模型C06 三角形全等-對角互補(bǔ)模型（解析版）

對角互補(bǔ)模型對角互補(bǔ)模型模型講解模型講解【結(jié)論一】（對角互補(bǔ)一般情況）如圖，在四邊形ABCD中，∠1+∠2＝180°，BA＝BC，連接BD，延長DA至E，使得AE=DC，則有以下結(jié)論成立：①△BAE≌△BCD；【證明】：①證明：∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAC+∠C＝180°，∴∠BAE=∠BCD在△BAE和△BCD中AE=CD∠BAE=∠BCDAB=BC∴△BAE≌△BCD（SAS）．【結(jié)論二】（對角互補(bǔ)--含60°角）如圖，在四邊形ABCD中，∠1=60°，∠2＝120°，BA＝BC，連接BD，延長DA至E，使得AE=DC，則有以下結(jié)論成立：①△BAE≌△BCD；②△BED為等邊△【結(jié)論二】（對角互補(bǔ)--含90°角）如圖，在四邊形ABCD中，∠1=90°，∠2＝90°，BA＝BC，連接BD，延長DA至E，使得AE=DC，則有以下結(jié)論成立：①△BAE≌△BCD；②△BED為等腰Rt△方法點(diǎn)撥例題演練例題演練1．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形對角線交于點(diǎn)O，連接OC，已知AC＝，OC＝，則另一直角邊BC的長為．【解答】解：過點(diǎn)O作OM⊥CA，交CA的延長線于點(diǎn)M，作ON⊥BC于點(diǎn)N．∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠AOB＝90°，∵∠MON＝∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，在△AOM和△BON中，∴△OMA≌△ONB，∴OM＝ON，MA＝NB．∴O點(diǎn)在∠ACB的平分線上，∴△OCM為等腰直角三角形．∵OC＝，∴CM＝ON＝1．∴MA＝CM﹣AC＝1﹣＝，∴BC＝CN+NB＝1+＝．故答案為：．2．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，求證：EF＝BE+FD．【解答】證明：延長CB至M，使BM＝FD，連接AM，如圖所示：∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABM+∠ABC＝180°，∴∠ABM＝∠D，在△ABM與△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF＝AM，∠BAM＝∠DAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD＝∠FAE，∴∠BAM+∠BAE＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF，在△AME與△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS），∴EF＝ME，∵M(jìn)E＝BE+BM，∴EF＝BE+FD．強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練1．如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD．試探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．（1）小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長EB到點(diǎn)G，使BG＝DF，連接AG，先證明△ABG≌△ADF，再證明△AEG≌△AEF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【解答】解：（1）由△ABG≌△ADF，△AEG≌△AEF可知，BG＝DF，EF＝EG＝BG+EF＝DF+EF，故答案為EF＝BE+FD（2）（1）中的結(jié)論EF＝BE+FD仍然成立．理由：延長EB到點(diǎn)G，使BG＝DF，連接AG．∵∠ABD+∠D＝180°，∠ABD+∠ABG＝180°，∴∠ABG＝∠D，∴AB＝AD，BG＝DF，∴△ABG≌△ADF，∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝∠BAE+∠BAG，∴∠EAG＝∠EAF，∵AE＝AE，AG＝AF，∴△EAG≌△EAF，∴EG＝EF，∵EG＝BG+BE＝DF+BE，∴EF＝BE+DF．（3）結(jié)論EF＝BE+FD不成立，應(yīng)當(dāng)是EF＝BE﹣FD．證明：在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．2．（2020秋?西城區(qū)校級(jí)期中）已知，如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，試說明AD＝DC．【解答】證明：如圖，過D作DF⊥AB，交BA的延長線于點(diǎn)F，∵DE⊥BC，BD平分∠ABC，∴DE＝DF，∠F＝∠DEC＝90°，∵∠BAD+∠C＝180°，且∠BAD+∠DAF＝180°，∴∠DAF＝∠C，在△ADF和△CDE中∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AD＝CD．3．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)P是對角線BD上一點(diǎn)，且PE⊥PC．（1）求證：PC＝PE；（2）若BE＝2，求PB的長．【解答】證明：（1）過點(diǎn)P作PF⊥AB，PG⊥BC，∴∠PFB＝∠PGB＝∠PGC＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝AD＝BC，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，四邊形FBGP是矩形，∴∠FPB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣45°＝45°，∴∠ABD＝∠FPB，∴FP＝FB，∴矩形FBGP是正方形，∴PF＝PG，∠FPG＝90°，∴∠FPE+∠EPG＝90°，∵EP⊥PC，∴∠EPC＝90°，∴∠GPC+∠EPG＝90°，∴∠FPE＝∠GPC，在△PFE與△PGC中，，∴△PFE≌△PGC（ASA），∴PE＝PC；（2）設(shè)EF＝x，∵△PFE≌△PGC，∴GC＝EF＝x，由BE＝2得：BF＝x+2，由正方形FBGP得：BG＝x+2，∵BC＝6，∴BG+GC＝6，∴（x+2）+x＝6，解得：x＝2，∴PF＝BF＝2+2＝4，△PFB中，∠PFB＝90°，由勾股定理得：PB2＝42+42＝32，∵PB＞0，∴PB＝．4．菱形ABCD中，∠B＝60°，∠MAN＝60°，射線AM交直線BC于點(diǎn)E，射線AN交直線CD于點(diǎn)F，連接EF，請解答下列問題：（1）如圖1，求證：EC+FC＝AC；（2）將∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，如圖2，如圖3，請直接寫出線段EC，F(xiàn)C，AC之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；（3）若S菱形ABCD＝18，∠CAE＝30°，則CF＝3或12．