃6R.

（1）若/（九）在（-8,0）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.

（2）若不等式f（x）Wf（x）對(duì)VxE（-8,o）恒成立，求a的取值范圍.

【解答】解：（1）函數(shù)/（x）=ex+aln（-x）+1,/（x）=，+/，

因?yàn)?（x）在（-8,0）上單調(diào)遞減，

所以/'（x）=，+@工0在（-8,0）上恒成立，

即42-M在（-8,0）上恒成立,

令g(x)=-x，，xe(-0°,0),

g'(x)=-d--/(x+l),

令g'(x)<0,可得-lVxVO,令g'(x)>0,可得xV-1,

所以g(x)在(-8,-i)上單調(diào)遞增，在(-1,0)上單調(diào)遞減，

1

所以g(X)max=g(~1)=