2023年北師大版初中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根；零的立方根是零。

初中數(shù)學(xué)考點總結(jié)留意：4二￡二-為6,這說明三次根號內(nèi)的負(fù)號可以移到根號外面。

第一章實數(shù)考點四、科學(xué)記數(shù)法和近似數(shù)（3—6分）

、有效數(shù)字

考點一、實數(shù)的概念及分類（3分）1

1、實數(shù)的分類一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說它精確到哪一位，這時，從左邊第一個不是零的數(shù)字起到

廠正有理數(shù)1右邊精確的數(shù)位止的全部數(shù)字，都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。

廠有理數(shù)乂零L有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)2、科學(xué)記數(shù)法

實數(shù)乂I.負(fù)有理數(shù)」把一個數(shù)寫做±4X10〃的形式，其中144Vl0,n是整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。

廠正無理數(shù)1考點五、實數(shù)大小的比較（3分）

一無理數(shù)1L無限不循環(huán)小數(shù)

戒定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時，要留意上述規(guī)定的三要素缺一不

L負(fù)無理數(shù)J

2、無理數(shù)行

在理解無理數(shù)時，要抓住“無限不循環(huán)”這一時之，歸納起來有四類：解題時要真正駕馭數(shù)形結(jié)合的思想，理解實數(shù)與數(shù)軸的點是一一對應(yīng)的，并能敏捷運用。

（1）開方開不盡的數(shù)，如行,啦等；2、實數(shù)大小比較的幾種常用方法

（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率兀，或化簡后含有兀的數(shù)，如上+8等；（2）求差比較：設(shè)a、b是實數(shù)，

3a-b>Ooa>b,

（）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如…等;

30.1010010001a-b=Ooa=b,

（4）某些三角函數(shù)，如sin60。等

a—h<O<^a<h

考點二、實數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和肯定值（3分）

1、相反數(shù)（3）求商比較法：設(shè)a、b是兩正實數(shù)，@>loa>b;g=loa=氏幺<loa<b;

實數(shù)與它的相反數(shù)時一對數(shù)（只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從bbb

數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，假如a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0,（4）肯定值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù)，則時>網(wǎng)=。<6。

a=—b,反之亦成立。

（5）平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實數(shù)，則

2、肯定值

考點六、實數(shù)的運算(做題的基礎(chǔ)，分值相當(dāng)大)

一個數(shù)的肯定值就是表示這個數(shù)的點與原點的距離，|a|>0o零的肯定值時它本身，也可看成它

1、加法交換律a+b=b+a

的相反數(shù)，若|a|=a,則a>0；若|a|=-a,則a<0o正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩

、加法結(jié)合律

個負(fù)數(shù)，肯定值大的反而小。2(a+b)+c=a+S+c)

3、倒數(shù)3、乘法交換律ab-ba

假如a與b互為倒數(shù)，則有ab=l,反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。4、乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)

考點三、平方根、算數(shù)平方根和立方根（3—10分）5、乘法對加法的安排律a（b+c）=ab+ac

1、平方根6、實數(shù)的運算依次

假如一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)就叫做a的平方根（或二次方跟）。先算乘方，再算乘除，最終算加減，假如有括號，就先算括號里面的。

一個數(shù)有兩個平方根，他們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。

正數(shù)a的平方根記做“土右二

2、算術(shù)平方根

正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“JJ”。其次章代數(shù)式

正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算術(shù)平方根是零?？键c一、整式的有關(guān)概念（3分）

1、代數(shù)式

"。。>0）lyfa>0

用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨的一個數(shù)或一個字母也是代

必=同=[；留意的雙重非負(fù)性：J

數(shù)式。

-（a<0）匚。N02、單項式

只含有數(shù)字與字母的積的代數(shù)式叫做單項式。

3、立方根

假如一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)就叫做a的立方根（或a的三次方根）。

留意：單項式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分?jǐn)?shù)表示，如-4」/乩2、因式分解的常用方法

