高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入單元過關(guān)檢測 文試題

第四章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入單元過關(guān)檢測（四）(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知復(fù)數(shù)z=(i為虛數(shù)單位),則z的虛部為 ()A.-1 B.0 C.1 【解析】選C.因?yàn)閦====i,故虛部為1.【變式備選】(2018·珠海模擬)若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2,則z的虛部為()A.-1 B.-i C.i D.1【解析】選A.因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2,所以(1-i)(1+i)z=2(1-i),所以2z=2(1-i),z=1-i,則z的虛部為-1.2.已知i是虛數(shù)單位,a,b∈R,則“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.當(dāng)a=b=1時,(a+bi)2=(1+i)2=2i,反之,若(a+bi)2=2i,則有a=b=-1或a=b=1.3.復(fù)數(shù)z=+2i的共軛復(fù)數(shù)= ()A.-1-2i B.1-2iC.-1+2i D.1+2i【解析】選B.因?yàn)閦=(-i)4+2i=1+2i,所以=1-2i.【變式備選】復(fù)數(shù)z=的共軛復(fù)數(shù)是 ()A.2+i B.2-I C.-1+i D.-1-i【解析】選D.因?yàn)閦==-1+i,所以z的共軛復(fù)數(shù)為-1-i.4.(2016·全國卷Ⅱ)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,則m= ()A.-8 B.-6 C.6 【解析】選D.a+b=(4,m-2),因?yàn)?a+b)⊥b,所以(a+b)·b=12-2(m-2)=0,解得m=8.5.已知a,b,c是平面向量,下列命題中真命題的個數(shù)是 ()①(a·b)·c=a·(b·c); ②|a·b|=|a||b|;③|a+b|2=(a+b)2; ④a·b=b·c?a=c.A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選A.由平面向量的基礎(chǔ)知識可知①②④均不正確,只有③正確.6.與向量a=(3,4)同方向的單位向量為b,又向量c=(-5,5),則b·c= ()A.(-3,4) B.(3,-4)C.1 D.-1【解析】選C.因?yàn)榕c向量a=(3,4)同方向的單位向量為b,所以b=,又向量c=(-5,5),所以b·c=·=1.7.設(shè)向量a,b滿足|a+b|=,|a-b|=,則a·b= ()A.1 B.2 C.3 【解析】選A.因?yàn)?a·b=（a+b）2-（a-b）2=10-6=4,所以a·b8.已知向量a=(1,2),b=(-2,m),若a∥b,則|2a+3b|等于A. B.4 C. 【解析】選B.因?yàn)閍=(1,2),b=(-2,m),a∥b,所以1×m-(-2)×2=0?m=-4,于是,2a+3b則|2a+3b|==4.9.在復(fù)平面內(nèi),把復(fù)數(shù)3-i對應(yīng)的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn),所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是 ()A.2 B.-2iC.-3i D.3+i【解析】選B.因?yàn)閺?fù)數(shù)3-i對應(yīng)的向量為=(3,-),如圖,把按順時針方向旋轉(zhuǎn)后恰好到y(tǒng)軸負(fù)半軸上的向量=(0,-2),所以所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是-2i.【變式備選】復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線y=x對稱,且z1=3+2i,則z2= ()A.3-2i B.2-3iC.-3-2i D.2+3i【解析】選D.復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)關(guān)于直線y=x對稱的點(diǎn)表示的復(fù)數(shù)z2=2+3i.10.如圖,在平行四邊形ABCD中,O是對角線AC與BD的交點(diǎn),N是線段OD的中點(diǎn),AN的延長線與CD交于點(diǎn)E,則下列說法錯誤的是 ()A.=+B.=-C.=+D.=+【解析】選D.排除法.由題干圖知,=+,故A正確.=-,故B正確.==(+)=+,故C正確.【變式備選】若O為平面內(nèi)任一點(diǎn)且(+-2)·(-)=0,則△ABC是 ()A.直角三角形或等腰三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形但不一定是直角三角形D.直角三角形但不一定是等腰三角形【解析】選C.由(+-2)·(-)=0,得(+)·(-)=0.所以-=0,即||=||.所以AB=AC,即△ABC一定是等腰三角形.11.已知點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)不共線,且有==,則有 ()A.<<B.<<C.<<D.<<【解析】選B.設(shè)A,B,C所對的邊分別為a,b,c,由題意,根據(jù)向量數(shù)量積得,accosB=abcosC=-(2+)bccosA,又由正弦定理得,tanC=tanB,tanA=-(2+)tanB,因?yàn)樵凇鰽BC中,則有tanB>tanC>0,tanA<0,所以A>B>C,所以<<.12.(2018·福州模擬)已知⊥,||=,||=t,若點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且=+,則·的最大值等于 ()A.13 B.15 C.19 【解析】選A.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則B,C(0,t),=,=(0,t),=+=t+(0,t)=(1,4),所以P(1,4),·=·(-1,t-4)=17-≤17-2=13,當(dāng)且僅當(dāng)t=時,取“=”.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上)13.對于復(fù)數(shù)z1,z2,若(z1-i)z2=1,則稱z1是z2的“錯位共軛”復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)-i的“錯位共軛”復(fù)數(shù)為________. 【解析】設(shè)復(fù)數(shù)-i的“錯位共軛”復(fù)數(shù)為z,由(z-i)=1,可得z-i==+i,所以z=+i.答案:+i14.平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m=________.

