特級(jí)教師改編中考數(shù)學(xué)幾何模型24講：專題09 背靠背模型解直角三角形（教師版）

專題09背靠背模型解直角三角形【模型展示】【中考真題】1、如圖，在活動(dòng)課上，小明和小紅合作用一副三角板來(lái)測(cè)量學(xué)校旗桿高度．已知小明的眼睛與地面的距離（AB）是1.7m，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使得三角板的一條直角邊保持水平，且斜邊與旗桿頂端M在同一條直線上，測(cè)得旗桿頂端M仰角為45°；小紅的眼睛與地面的距離（CD）是1.5m，用同樣的方法測(cè)得旗桿頂端M的仰角為30°．兩人相距28米且位于旗桿兩側(cè)（點(diǎn)B、N、D在同一條直線上）．求出旗桿MN的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果保留整數(shù)．）解析：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥MN于E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥MN于F，EF==0.2在Rt△AEM中，∵∠MAE=45°，∴AE=ME設(shè)AE=ME=（不設(shè)參數(shù)也可）∴MF=＋0.2，CF=28在Rt△MFC中，∠MFC=90°，∠MCF=30°∴MF=CF·tan∠MCF，∴，10.0，∴MN12答：旗桿高約為12米．【精典例題】1、由我國(guó)完全自主設(shè)計(jì)、自主建造的首艘國(guó)產(chǎn)航母于2018年5月成功完成第一次海上試驗(yàn)任務(wù)．如圖，航母由西向東航行，到達(dá)A處時(shí)，測(cè)得小島B位于它的北偏東30°方向，且與航母相距80海里，再航行一段時(shí)間后到達(dá)C處，測(cè)得小島B位于它的西北方向，求此時(shí)航母與小島的距離BC的長(zhǎng)．解析點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，由題意得∠BAD＝60°，∠BCD＝45°，AB＝80.在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，∴BD＝AB·sin60°＝40eq\r(3).在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，∴BC＝eq\f(BD,sin45°)＝40eq\r(6).答：BC的長(zhǎng)為40eq\r(6)海里．2、如圖，在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，小敏為了測(cè)量校園內(nèi)旗桿AB的高度，站在教學(xué)樓的C處測(cè)得旗桿底端B的俯角為45°，測(cè)得旗桿頂端A的仰角為30°.若旗桿與教學(xué)樓的距離為9m，則旗桿AB的高度是__3eq\r(3)＋9__m(結(jié)果保留根號(hào))．

3、放置在水平桌面上的臺(tái)燈的平面示意圖如圖所示，燈臂AO長(zhǎng)為40cm，與水平面所形成的夾角∠OAM為75°.由光源O射出的邊緣光線OC，OB與水平面所形成的夾角∠OCA，∠OBA分別為90°和30°，求該臺(tái)燈照亮水平面的寬度BC.(不考慮其他因素，結(jié)果精確到0.1cm.溫馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，eq\r(3)≈1.73)解析：在Rt△ACO中，sin75°＝eq\f(OC,OA)＝eq\f(OC,40)≈0.97，解得OC≈38.8cm.在Rt△BCO中，tan30°＝eq\f(OC,BC)≈eq\f(38.8,BC)≈eq\f(1.73,3)，解得BC≈67.3cm.答：該臺(tái)燈照亮水平面的寬度BC大約是67.3cm.4、如圖，A，B兩市相距150km，國(guó)家級(jí)風(fēng)景區(qū)中心C位于A市北偏東60°方向上，位于B市北偏西45°方向上．已知風(fēng)景區(qū)是以點(diǎn)C為圓心、50km為半徑的圓形區(qū)域．為了促進(jìn)旅游經(jīng)濟(jì)發(fā)展，有關(guān)部門計(jì)劃修建連接A，B兩市的高速公路，高速公路AB是否穿過(guò)風(fēng)景區(qū)？通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明．（參考數(shù)據(jù)：≈1.73）解析：高速公路AB不穿過(guò)風(fēng)景區(qū)．過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，如圖所示．根據(jù)題意，得：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，在Rt△CHB中，∵tan∠CBH＝＝1，∴CH＝BH．設(shè)BH＝tkm，則CH＝tkm，在Rt△CAH中，∵tan∠CAH＝＝，∴AH＝tkm．∵AB＝150km，∴t+t＝150，∴t＝75﹣75≈75×1.73﹣75＝54.75．∵54.75＞50，∴高速公路AB不穿過(guò)風(fēng)景區(qū)．5、在一次海上救援中，兩艘專業(yè)救助船A，B同時(shí)收到某事故漁船的求救訊息，已知此時(shí)救助船B在A的正北方向，事故漁船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故漁船P與救助船A相距120海里．(1)求收到求救訊息時(shí)事故漁船P與救助船B之間的距離；(2)若救助船A，B分別以40海里/小時(shí)、30海里/小時(shí)的速度同時(shí)出發(fā)，勻速直線前往事故漁船P處搜救，試通過(guò)計(jì)算判斷哪艘船先到達(dá)．解析：(1)過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C，則∠PCA＝∠PCB＝90°.由題意，得PA＝120海里，∠A＝30°，∠B＝45°，∴PC＝eq\f(1,2)PA＝60海里PB＝eq\f(PC,sinB)＝60eq\r(2)海里．答：收到求救訊息時(shí)事故漁船P與救助船B之間的距離為60eq\r(2)海里．(2)救助船A所用的時(shí)間為eq\f(120,40)＝3(小時(shí))，救助船B所用的時(shí)間為eq\f(60\r(2),30)＝2eq\r(2)(小時(shí))，∵3＞2eq\r(2)，∴救助船B先到達(dá)．

