高考數(shù)學一輪復習 第十單元 空間幾何體 高考達標檢測（二十九）求解空間幾何體問題的2環(huán)節(jié)-識圖與計算 理試題

高考達標檢測（二十九）求解空間幾何體問題的2環(huán)節(jié)——識圖與計算一、選擇題1．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，E是AB的三等分點，G，N是CD的三等分點，F(xiàn)，H分別是BC，MN的中點，則四棱錐A1-EFGH解析：選C由直觀圖可知，點A1，H，E，F(xiàn)在平面CDD1C1的射影分別為D1，N，G，C，在平面CDD1C1，連接D1，N，G，2.(2017·永州一模)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該幾何體的各個面中最大面的面積為()A．1 B.eq\f(\r(5),2)C.eq\r(6) D．2eq\r(3)解析：選D由題意得，該幾何體的直觀圖為三棱錐A-BCD，如圖，其最大面的表面是邊長為2eq\r(2)的等邊三角形，故其面積為eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(2))2＝2eq\r(3).3．已知某空間幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為24π＋48，則該幾何體的表面積為()A．24π＋48 B．24π＋90＋6eq\r(41)C．48π＋48 D．24π＋66＋6eq\r(41)解析：選D由三視圖可知，該幾何體是一個組合體，左邊是一個底面半徑為3r、高為4r的四分之一圓錐，右邊是一個底面是直角邊長為3r的等腰直角三角形、高為4r的三棱錐，則eq\f(1,4)×eq\f(1,3)π(3r)2×4r＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3r×3r×4r＝24π＋48，解得r＝2，則該幾何體的表面積為eq\f(1,4)×π×6×10＋eq\f(1,4)×π×62＋eq\f(1,2)×6×6＋2×eq\f(1,2)×6×8＋eq\f(1,2)×6eq\r(2)×eq\r(82)＝24π＋66＋6eq\r(41).4．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．60－12π B．60－6πC．72－12π D．72－6π解析：選D根據(jù)三視圖知該幾何體是直四棱柱，挖去一個半圓柱體，且四棱柱的底面是等腰梯形，高為3，所以該組合體的體積為V＝eq\f(1,2)×(4＋8)×4×3－eq\f(1,2)π×22×3＝72－6π.5．某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、側視圖、俯視圖都是邊長為1的正方形，則此四面體的外接球的體積為()A.eq\f(4π,3) B．3πC.eq\f(\r(3),2)π D．π解析：選C由三視圖可知，該幾何體是棱長為1的正方體截去4個角的小三棱錐后的幾何體，如圖所示，該幾何體的外接球的直徑等于正方體的對角線，即R＝eq\f(\r(3),2)，所以外接球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(\r(3),2)π.6．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．72 B．48C．24 D．16解析：選C由三視圖可知，該幾何體是一四棱錐，底面是上、下底邊長分別為2,4，高是6的直角梯形，棱錐的高是4，則該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(2＋4)×6×4＝24.7．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為()A.eq\f(123,5)π B.eq\f(124,3)πC.eq\f(153,4)π D.eq\f(161,5)π解析：選D由三視圖可知，該幾何體是三棱錐，底面是兩腰長為3、底邊長為4的等腰三角形，過底面等腰三角形頂點的側棱長為4且垂直于底面．設等腰三角形的頂角為θ，由余弦定理可得cosθ＝eq\f(32＋32－42,2×3×3)＝eq\f(1,9)，sinθ＝eq\f(4\r(5),9)，由正弦定理可得底面三角形外接圓的直徑2r＝eq\f(9,\r(5))，則球的直徑2R＝eq\r(42＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,\r(5))))2)＝eq\r(\f(161,5))，所以外接球的表面積為eq\f(161,5)π.8．(2016·全國卷Ⅲ)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則VA．4π B.eq\f(9π,2)C．6π D.eq\f(32π,3)解析：選B設球的半徑為R，∵△ABC的內(nèi)切圓半徑為eq\f(6＋8－10,2)＝2，∴R≤2.又2R≤3，∴R≤eq\f(3,2)，∴Vmax＝eq\f(4,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9π,2).二、填空題9．四面體A-BCD中，若AB＝CD＝eq\r(2)，AC＝BD＝eq\r(3)，AD＝BC＝2，則四面體A-BCD的外接球的體積是________．解析：作一個長方體，面對角線分別為eq\r(2)，eq\r(3)，2，設長方體的三棱長分別為x，y，z，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝2，,x2＋z2＝3，,y2＋z2＝4，))則該長方體的體對角線為eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\f(3\r(2),2)，則該長方體的外接球即為四面體A-BCD的外接球，則外接球的半徑為R＝eq\f(\r(x2＋y2＋z2),2)＝eq\f(3\r(2),4)，體積為V＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)))3＝eq\f(9\r(2),8)π.答案：eq\f(9\r(2),8)π10.三條側棱兩兩垂直的正三棱錐，其俯視圖如圖所示，正視圖是底邊長為2的等腰三角形，則正視圖的面積為________．