3（1）提公因式法：ab-^-ac=a（b+c）

11（2）運用公式法：a2-b2=（。+〃）（〃-/?）

這種表示就是錯誤的，應(yīng)寫成-二。%。一個單項式中，全部字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的

3a2+2ab+b2=（a+b）2

次數(shù)。如-5/方2c是6次單項式。a2-2ab+b2=（a-b）2

考點二、多項式（11分）

（3）分組分解法：ac+ad+bc-\-bd=a（c+d）+b（c+d）=（a+Z?）（c+d）

1、多項式

2

幾個單項式的和叫做多項式。其中每個單項式叫做這個多項式的項。多項式中不含字母的項叫（4）十字相乘法：a+（p+q）a+pq=（a+p）（a+q）

做常數(shù)項。多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)。3、因式分解的一般步驟：

單項式和多項式統(tǒng)稱整式。（1）假如多項式的各項有公因式，那么先提取公因式。

用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，依據(jù)代數(shù)式指明的運算，計算出結(jié)果，叫做代數(shù)式的值。（2）在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的狀況下，視察多項式的項數(shù)：2項式可以嘗

留意：（1）求代數(shù)式的值，一般是先將代數(shù)式化簡，然后再將字母的取值代入。試運用公式法分解因式；3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式；4項式及4項式以上

（2）求代數(shù)式的值，有時求不出其字母的值，須要利用技巧，“整體”代入。的可以嘗試分組分解法分解因式

2、同類項（3）分解因式必需分解到每一個因式都不能再分解為止。

全部字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項。幾個常數(shù)項也是同類項。考點四、分式（8~10分）

3、去括號法則1、分式的概念

AA

（1）括號前是“+”，把括號和它前面的“+”號一起去掉，括號里各項都不變號。一般地，用A、B表示兩個整式，A+B就可以表示成一的形式，假如B中含有字母，式子三

（2）括號前是“?”，把括號和它前面的“-”號一起去掉，括號里各項都變號。BB

4、整式的運算法則就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通稱為有理式。

整式的加減法：（1）去括號；（2）合并同類項。2、分式的性質(zhì)

整式的乘法：優(yōu)〃?優(yōu)=都是正整數(shù)）（1）分式的基本性質(zhì)：

（優(yōu)〃）“（九〃都是正整數(shù)）分式的分子和分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變。

（2）分式的變號法則：

（"）〃="%〃（〃都是正整數(shù)）

分式的分子、分母與分式本身的符號，變更其中任何兩個，分式的值不變。

{a+b\a-b）=a2-b~3、分式的運算法則

（a+b）2=a2^-2ab+b2acacacadad

—x—=——；一+—=—x—=—；

（a-b）2=a2-lab+b2bdbdbdbcbe

整式的除法：="”一”（根,〃都是正整數(shù)MHO）（/=《（"為整數(shù)）;

留意：（1）單項式乘單項式的結(jié)果仍舊是單項式。

a,ba±b

（2）單項式與多項式相乘，結(jié)果是一個多項式，其項數(shù)與因式中多項式的項數(shù)相同。一土一=-----；

（3）計算時要留意符號問題，多項式的每一項都包括它前面的符號，同時還要留意單項ccc

式的符號。

（4）多項式與多項式相乘的綻開式中，有同類項的要合并同類項。

（5）公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項式或多項式?？键c五、二次根式（初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，分值很大）

（6）?！愣?（々。0）；〃一，=工o,"為正整麴1、二次根式

式子右520）叫做二次根式，二次根式必需滿意：含有二次根號“?”；被開方數(shù)a必需

（7）多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加，是非負(fù)數(shù)。

單項式除以多項式是不能這么計算的。2、最簡二次根式

考點三、因式分解（H分）若二次根式滿意：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或

1、因式分解因式，這樣的二次根式叫做最簡二次根式。

把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分化二次根式為最簡二次根式的方法和步驟：

解因式。（1）假如被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)（包括小數(shù)）或分式，先利用商的算數(shù)平方根的性質(zhì)把它寫成分式

