廣西柳州重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

柳州重點(diǎn)中學(xué)2023—2024學(xué)年秋季學(xué)期高一年級(jí)入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（滿分120分考試用時(shí)90分鐘。）一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.）1.如圖中六棱柱的左視圖是（）A. B. C. D.2.《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，是《算經(jīng)十書》之一.書中記載了這樣一個(gè)題目：今有木，欲知長(zhǎng)短.引繩度之，余繩四尺五寸：屈繩量之，不足一尺.木長(zhǎng)幾何？其大意是：用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺.問(wèn)木長(zhǎng)多少尺？設(shè)木長(zhǎng)尺，則可列方程為（）A. B.C. D.3.估計(jì)的值應(yīng)在（）A.4和5之間 B.5和6之間 C.6和7之間 D.7和8之間4.為貫徹教育部《大中小學(xué)勞動(dòng)教育指導(dǎo)綱要（試行）》文件精神，某學(xué)校積極開(kāi)設(shè)種植類勞動(dòng)教育課.某班決定每位學(xué)生隨機(jī)抽取一張卡片來(lái)確定自己的種植項(xiàng)目，老師提供6張背面完全相同的卡片，其中蔬菜類有4張，正面分別印有白菜、辣椒、豇豆、茄子圖案；水果類有2張，正面分別印有草莓、西瓜圖案，每個(gè)圖案對(duì)應(yīng)該種植項(xiàng)目.把這6張卡片背面朝上洗勻，小明隨機(jī)抽取一張，他恰好抽中水果類卡片的概率是（）A. B. C. D.5.經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的拋物線（為自變量）與軸有交點(diǎn)，則線段長(zhǎng)為（）A.10 B.12 C.13 D.156.定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，稱點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，已知點(diǎn)，有下列結(jié)論：①點(diǎn)，都是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”：②若直線上的點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；③拋物線上存在兩個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；④若點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，則的最小值是.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.47.如圖，在正方形中，為對(duì)角線的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接，，連接并延長(zhǎng)，與的平分線交于點(diǎn)，連接，若，則的長(zhǎng)度為（）A.2 B. C.1 D.8.二次函數(shù)的圖象如圖所示，對(duì)稱軸是直線，下列結(jié)論：①；②方程必有一個(gè)根大于2且小于3；③若，是拋物線上的兩點(diǎn)，那么；④；⑤對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.5 B.4 C.3 D.2二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有錯(cuò)選的得0分，部分選對(duì)的得2分.）9.我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一.據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，勾股定理的公式與證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”；三國(guó)時(shí)代的蔣銘祖對(duì)《蔣銘祖算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋，并1給出了另外一個(gè)證明，下面四幅圖中，能證明勾股定理的是（）A. B. C. D.10.下列說(shuō)法正確的是（）A方程的解是B.方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之積為1C.以、2兩數(shù)為根的一元二次方程可記為：D.一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根的平方和為7，則11.如圖，若直線：與坐標(biāo)軸交于，兩點(diǎn)，與直線：交于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).則下列結(jié)論正確的是（）A.， B.的解是C.的面積是3 D.當(dāng)時(shí)，12.如圖，在正方形紙片中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，折疊正方形紙片，使落在上，點(diǎn)恰好與上的點(diǎn)重合，展開(kāi)后，折痕分別交，于點(diǎn)，，連接，下列結(jié)論正確的是（）.A. B.C. D四邊形是菱形三、填空題（共4小題，每題5分，共20分）13.若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.14.若，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根，則的值為_(kāi)_____.15.如圖，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是______.16.如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為2，以為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，得弧、連結(jié)、，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____.四、解答題（本題共4小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）17.先化簡(jiǎn)再求值：，其中.18.如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，，是的外接圓，交于點(diǎn)（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為10，，求.19.直播購(gòu)物逐漸走進(jìn)了人們的生活.某電商在抖音上對(duì)一款成本價(jià)為40元的小商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件.通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價(jià)每降低5元，日銷售量增加10件.（1）若日利潤(rùn)保持不變，商家想盡快銷售完該商品，每件售價(jià)應(yīng)定為多少元？（2）每件售價(jià)定為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？20.如圖（1），拋物線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn).（1）求和的值；（2）已知點(diǎn)，是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，且，，求此拋物線的頂點(diǎn)到的距離；（3）如圖（2），連接，點(diǎn)是拋物線在線段上方部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，交線段于點(diǎn)，設(shè)，求的取值范圍.