解析：因為正三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且底面是邊長為2的正三角形，則該正三棱錐的側棱長為eq\r(2)，其三棱錐的高eq\r(\r(2)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\r(3)))2)＝eq\f(\r(6),3)即為正視圖的高，又正視圖是底邊長為2的等腰三角形，則正視圖的面積S＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(6),3).答案：eq\f(\r(6),3)11．若三棱錐S-ABC的所有的頂點都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝AB＝2，AC＝4，∠BAC＝eq\f(π,3)，則球O的表面積為________．解析：由題意，得三棱錐S-ABC是長方體的一部分(如圖所示)，所以球O是該長方體的外接球，其中SA＝AB＝2，AC＝4，設球的半徑為R，則2R＝eq\r(AC2＋SA2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，所以球O的表面積為4πR2＝20π.答案：20π12.(2017·全國卷Ⅰ)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________．解析：法一：由題意可知，折起后所得三棱錐為正三棱錐，當△ABC的邊長變化時，設△ABC的邊長為a(a>0)cm，則△ABC的面積為eq\f(\r(3),4)a2，△DBC的高為5－eq\f(\r(3),6)a，則正三棱錐的高為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(\r(3),6)a))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)a))2)＝eq\r(25－\f(5\r(3),3)a)，∴25－eq\f(5\r(3),3)a>0，∴0<a<5eq\r(3)，∴所得三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2×eq\r(25－\f(5\r(3),3)a)＝eq\f(\r(3),12)×eq\r(25a4－\f(5\r(3),3)a5).令t＝25a4－eq\f(5\r(3),3)a5，則t′＝100a3－eq\f(25\r(3),3)a4，由t′＝0，得a＝4eq\r(3)，此時所得三棱錐的體積最大，為4eq\r(15)cm3.法二：如圖，連接OD交BC于點G，由題意知，OD⊥BC.易得OG＝eq\f(\r(3),6)BC，設OG＝x，則BC＝2eq\r(3)x，DG＝5－x，S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)x×3x＝3eq\r(3)x2，故所得三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×3eq\r(3)x2×eq\r(5－x2－x2)＝eq\r(3)x2×eq\r(25－10x)＝eq\r(3)×eq\r(25x4－10x5).令f(x)＝25x4－10x5，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，則f′(x)＝100x3－50x4，令f′(x)>0，即x4－2x3<0，得0<x<2，則當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))時，f(x)≤f(2)＝80，∴V≤eq\r(3)×eq\r(80)＝4eq\r(15).∴所求三棱錐的體積的最大值為4eq\r(15).答案：4eq\r(15)三、解答題13.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，下圖為該四棱錐的正視圖和側視圖，它們是腰長為6cm的全等的等腰直角三角形．(1)根據(jù)所給的正視圖、側視圖，畫出相應的俯視圖，并求出該俯視圖的面積；(2)求PA.解：(1)該四棱錐的俯視圖為(內(nèi)含對角線)邊長為6cm的正方形，如圖，其面積為36cm2.(2)由側視圖可求得PD＝eq\r(PC2＋CD2)＝eq\r(62＋62)＝6eq\r(2).由正視圖可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝eq\r(PD2＋AD2)＝eq\r(6\r(2)2＋62)＝6eq\r(3)(cm)．14．(2015·全國卷Ⅱ)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過點E，F(xiàn)(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)；(2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值．解：(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示．(2)如圖，作EM⊥AB，垂足為M，則AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因為四邊形EHGF為正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝eq\r(EH2－EM2)＝6，AH＝10，HB＝6.故S四邊形A1EHA＝eq\f(1,2)×(4＋10)×8＝56，S四邊形EB1BH＝eq\f(1,2)×(12＋6)×8＝72.因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱，所以其體積的比值為eq\f(9,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)也正確)).1．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(14,3) B．5C.eq\f(16,3) D．6解析：選A由三視圖可知該幾何體是直三棱柱ABD-EFG和四棱錐C-BDGF的組合體，如圖，直三棱柱的底面是一個直角三角形，兩條直角邊分別是1,2，高是2，則該幾何體的體積V＝V三棱柱ABD-EFG＋V四棱錐C-BDGF＝V三棱柱ABD-EFG＋V三棱錐C-DFG＋V三棱錐C-BDF＝V三棱柱ABD-EFG＋V三棱錐F-CDG＋V三棱錐F-BDC＝eq\f(1,2)×1×2×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,