專題14 綜合實踐問題（專項訓練）（解析版）-二輪基礎(chǔ)過關(guān)與直擊中考

專題14綜合實踐問題專項訓練【基礎(chǔ)過關(guān)|直擊中考】1．（2021·山西中考真題）綜合與實踐，問題情境：數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在中，，垂足為，為的中點，連接，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將沿著（為的中點）所在直線折疊，如圖②，點的對應(yīng)點為，連接并延長交于點，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將沿過點的直線折疊，如圖③，點A的對應(yīng)點為，使于點，折痕交于點，連接，交于點．該小組提出一個問題：若此的面積為20，邊長，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請你思考此問題，直接寫出結(jié)果．【答案】（1）；見解析；（2），見解析；（3）．【分析】（1）如圖，分別延長，相交于點P，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，利用AAS可證明△PDF≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，即可得；（2）根據(jù)折疊性質(zhì)可得∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，F(xiàn)C=FC′，可得FD=FC′，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠FDC′=∠FC′D，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，即可證明四邊形DGBF是平行四邊形，可得DF=BG=，可得AG=BG；（3）如圖，過點M作MQ⊥A′B于Q，根據(jù)平行四邊形的面積可求出BH的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根據(jù)可得A′B⊥AB，即可證明△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，進而可證明△A′NH∽△CBH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得A′H、NH的長，根據(jù)NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出MQ的長，根據(jù)S陰=S△A′MB-S△A′NH即可得答案．【詳解】（1）．如圖，分別延長，相交于點P，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，,∵為的中點，∴，在△PDF和△BCF中，，∴△PDF≌△BCF，∴，即為的中點，∴，∵，∴，∴，∴．（2）．∵將沿著所在直線折疊，點的對應(yīng)點為，∴∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，，∵為的中點，∴，∴，∴∠FDC′=∠FC′D，∵=∠FDC′+∠FC′D，∴，∴∠FC′D=∠C′FB，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，DC=AB，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴．（3）如圖，過點M作MQ⊥A′B于Q，∵的面積為20，邊長，于點，∴BH=50÷5=4，∴CH=，A′H=A′B-BH=1，∵將沿過點的直線折疊，點A的對應(yīng)點為，∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，∵于點，AB//CD，∴，∴∠MBH=45°，∴△MBQ是等腰直角三角形，∴MQ=BQ，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C，∴∠A′=∠C，∵∠A′HN=∠CHB，∴△A′NH∽△CBH，∴，即，解得：NH=2，∵，MQ⊥A′B，∴NH//MQ，∴△A′NH∽△A′MQ，∴，即，解得：MQ=，∴S陰=S△A′MB-S△A′NH=A′B·MQ-A′H·NH=×5×-×1×2=．【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．2．（2021·吉林中考真題）實踐與探究操作一：如圖①，已知正方形紙片ABCD，將正方形紙片沿過點A的直線折疊，使點B落在正方形ABCD的內(nèi)部，點B的對應(yīng)點為點M，折痕為AE，再將紙片沿過點A的直線折疊，使AD與AM重合，折痕為AF，則度．操作二：如圖②，將正方形紙片沿EF繼續(xù)折疊，點C的對應(yīng)點為點N．我們發(fā)現(xiàn)，當點E的位置不同時，點N的位置也不同．當點E在BC邊的某一位置時，點N恰好落在折痕AE上，則度．在圖②中，運用以上操作所得結(jié)論，解答下列問題：（1）設(shè)AM與NF的交點為點P．求證：．（2）若，則線段AP的長為．【答案】操作一：45°，操作二：60°；（1）證明見解析；（2）【分析】操作一：直接利用折疊的性質(zhì)，得出兩組全等三角形，從而得出,,從而得出∠EAF的值；操作二：根據(jù)折疊的性質(zhì)得出,從而得出，即可求得的度數(shù)；（1）首先利用,得出,則,從而得出△ANF為等腰直角三角形，即可證得；（2）利用三角函數(shù)或者勾股定理求出BE的長，則,設(shè)DF=x，那么FC=，在Rt△EFC中，利用勾股定理得出DF的長，也就是MF的長，即可求得EF的長，進而可得結(jié)果．【詳解】操作一：45°，證明如下：∵折疊得到,折疊得到,∴,∴,∴,故填：45°；操作二：60°，證明如下：∵，∴,又∵沿著EF折疊得到,∴，∴,∴,故填：60°；（1）證明：由上述證明得,,∴,∵四邊形ABCD為正方形，∴∠C=∠D=90°，∴,,又∵,∴,在和中，∵,∴,∴,∴，∴,∴為等腰直角三角形，即AN=NF,在和中：∵∴（2）由題可知是直角三角形，,∴,解得BE=1,∴BE=EM=1,,設(shè)DF=x，則MF=x，CF=，在Rt△CEF中，，解得x=，則，∵∴AP=EF=．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練運用折疊的性質(zhì)，找出全等三角形．3．（2020·廣西中考真題）已知：在矩形中，，，是邊上的一個動點，將矩形折疊，使點與點重合，點落在點處，折痕為．（1）如圖1，當點與點重合時，則線段_______________，_____________；（2）如圖2，當點與點，均不重合時，取的中點，連接并延長與的延長線交于點，連接，，．①求證：四邊形是平行四邊形：②當時，求四邊形的面積．