圖1 圖22023-2024學(xué)年秋季學(xué)期高一年級(jí)入學(xué)考試數(shù)學(xué)答案1.A【詳解】根據(jù)三視圖的概念，可知選項(xiàng)A中的圖形是左視圖，選項(xiàng)C中的圖形是主視圖，選項(xiàng)D中的圖形是俯視圖，故選A.2.A【詳解】解：設(shè)木長(zhǎng)尺，根據(jù)題意得，，故選：A3.A【詳解】解：，∵，∴，即，∴，故選：A.4.B【詳解】解：由題意，隨機(jī)抽取一張，共有6種等可能的結(jié)果，其中恰好抽中水果類卡片的有2種，∴小明隨機(jī)抽取一張，他恰好抽中水果類卡片的概率是，故選：B.5.B【詳解】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線∵拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，∴，即，∴∵拋物線與軸有交點(diǎn)，∴，即，即，即，∴，，∴，，∴，故選：B.6.C【詳解】解：①∵，，∴，∴，則是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；∵，，∴，，∴，則是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；故①正確，符合題意；②設(shè)點(diǎn)，∵點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，∴，解得：，∴，故②不正確，不符合題意；③設(shè)拋物線上點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，∴，整理得：，∵，∴方程有兩個(gè)不相等實(shí)根，即拋物線上存在兩個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；故③正確，符合題意；④設(shè)點(diǎn)，∵點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，∴，∵，，∴，∵，∴的最小值為，∴的最小值是，故④正確，符合題意；綜上：正確的有①③④，共3個(gè).故選：C.7.D【詳解】解：如圖，連接，∵四邊形是正方形，∴，，，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，在與，∴，∴，∴∵為對(duì)角線的中點(diǎn)，∴，故選：D.8.C【詳解】解：∵拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線，與軸交于負(fù)半軸，∴，，，∴；故①錯(cuò)誤；由圖可知，拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為：，∵拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，∴拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為：，∴方程必有一個(gè)根大于2且小于3；故②正確；∵，∴拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸的距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，∵，是拋物線上的兩點(diǎn)，且，∴；故③錯(cuò)誤；∵，，∴由圖象知：，∴；故④正確；∵，對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最小為：，∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有，即：，∴；故⑤正確：綜上：正確的有3個(gè)；故選C.9.ABC【詳解】A、大正方形的面積為：：也可看作是4個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形組成，則其面積為：，∴，故A選項(xiàng)能證明勾股定理；B、梯形的面積為：，也可看作是2個(gè)直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形組成，則其面積為：，∴，∴，故B選項(xiàng)能證明勾股定理；C、大正方形的面積為：；也可看作是4個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形組成，則其面積為：，∴，∴，故C選項(xiàng)能證明勾股定理；D、大正方形的面積為：；也可看作是2個(gè)矩形和2個(gè)小正方形組成，則其面積為：，∴，∴D選項(xiàng)不能證明勾股定理.故選：ABC.10.CD【詳解】解：A.∵，∴，即，解得：，∴方程的解是，，不符合題意；B.∵，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，不符合題意；C.∵，∴當(dāng)時(shí)，，，∴以、2兩數(shù)為根的一元二次方程可記為，符合題意；D.設(shè)一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根分別為，，∴，，∵，∴，即，，符合題意.故選：CD.11.ABC【詳解】解：把點(diǎn)代入：，得，∴，∴，把，代入直線：，得，解得，∴：，把代入：得，∴，故A正確，符合題意，∵直線：與直線：交于點(diǎn)，∴方程組的解是，故B正確，符合題意；∵直線交軸于點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，故C正確，符合題意；由圖可知，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤，不符合題意；綜上所述：結(jié)論正確的是ABC，故選：ABC.12.ABD【詳解】解：∵四邊形為正方形，∴，，，∴，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，故A選項(xiàng)正確，符合題意；根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，，∴，∵，，∴，∴為等腰直角三角形，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴，在中，，故B選項(xiàng)正確，符合題意；由折疊的性質(zhì)可得，，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴四邊形為菱形，故D選項(xiàng)正確，符合題意；∵四邊形為菱形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.故選：ABD.13.【詳解】解：由題意得：，∴；故答案為.14.5【詳解】解：∵，∴，，，∴.15.【詳解】解：因?yàn)橹本€與拋物線分別交于，兩點(diǎn)，令，則，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，∴直線的解析式為，解方程，得，∴，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，0，∴當(dāng)時(shí)，，故答案為：.16.【詳解】解：∵正六邊形的邊長(zhǎng)為2，∴，，∵∴，過(guò)作于，∴，在中，，∴，同理可證，，∴，∴，∴圖中陰影部分的面積為，故答案為：.17.，4【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式.18.【詳解】（1）解：連接，∵，∴，∴為直徑，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴是的切線（2）∵，，∴，∴，∴，∴，∴.19.（1）每件售價(jià)應(yīng)定為50元（2）每件售價(jià)定為55元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大，最大銷售利潤(rùn)450元【詳解】（1）設(shè)每件售價(jià)應(yīng)定為元，則每件的銷售利潤(rùn)為元，日銷售量為件，依題意得：，整理得：，解得：，（不合題意，舍去）.答：每件售價(jià)應(yīng)定為50元；（2）設(shè)每天的銷售利潤(rùn)為元.依題意，得：整理，得：，化成頂點(diǎn)式，得，∴當(dāng)時(shí).每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是450元.20.（1）；（2）頂點(diǎn)到的距離16；（3）；【詳解】（1）解：將，代入二次函數(shù)中得，，解得：，∴此二次函數(shù)的解析式為；（2）由（1