【解析】因?yàn)槠矫嫦蛄縜=(1,2),b=(4,2),所以c=ma+b=(m+4,2m+2),因?yàn)閏與a的夾角等于c與b的夾角,所以所以=,解得m=2.答案:215.平行四邊形ABCD中,E為CD的中點(diǎn),動點(diǎn)G在線段BE上,=x+y,則2x+y=________.

【解析】由題意,根據(jù)向量的線性運(yùn)算,可知=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ=+λ,記+λ=x+y,所以則2x+y=2.答案:216.若向量a=(1,),且向量a,b滿足=1,則|b|的取值范圍是________.

【解析】由向量運(yùn)算的幾何意義可知,b的終點(diǎn)在以(1,)為圓心,1為半徑的圓周上.故|b|的范圍滿足2-1≤|b|≤2+1即|b|∈[1,3].答案:[1,3]三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知復(fù)數(shù)z=(m2+m)+(m+1)i,其中i為虛數(shù)單位. (1)問:實(shí)數(shù)m為何值時,復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).(2)若m=-2,求的共軛復(fù)數(shù)的模.【解析】(1)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù),需滿足解得m=0.故實(shí)數(shù)m的值為0.(2)當(dāng)m=-2時,令復(fù)數(shù)z1=,化簡,得z1=,故|z1|=||=.故的共軛復(fù)數(shù)的模為.18.(12分)設(shè),不共線,且=a+b(a,b∈R).(1)若a=,b=,求證:A,B,C三點(diǎn)共線.(2)若A,B,C三點(diǎn)共線,問:a+b是否為定值?并說明理由.【解析】(1)當(dāng)a=,b=時,=+,所以(-)=(-),即2=,所以∥,所以A,B,C三點(diǎn)共線.(2)a+b為定值1,證明如下:因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以∥,不妨設(shè)=λ(λ∈R),所以-=λ(-),即=+λ,又=a+b,且,不共線,由平面向量的基本定理,得所以a+b=1(定值).【變式備選】如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),E,F是AD上兩個三等分點(diǎn),·=4,·=-1,求·的值.【解析】令=a,=b,則=-b,=2a,=3a,則=3a-b,=3a+b,=2a-b,=2a+b,=a-b,=a+b,則·=9a2-b2,·=a2-b2,·=4a2-b2,由·=4,·=-1可得9a2-b2=4,a2-b2=-1,因此a2=,b2=,因此·=4a2-b2=-=.19.(12分)已知△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Ο(0,0),A(2,1),Β(4,-3),且=λ,點(diǎn)Q是直線ΟΒ上一點(diǎn). (1)若λ=1,且·=0,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).(2)若已知點(diǎn)Μ(3,2),向量與夾角為銳角,求λ的取值范圍.【解析】(1)由λ=1,知Ρ是ΑΒ的中點(diǎn),所以點(diǎn)Ρ(3,-1).設(shè)點(diǎn)Q(4x,-3x),則=(4x-3,-3x+1),又=(3,-1),則由·=0,得3(4x-3)-(-3x+1)=0?x=,所以點(diǎn)Q.(2)由=λ,可得P,因?yàn)橄蛄颗c夾角為銳角,所以?求得λ>-1或λ<-且λ≠-,故λ的取值范圍為λ>-1且λ≠-或λ<-.20.(12分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知向量m=,n=(cos,-2sin),m·n=-1.(1)求cosA的值.(2)若a=2,b=2,求c的值.【解析】(1)因?yàn)閙=,n=,m·n=-1,所以2cos2-2sin2=-1,所以cosA=-.(2)由(1)知cosA=-,且0<A<π,所以A=.因?yàn)閍=2,b=2,由正弦定理,得=,即=,所以sinB=.因?yàn)?<B<π,B<A,所以B=.所以C=π-A-B=,所以C=B,所以c=b=2.【變式備選】已知向量m=(sinx,cosx),n=(cosx,cosx),p=(2,1).(1)若m∥p,求sinx·cosx的值.(2)設(shè)△ABC的三邊a,b,c滿足b2=ac,且邊b所對的角θ的取值集合為M.當(dāng)x∈M時,求函數(shù)f(x)=m·n的值域.【解析】(1)因?yàn)閙∥p,所以sinx=2cosx.所以tanx=2.所以sinx·cosx===.(2)f(x)=m·n=sinxcosx+cos2x=sin2x+(1+cos2x)=+sin.在△ABC中,cosθ==≥=,所以0<θ≤,即M=,所以<2x+≤.所以≤sin≤1.所以1≤f(x)≤,故函數(shù)f(x)的值域?yàn)?21.(12分)設(shè)平面上向量a=(cosα,sinα)(0°≤α<360°),b=.(1)試證:向量a+b與a-b垂直.(2)當(dāng)兩個向量a+b與a-b的模相等時,求角α.【解析】(1)(a+b)·(a-b)=·(cosα+,sinα-)=+(sinα+)(sinα-)=cos2α-+sin2α-=0,所以(a+b)⊥(a-b).(2)由|a|=1,|b|=1,且|a+b|=|a-b|,平方得(a+b)2=(a-b)2,整理得2a2-2b2+4a·b=0①因?yàn)閨a|=1,|b|=1,所以①式化簡得a·b=0,a·b=(cosα,sinα)·=-cosα+sinα=0,即cos(60°+α)=0.或tanα=,因?yàn)?°≤α<360°,所以可得α=30°,或α=210°.22.(12分)已知平面上的兩個向量,滿足||=a,||=b,且⊥,a2+b2=4.向量=x+y(x,y∈R),且a2+b2=1.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號37680775(1)如果點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn),求證:=+.(2)求||的最大值,并求出此時四邊形OAPB面積的