的形式，然后利用分母有理化進(jìn)行化簡。時，x+a=±4b,x=-a土瓦,當(dāng)b<0時，方程沒有實數(shù)根。

（2）假如被開方數(shù)是整數(shù)或整式，先將他們分解因數(shù)或因式，然后把能開得盡方的因數(shù)或因2、配方法

式開出來。配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域

3、同類二次根式

也有著廣泛的應(yīng)用。配方法的理論依據(jù)是完全平方公式/±2《力+〃=（〃+。）2,把公式中的a

幾個二次根式化成最簡二次根式以后，假如被開方數(shù)相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式。

看做未知數(shù)x,并用x代替,則有一土次=（%土份2。

4、二次根式的性質(zhì)

（1）{4a）2=a（a>0）3^公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一?般方法。

"a{a>0）

一元二次方程ax2+bx+c=0（。豐0）的求根公式：

（2）y[a^=]《=Y

-b±y[b^--4ac...、小

匚-a[a<0）9

x=--------------（Zr-44c>0）

2a

（3）y[ab=4a?4b（a>0,b>0）

4、因式分解法

⑷導(dǎo)車92。2）因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡潔易行，是解一元二

次方程最常用的方法。

考點四、一元二次方程根的判別式（3分）

5、二次根式混合運算根的判別式

二次根式的混合運算與實數(shù)中的運算依次一樣，先乘方，再乘除，最終加減，有括號的先算括

一元二次方程or?+"+<?=0（。工0）中，b2-4ac叫做一元二次方程

號里的（或先去括號）。

ad+bx+c=0（aw0）的根的判別式，通常用“A”來表示，即△=〃—4ac

考點五、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（3分）

第三章方程（組）bc

考點一、一元一次方程的概念（6分）假如方程。*2+陵+?=0（。#0）的兩個實數(shù)根是為，X?,那么X1+X2=—,占了2=—。

aa

1、方程

也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系

含有未知數(shù)的等式叫做方程。

數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商。

2、方程的解

考點六、分式方程（8分）

能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。

1、分式方程

3、等式的性質(zhì)

分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式。

2、分式方程的一般方法

（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結(jié)果仍是等式。

解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程,它的一般解法是：

4、一元一次方程

（1）去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程

（2）解所得的整式方程

ax+b=0（x為未知數(shù)，a。0）叫做一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,a是未知數(shù)x的系數(shù),b是常數(shù)項。

（3）驗根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)當(dāng)舍去；若不等于零，就

考點二、一元二次方程（6分）是原方程的根。

1、一元二次方程3、分式方程的特殊解法

含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。換元法：

2、一元二次方程的一般形式換元金是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要的數(shù)學(xué)思想，其應(yīng)用特別廣泛，當(dāng)分式方程具有某種特殊形式，

62+灰+。=0（。。（）），它的特征是：等式左邊十一個關(guān)于未知數(shù)x的二次多項式，等式右一般的去分母不易解決時，可考慮用換元法。

邊是零，其中ad叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做?？键c七、二元一次方程組（8~10分）

數(shù)項。1、二元一次方程

考點三、一元二次方程的解法（10分）含有兩個未知數(shù)，并且未知項的最高次數(shù)是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是

1、干脆開平方法（

利用平方根的定義干脆開平方求一元二次方程的解的方法叫做干脆開平方法。干脆開平方法適2、二元一次方程的解

用于解形如（x+a）2=6的一元二次方程。依據(jù)平方根的定義可知，x+a是b的平方根，當(dāng)〃20使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一個解。

3、二元一次方程組

兩個（或兩個以上）二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。第五章統(tǒng)計初步與概率初步

4二元一次方程組的解

考點一、平均數(shù)（分）

使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的3

1、平均數(shù)的概念

解。

-1

5、二元一次方正組的解法（1）平均數(shù)：一般地，假如有n個數(shù)芭,X”…，居，那么，x=—（芯+為+…+乙）叫做這n

（1）代入法（2）加減法n

6、三元一次方程個數(shù)的平均數(shù)，嚏讀作“x拔”。

把含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程。（2）加權(quán)平均數(shù)：假如n個數(shù)中，芭出現(xiàn)/次，與出現(xiàn)力次，…，々.出現(xiàn)人次（這里