6、如圖，要在江蘇省某林場(chǎng)東西方向的兩地之間修一條公路MN，已知C點(diǎn)周圍200米范圍內(nèi)為原始森林保護(hù)區(qū)，在MN上的點(diǎn)A處測(cè)得C在A的北偏東45°方向上，從A向東走600米到達(dá)B處，測(cè)得C在點(diǎn)B的北偏西60°方向上．（1）MN是否穿過(guò)原始森林保護(hù)區(qū)？為什么？（參考數(shù)據(jù)：≈1.732）（2）若修路工程工程需盡快完成．如果由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)做，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用10天完成．求甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程所需的天數(shù)．解析：（1）NM不穿過(guò)原始森林保護(hù)區(qū)．理由如下：作CD⊥AB于D，設(shè)CD＝x米，∵∠CAD＝45°，∴AD＝CD＝x米，∵∠DCB＝60°，∴BD＝CD?tan∠DCB＝x，∵AD+BD＝AB，∴x+x＝600，解得，x＝300（﹣1）≈219.6＞200．∴MN不會(huì)穿過(guò)森林保護(hù)區(qū)．（2）設(shè)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要y天，則乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要（y+10）天．根據(jù)題意得：+＝，解得：y＝20．經(jīng)檢驗(yàn)知：y＝20是原方程的根．則y+10＝30．答：甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程所需的天數(shù)分別是20天、30天．7、如圖，C地在A地的正東方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要繞行B地，已知B地位于A地北偏東67°方向，距離A地520km，C地位于B地南偏東30°方向，若打通穿山隧道，建成兩地直達(dá)高鐵，求A地到C地之間高鐵線路AC的長(zhǎng)（結(jié)果保留整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.732．解析：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D根據(jù)題意，得∠ABD＝67°，AB＝520，∠CBD＝30°，在Rt△ABD中，AD＝AB?sin67°，BD＝AB?cos67°，在Rt△CBD中，CD＝BD?tan30°，∴AC＝AD+CD＝AB?sin67°+AB?cos67°?tan30°≈520×0.92+520×0.38×≈592（km）答：A地到C地之間高鐵線路AC的長(zhǎng)592km．

8、如圖，一架無(wú)人機(jī)在距離地面高度為21.4米的點(diǎn)B處，測(cè)得地面點(diǎn)A的俯角為47°，接著，這架無(wú)人機(jī)從點(diǎn)B沿仰角為37°的方向繼續(xù)飛行20米到達(dá)點(diǎn)C，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)C恰好在地面點(diǎn)D的正上方，且A，D兩點(diǎn)在同一水平線上，求A，D兩點(diǎn)之間的距離．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07，≈2.45）解析：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F，由題意可知：CD⊥AD，∴四邊形AFED是矩形，∴AD＝EF，在Rt△BCE中，BC＝20，∠CBE＝37°，∴BE＝BC?cos37°＝20×0.80≈39.2，在Rt△ABF中，AF＝21.4，∠ABF＝47°，∴BF＝＝≈20，∴EF＝BE﹣BF≈39.2﹣20≈19，∴AD＝EF≈19（米）．答：A，D兩點(diǎn)之間的距離約為19米．

9、如圖，某海監(jiān)船向正西方向航行，在A處望見(jiàn)一艘正在作業(yè)的漁船D在南偏西45°方向，海監(jiān)船航行到B處時(shí)，望見(jiàn)漁船D在南偏東45°方向，又航行半小時(shí)到達(dá)C處望見(jiàn)漁船D在南偏東62°方向，若海監(jiān)船的速度為40海里/小時(shí)，求A、B之間的距離．（精確到0.1海里，參考數(shù)據(jù)：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）解析：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵∠ADE＝∠BDE＝45°，∴AE＝BE＝DE，設(shè)BE＝x，則DE＝x，∵BC＝，∴CE＝x+20，在Rt△CDE中，∠CDE＝62°，，∴，∴，∴AB＝2x＝2×22.72≈45.4，答：A、B之間的距離為45.4海里．

10、科技改變生活，手機(jī)導(dǎo)航極大方便了人們的出行，如圖，小明一家自駕到古鎮(zhèn)C游玩，到達(dá)A地后，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西60方