【答案】（1）2，4；（2）①見解析；②【分析】（1）過點F作FH⊥AB，由翻折的性質(zhì)可知：AE＝CE，∠FEA＝∠FEC，∠G＝∠A＝90°根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換可得∠CFE＝∠FEC，由等角對等邊可得：CF＝CE，設(shè)AE＝CE＝x，BE＝6﹣x，在Rt△BCE中，由勾股定理可得關(guān)于x的方程，解方程求得x的值，進而可得BE、DF的長，由矩形的判定可得四邊形DAHF是矩形，進而可求FH、EH的長，最后由勾股定理可得EF的長；（2）①根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，進而可得，根據(jù)已知條件可得，從而易證，進而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定即可求證結(jié)論；②連接與交于點，則且，又由①知：，，則，繼而易證∠MAD＝PAB，接根據(jù)三角函數(shù)求得PB，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得關(guān)于x的方程，解方程可得PE的長，繼而代入數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】解：（1）2，4；過點F作FH⊥AB，∵折疊后點A、P、C重合∴AE＝CE，∠FEA＝∠FEC，∵CD∥AB∴∠CFE＝∠FEA，∴∠CFE＝∠FEC，∴CF＝CE＝AE，設(shè)AE＝CE＝CF＝x，BE＝AB﹣AE＝6﹣x，在Rt△BCE中，由勾股定理可得，即解得：x＝4，即AE＝CE＝CF＝4∴BE＝2、DF＝2，∵∠D＝∠A＝∠FHA＝90°∴四邊形DAHF是矩形，∴FH＝、EH＝AB﹣BE﹣AH＝6﹣2﹣2＝2在Rt△EFH中，由勾股定理可得:＝4（2）①證明：如圖2，∵在矩形中，，由折疊（軸對稱）性質(zhì)，得：，∴，∵點是的中點，∴，又，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形：②如圖2，連接與交于點，則且，又由①知：，∴，則，又，∴，∴在，，而，∴，又在中，若設(shè)，則，由勾股定理得：，則，而且，又四邊形是平行四邊形，∴四邊形的面積為．【點睛】本題主要考查矩形與翻折的問題，涉及到勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定及其性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、正切的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學知識并且學會作輔助線．4．（2021·北京中考真題）在平面直角坐標系中，的半徑為1，對于點和線段，給出如下定義：若將線段繞點旋轉(zhuǎn)可以得到的弦（分別是的對應(yīng)點），則稱線段是的以點為中心的“關(guān)聯(lián)線段”．（1）如圖，點的橫?縱坐標都是整數(shù)．在線段中，的以點為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是______________；（2）是邊長為1的等邊三角形，點，其中．若是的以點為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求的值；（3）在中，．若是的以點為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出的最小值和最大值，以及相應(yīng)的長．【答案】（1）；（2）；（3）當時，此時；當時，此時．【分析】（1）以點A為圓心，分別以為半徑畫圓，進而觀察是否與有交點即可；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得是等邊三角形，且是的弦，進而畫出圖象，則根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可進行求解；（3）由是的以點為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，則可知都在上，且，然后由題意可根據(jù)圖象來進行求解即可．【詳解】解：（1）由題意得：通過觀察圖象可得：線段能繞點A旋轉(zhuǎn)90°得到的“關(guān)聯(lián)線段”，都不能繞點A進行旋轉(zhuǎn)得到；故答案為；（2）由題意可得：當是的以點為中心的“關(guān)聯(lián)線段”時，則有是等邊三角形，且邊長也為1，當點A在y軸的正半軸上時，如圖所示：設(shè)與y軸的交點為D，連接，易得軸，∴，∴，，∴，∴；當點A在y軸的正半軸上時，如圖所示：同理可得此時的，∴；（3）由是的以點為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，則可知都在上，且，則有當以為圓心，1為半徑作圓，然后以點A為圓心，2為半徑作圓，即可得到點A的運動軌跡，如圖所示：由運動軌跡可得當點A也在上時為最小，最小值為1，此時為的直徑，∴，∴，∴；由以上情況可知當點三點共線時，OA的值為最大，最大值為2，如圖所示：連接，過點作于點P，∴，設(shè)，則有，∴由勾股定理可得：，即，解得：，∴，∴，在中，，∴；綜上所述：當時，此時；當時，此時．【點睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的綜合、圓的基本性質(zhì)、三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2021·重慶中考真題）在中，，是邊上一動點，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至的位置，使得．（1）如圖，當時，連接，交于點．若平分，，求的長；（2）如圖，連接，取的中點，連接．猜想與存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖，在（2）的條件下，連接，．若，當，時，請直接寫出的值．【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）．【分析】（1）連接，過點作，垂足為，證明，得：，再在等腰直角中，找到，再去證明為等腰三角形，即可以間接求出的長；（2）作輔助線，延長至點，使，連接，在中，根據(jù)三角形的中位線，得出，再根據(jù)條件證明：，于是猜想得以證明；（3）如圖（見解析），先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判斷出是等邊三角形，再根據(jù)證出四點共圓，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一、角的和差可得是等腰直角三角形，設(shè)，從而可得，根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，從而可得，根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得四邊形是矩形，，最后根據(jù)等量代換可得，解直角三角形求出即可得出答案．【詳解】解：（1）連接，過點作，垂足為．

