數(shù)值積分第3章1有修改

3.1Gauss消去法一、Gauss消去法定理1n階矩陣A的所有順序主子式則可用Gauss消去法求解方程組Ax=b。第1頁，共20頁。3.1Gauss消去法二、主元素消去法

1.列主元消去法定理2n階矩陣A非奇異，則可用列主元Gauss消去法求解方程組Ax=b。2.全主元消去法3.偏差校驗4.列主元高斯消去法算法5.運算量第2頁，共20頁。46頁1(3)、(4):第3頁，共20頁。3.1Gauss消去法三、Gauss消去法的矩陣形式定理3n階矩陣A非奇異，若A的順序主子式則A的LR分解唯一。定理4n階矩陣A非奇異，A的LDU分解唯一的充要條件是A的順序主子式第4頁，共20頁。以下矩陣是否有Doolittle分解？若有是否唯一？第5頁，共20頁。3.2三角分解法一、Doolittle分解第6頁，共20頁。44頁4.(1)第7頁，共20頁。二、追趕法第8頁，共20頁。3.3Gauss-Jordan消去法第9頁，共20頁。定義1若對上任一向量x，皆對應(yīng)一個非負(fù)實數(shù)，且滿足(3)三角不等式：則稱為x的范數(shù)或模。≥0，等號當(dāng)且僅當(dāng)x=0時成立；(1)非負(fù)性：(2)齊次性：3.4方程組的性態(tài)一、向量與矩陣的范數(shù)第10頁，共20頁。設(shè)x=(x1,x2,…,xn)T,(2)2-范數(shù)：(3)∞-范數(shù)：(1)1-范數(shù)：x=(3,-12,0,-4)T第11頁，共20頁。定理1上所有范數(shù)彼此等價。c1>0，c2>0，使得定義2線性空間W上定義了兩種范數(shù)和，若存在常數(shù)則稱和是W上等價的范數(shù)。第12頁，共20頁。定義4對于任一種向量范數(shù)，由

所確定的矩陣范數(shù)稱為從屬于給定向量范數(shù)的矩陣范數(shù)，簡稱從屬范數(shù)，亦稱為由向量范數(shù)導(dǎo)出的矩陣范數(shù)、自然范數(shù)或算子范數(shù)。若對上任一矩陣A，皆對應(yīng)一個非負(fù)實數(shù)，且滿足定義3(1),等號當(dāng)且僅當(dāng)A=0時成立(2)(3)(4)則稱是A的范數(shù)。第13頁，共20頁。(1)行范數(shù)：(2)列范數(shù)：(是ATA的最大特征值)(3)2范數(shù)（譜范數(shù)）：A=第14頁，共20頁。定理2上所有范數(shù)彼此等價。定義5對于上向量范數(shù)和上矩陣范數(shù)，若有則稱上述矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容。從屬的矩陣范數(shù)一定與其對應(yīng)的向量范數(shù)相容。第15頁，共20頁。二、方程組的性態(tài)定義6非奇異，為一種從屬矩陣范數(shù)，稱為A的條件數(shù)。第16頁，共20頁。二、方程組的性態(tài)

坡度陣

第17頁，共20頁。三、病態(tài)方程組的判斷與求解1.判斷(1)系數(shù)陣元素數(shù)量級相差很大且無規(guī)律(2)系數(shù)陣某些行（或列）近似線性相關(guān)(3)與預(yù)期解相差較遠(yuǎn)(4)小擾動導(dǎo)致解變化很大第18頁，共20頁。三、病態(tài)方程組的判斷與求解2.求解(