7、三元一次方程組

/+人+…/=〃），那么，依據(jù)平均數(shù)的定義，這n個數(shù)的平均數(shù)可以表示為

由三個（或三個以上）一次方程組成，并且含有三個未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組。

+…X',這樣求得的平均數(shù)［叫做加權(quán)平均數(shù)，其中工，力，…叫做權(quán)。

第四章不等式（組）n

考點一、不等式的概念（3分）2、平均數(shù)的計算方法

）

1、不等式（1定義法

用不等號表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。當(dāng)所給數(shù)據(jù)…,工〃，比較分散時，一般選用定義公式：X=—（Xj++?-?+X,,）

2、不等式的解集n~

對于一個含有未知數(shù)的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個不等式的（2）加權(quán)平均數(shù)法：

解。當(dāng)所給數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時，一般選用加權(quán)平均數(shù)公式：.="/十%、+…以/,其中

對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的全部解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不等n

式的解集。

工+…Zt=〃。

求不等式的解集的過程，叫做解不等式。

（3）新數(shù)據(jù)法：

3、用數(shù)軸表示不等式的方法

當(dāng)所給數(shù)據(jù)都在某一常數(shù)a的上下波動時，一般選用簡化公式：x=7'+a

考點二、不等式基本性質(zhì)（3~5分）o

1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變。其中，常數(shù)a通常取接近這組數(shù)據(jù)平均數(shù)的較“整”的數(shù)，刀|A=x2-6f,

2、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。-1

總—￡=—（居+以+—+總）是新數(shù)據(jù)的平均數(shù)（通常把王,心,…,乙，叫做原數(shù)據(jù)，

3、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向變更。n~

考試題型：

K，X‘2,…，X,〃，叫做新數(shù)據(jù)）。

考點三、一元一次不等式（6~8分）

考點二、統(tǒng)計學(xué)中的幾個基本概念（分）

1、一元一次不等式的概念4

、總體

一般地，不等式中只含有?個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1,且不等式的兩邊都是整式，這樣的1

不等式叫做一元一次不等式。全部考察對象的全體叫做總體。

、個體

2、一元一次不等式的解法2

總體中每一個考察對象叫做個體。

解一元一次不等式的一般步驟：

、樣本

（1）去分母（2）去括號（3）移項（4）合并同類項（5）將x項的系數(shù)化為13

從總體中所抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本。

考點四、一元一次不等式組（8分）

、樣本容量

1、一元一次不等式組的概念4

樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量。

幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。

幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。5、樣本平均數(shù)

求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。樣本中全部個體的平均數(shù)叫做樣本平均數(shù)。

、總體平均數(shù)

當(dāng)任何數(shù)x都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。6

總體中全部個體的平均數(shù)叫做總體平均數(shù)，在統(tǒng)計中，通常用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)。

2、一元一次不等式組的解法

考點三、眾數(shù)、中位數(shù)（3~5分）

（I）分別求出不等式組中各個不等式的解集

、眾數(shù)

（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。1

在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

2、中位數(shù)②確定組距與組數(shù)

將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫③確定分點

做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。④列頻率分布表

考點四、方差（3分）⑤畫頻率分布直方圖

1、方差的概念（2）頻率分布的有關(guān)概念

在一組數(shù)據(jù)內(nèi)…，當(dāng)，中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)嚏的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)①極差：最大值與最小值的差

②頻數(shù)：落在各個小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)

的方差。通常用”/，，表示，即

③頻率：每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)（樣本容量n）的比值叫做這一小組的頻率。

2考點六、確定事務(wù)和隨機(jī)事務(wù)（3分）

/=—[（X]—%）-4-（x2—x）~H---l-（xn—X）]

n1、確定事務(wù)

2、方差的計算必定發(fā)生的事務(wù)：在肯定的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗時，在每次試驗中必定會發(fā)生的事務(wù)。

（1）基本公式：不行能發(fā)生的事