平分，，．，，，，，，在和中，，，，，，平分，.，，，．．（2）延長至點，使，連接．

是的中點，．，，，在和中，，，，．（3）如圖，設(shè)交于點，連接，

，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，是等邊三角形，，，，，，，點四點共圓，由圓周角定理得：，垂直平分，（等腰三角形的三線合一），，平分，，，是等腰直角三角形，，設(shè)，則，由（2）可知，，，，是等腰直角三角形，且，（等腰三角形的三線合一），，在和中，，，，，，，，四邊形是矩形，，在中，，則．【點睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線定理、圓周角定理、解直角三角形等知識點，綜合能力比較強，較難的是題（3），判斷出四點共圓是解題關(guān)鍵．1．（2021·湖南中考真題）如圖①，是等腰的斜邊上的兩動點，且．（1）求證：；（2）求證：；（3）如圖②，作，垂足為H，設(shè)，不妨設(shè)，請利用（2）的結(jié)論證明：當時，成立．【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解；（3）證明見詳解．【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，由CD⊥BC，可求∠DCA=∠ABE即可；（2）由△ABE≌△ACD，可得∠FAD=∠EAF，可證△AEF≌△ADF（SAS），可得EF=DF，在Rt△CDF中，根據(jù)勾股定理，即可；（3）將△ABE逆時針繞點A旋轉(zhuǎn)90°到△ACD，由△ABC為等腰直角三角形，可求∠DCF=90°，由，在Rt△ABC中由勾股定理，由AH⊥BC，可求BH=CH=AH=，可表示EF=tanα+tanβ,BE=1-tanα,CF=1-tanβ，可證△AEF≌△ADF（SAS），得到EF=DF，由可得，整理即得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵CD⊥BC，∴∠DCB=90°，∴∠DCA=90°-∠ACB=90°-45°=45°=∠ABE，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），（2）證明∵△ABE≌△ACD，∴∠BAE=∠CAD，AE=AD，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠FAC=90°-∠EAF=90°-45°=45°，∴∠FAD=∠FAC+∠CAD=∠FAC+∠BAE=45°=∠EAF，在△AEF和△ADF中，，∴△AEF≌△ADF（SAS），∴EF=DF，在Rt△CDF中，根據(jù)勾股定理，，即；（3）證明：將△ABE逆時針繞點A旋轉(zhuǎn)90°到△ACD，連結(jié)FD，∴∠BAE=∠CAD，BE=CD，AE=AD，∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=∠B=∠ACD=45°，∠DCF=∠DCA+∠ACF=45°+45°=90°，∵，∴AC=，在Rt△ABC中由勾股定理∵AH⊥BC，∴BH=CH=AH=，∴EF=EH+FH=AHtanα+AHtanβ=tanα+tanβ,BE=BH-EH=1-tanα,CF=CH-HF=1-tanβ，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠CAF=90°-∠EAF=45°，∴∠DAF=∠DAC+∠CAF=∠BAE+∠CAF=45°=∠EAF，在△AEF和△ADF中，，∴△AEF≌△ADF（SAS），∴EF=DF，在Rt△CDF中，即，∴，整理得，即，∴，∴，∴．