【解答】解：（1）如圖1所示：∵四邊形ABCD為菱形，∠B＝60°∴AB＝BC，∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠B＝60°，∴△ABC為等邊三角形．∴AC＝BC＝AB，∠BAC＝60°．又∵∠MAN＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF．∴EC+CF＝EC+BE＝BC．又∵BC＝AC，∴EC+CF＝AC．（2）如圖2所示：AC+CF＝EC．∵四邊形ABCD為菱形，∠B＝60°∴AB＝BC，∠ACD＝∠B＝60°．∴∠ACF＝120°．∵∠B＝60°，AB＝BC，∴△ABC為等邊三角形．∴AC＝BC＝AB，∠ABC＝60°．∴∠ABE＝120°．∴∠ABE＝∠ACF．∵∠MAN＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF．∴FC+BC＝BE+BC＝CE．∵BC＝AC，∴FC+AC＝CE．如圖3所示：又∵BC＝AC，∴EC+CF＝AC．如圖3所示：CF＝AC+CE．在△ACE和△ADF中，△ACE≌△ADF（ASA）．∴CE＝DF．∴CF＝CD+DF＝CD+CE＝AC+CE，即CF＝AC+CE．（3）如圖1所示：∵∠CAE＝30°，∠CAB＝60°，∴AE平分∠CAB．又∵AB＝AC，∴AE⊥BC，BE＝CE．∴AE＝AB．∵S菱形ABCD＝18，∴AB?AB＝18．∴AB＝6．∴BE＝EC＝3．∴CF＝3．如圖3所示：∵∠CAE＝30°，∠BAC＝60°，∴∠BAE＝90°．又∵AB＝6，∠B＝60°，∴BE＝12．∴CF＝AC+CE＝BC+CE＝12．綜上所述，CF＝3或CF＝12．故答案為：3或12．5．（1）如圖1，四邊形ABCD是邊長為5cm的正方形，E，F(xiàn)分別在AD，CD邊上，∠EBF＝45°．為了求出△DEF的周長．小南同學(xué)的探究方法是：如圖2，延長EA到H，使AH＝CF，連接BH，先證△ABH≌△CBF，再證△EBH≌△EBF，得EF＝EH，從而得到△DEF的周長＝10cm；（2）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F(xiàn)分別是線段BC，CD上的點(diǎn)．且∠EAF＝50°．探究圖中線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖4，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD上的點(diǎn)，且2∠EAF＝∠BAD，（2）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請證明，若不成立，請說明理由；（4）若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，點(diǎn)E、F分別在CB、DC的延長線上，且2∠EAF＝∠BAD，請畫出圖形，并直接寫出線段EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）如圖1，延長EA到H，使AH＝CF，連接BH，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝5cm，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠BAH＝∠BCF＝90°，又∵AH＝CF，AB＝BC，∴△ABH≌△CBF（SAS），∴BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，∵∠EBF＝45°，∴∠CBF+∠ABE＝45°＝∠HBA+∠ABE＝∠EBF，∴∠EBH＝∠EBF，又∵BH＝BF，BE＝BE，∴△EBH≌△EBF（SAS），∴EF＝EH，∴EF＝EH＝AE+CF，∴△DEF的周長＝DE+DF+EF＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝10（cm）．故答案為：10．（2）EF＝BE+DF．證明：如圖2所示，延長FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連接AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝100°，∠EAF＝50°，∴∠BAE+∠FAD＝∠DAG+∠FAD＝50°，∴∠EAF＝∠FAG＝50°，在△EAF和△GAF中，，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝BE+DF；（3）成立．證明：如圖3，延長EB到G，使BG＝DF，連接AG．∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，∴∠ABG＝∠D，∵在△ABG與△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵2∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠BAD＝∠EAF，∴∠GAE＝∠EAF，又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG＝EF，∵EG＝BE+BG，∴EF＝BE+FD；（4）EF＝BE﹣FD，理由如下：在BC上截取BH＝DF，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，且AB＝AD，BH＝DF，∴△ABH≌△ADF（SAS），∴∠BAH＝∠DAF，AH＝AF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAE+∠BAH＝∠BAD，∴∠HAE＝∠BAD＝∠EAF，且AE＝AE，AH＝AF，∴△HAE≌△FAE（SAS），∴HE＝EF，∴EF＝HE＝BE﹣BH＝BE﹣DF．1．（2018?阜新中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D．（1）如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)在AB，AC上，且∠EDF＝90°．求證：BE＝AF；（2）點(diǎn)M，N分別在直線AD，AC上，且∠BMN＝90°．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在AD的延長線上時(shí)，求證：AB+AN＝AM；②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A，D之間，且∠AMN＝30°時(shí)，已知AB＝2，直接寫出線段AM的長．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ADB＝90°，∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠CAD＝∠B，AD＝BD，∵∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；（2）