【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理，銳角三角函數(shù)及其公式推導，掌握上述知識、靈活應(yīng)用全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2021·湖南中考真題）如圖，在中，點為斜邊上一動點，將沿直線折疊，使得點的對應(yīng)點為，連接，，，．（1）如圖①，若，證明：．（2）如圖②，若，，求的值．（3）如圖③，若，是否存在點，使得．若存在，求此時的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，的值為或．【分析】（1）先根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)平行線的判定可得，最后根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)即可得證；（2）設(shè)與的交點為點，過點作于點，設(shè)，從而可得，先證出，從而可得，設(shè)，根據(jù)線段的和差可得，代入可求出，從而可得，再在中，解直角三角形可得，由此可得，然后在中，根據(jù)余弦三角函數(shù)的定義即可得；（3）如圖（見解析），設(shè)，從而可得，分①點在直線的左側(cè)；②點在直線的右側(cè)兩種情況，再分別利用等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】（1）證明：，，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，四邊形是平行四邊形，又，平行四邊形是菱形，；（2）如圖，設(shè)與的交點為點，過點作于點，

，是等腰三角形，，設(shè)，則，，，由折疊的性質(zhì)得：，在和中，，，，設(shè)，則，，解得，，在中，，，則；（3），，設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)得：，，由題意，分以下兩種情況：①如圖，當點在直線的左側(cè)時，過點作于點，

（等腰三角形的三線合一），，在中，，，又，，，，是等邊三角形，，；②如圖，當點在直線的右側(cè)時，過點作于點，

同理可得：，，點在上，由折疊的性質(zhì)得：，在中，，，，綜上，存在點，使得，此時的值為或．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點，較難的是題（3），正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．3．（2021·浙江中考真題）（推理）如圖1，在正方形ABCD中，點E是CD上一動點，將正方形沿著BE折疊，點C落在點F處，連結(jié)BE，CF，延長CF交AD于點G．（1）求證：．（運用）（2）如圖2，在（推理）條件下，延長BF交AD于點H．若，，求線段DE的長．（拓展）（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF，延長CF，BF交直線AD于G，兩點，若，，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．

【答案】（1）見解析；（2）；（3）或【分析】（1）根據(jù)ASA證明；（2）由（1）得，由折疊得，進一步證明，由勾股定理得，代入相關(guān)數(shù)據(jù)求解即可；（3）如圖，連結(jié)HE，分點H在D點左邊和點在點右邊兩種情況，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出DE的長，再由勾股定理得，代入相關(guān)數(shù)據(jù)求解即可．【詳解】（1）如圖，由折疊得到，，．又四邊形ABCD是正方形，，，，又正方形，．（2）如圖，連接，由（1）得，，由折疊得，，．四邊形是正方形，，，又，，．，，，．，，（舍去）．（3）如圖，連結(jié)HE，由已知可設(shè)，，可令，①當點H在D點左邊時，如圖，同（2）可得，，，由折疊得，，又，，，又，，，，，，．，，，（舍去）．②當點在點右邊時，如圖，同理得，，同理可得，可得，，，，（舍去）．【