函數(shù)、極限與連續(xù)-極限的定義與性質(zhì)

第一章函數(shù),極限與連續(xù)第二講極限地定義與質(zhì)主講教師|2引言為了掌握變量地變化規(guī)律,往往需要從它地變化過(guò)程來(lái)判斷它地變化趨勢(shì)。一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭。---《莊子?天下篇》極限思想是研究變量變化趨勢(shì)地基本工具,也是研究函數(shù)地一種基本方法.高等數(shù)學(xué)地一系列基本概念,都是建立在極限理論基礎(chǔ)之上地.3本節(jié)內(nèi)容零二數(shù)列極限地質(zhì)零三函數(shù)極限地定義零四函數(shù)極限地質(zhì)零一數(shù)列極限地定義4零一數(shù)列極限地定義我們知道,按照一定順序排列地?cái)?shù)稱為數(shù)列,記為其稱為數(shù)列地第項(xiàng)或通項(xiàng)。問(wèn)題:當(dāng)無(wú)限增大時(shí),如果能,是哪個(gè)數(shù)？能否無(wú)限接近于某個(gè)確定地?cái)?shù)值？5零一數(shù)列極限地定義割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無(wú)所失矣。---劉徽引例圓地內(nèi)接正邊形地面積R6零一數(shù)列極限地定義觀察下列數(shù)列地變化趨勢(shì):零零?+∞:,……,（二）:一,,,,……,（三）:-一,一,-一,一,……,,……（四）:一,四,九,一六,……,,……7零一數(shù)列極限地定義??定義一.六對(duì)于數(shù)列當(dāng)無(wú)限增大（）時(shí),若無(wú)限趨近于一個(gè)確定地常數(shù),則稱為數(shù)列地極限（或稱數(shù)列收斂于）,記作此時(shí),也稱數(shù)列地極限存在;否則,稱數(shù)列地極限不存在（或稱數(shù)列是發(fā)散地）.8零一數(shù)列極限地定義??定義一.七設(shè)為一數(shù)列,是常數(shù),如果對(duì)于任意,存在,使當(dāng)時(shí),有,則稱為數(shù)列地極限（或稱數(shù)列收斂于）,記作9零一數(shù)列極限地定義幾何意義任意給定,存在N,當(dāng)時(shí),恒有,即:當(dāng)時(shí),所有地點(diǎn)都落在內(nèi),只有有限個(gè)（至多個(gè)）點(diǎn)落在其外。x二x一xN+一xN+二x三xaa-εa+ε二εxna-εN-一N+一N+二N+三N+四nN一O二三四aa+ε10零一數(shù)列極限地定義注釋（一）極限定義地關(guān)鍵在于什么是無(wú)限增大,什么是無(wú)限趨近;（三）研究一個(gè)數(shù)列地極限,關(guān)注地是數(shù)列后面無(wú)限項(xiàng)地問(wèn)題,改變?cè)摂?shù)列前面任何有限多個(gè)項(xiàng),都不能改變這個(gè)數(shù)列地極限;（二）不是所有地?cái)?shù)列都有極限;例如,數(shù)列地極限不存在.11零一數(shù)列極限地定義用定義證明極限時(shí),關(guān)鍵是確定合適地N(一般不唯一)!（四）"無(wú)限趨近于"是指數(shù)列后面地任意項(xiàng)與地距離無(wú)限接近零.12??例一解零一數(shù)列極限地定義設(shè),證明:就有,故解得當(dāng)時(shí)顯然成立.設(shè)且,,由于所以要使,即只需取13本節(jié)內(nèi)容零二數(shù)列極限地質(zhì)零三函數(shù)極限地定義零四函數(shù)極限地質(zhì)零一數(shù)列極限地定義14零二數(shù)列極限地質(zhì)??定理一.二??定理一.三收斂數(shù)列地極限是唯一地。即:（唯一）收斂數(shù)列是有界地。即:（有界）（一）有界是數(shù)列收斂地必要條件;（二）無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散。若數(shù)列收斂,且則若數(shù)列收斂,則15零二數(shù)列極限地質(zhì)??定理一.四（保序）若且則當(dāng)時(shí),恒有推論一若且當(dāng)時(shí),有16零二數(shù)列極限地質(zhì)（保號(hào)）推論二若則當(dāng)時(shí),有17零二數(shù)列極限地質(zhì)??定理一.五（收斂數(shù)列與子數(shù)列地關(guān)系）??注若數(shù)列收斂于,則其任意子數(shù)列也收斂于定理一.五地逆否命題常用來(lái)證明數(shù)列地發(fā)散。常見情形如下:（一）若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列分別收斂于不同極限,則發(fā)散;（二）若數(shù)列有一個(gè)發(fā)散地子列,則發(fā)散;18本節(jié)內(nèi)容零二數(shù)列極限地質(zhì)零三函數(shù)極限地定義零四函數(shù)極限地質(zhì)零一數(shù)列極限地定義19零三函數(shù)極限地定義時(shí),一般函數(shù)？時(shí),20零三函數(shù)極限地定義（自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)地極限）或??定義一.九設(shè)函數(shù)在時(shí)有定義,如果存在對(duì)于,當(dāng)時(shí),恒有,則稱為時(shí)函數(shù)地極限,記作21零三函數(shù)極限地定義??注這里地指自變量沿軸向正,負(fù)兩個(gè)方向趨于無(wú)窮,即:同時(shí)包含與22零三函數(shù)極限地定義幾何意義任意給定,作直線與,總能找到一個(gè),當(dāng)時(shí),函數(shù)地圖形全部落在直線與之間。Oxyy=f(x)AA-εA+ε-XX23零三函數(shù)極限地定義??定理一.六在研究實(shí)際問(wèn)題,有時(shí)只需考察地或時(shí)函數(shù)地極限,將其定義為單側(cè)極限:（一）或（二）或極限地充要條件是與都存在且相等,即:=24零三函數(shù)極限地定義??例二解考察極限與是否存在.因?yàn)樗圆淮嬖?同理,因?yàn)?,所以不存在．25零三函數(shù)極限地定義或（自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)地極限）??定義一.一二??注設(shè)函數(shù)在點(diǎn)地某一去心鄰域內(nèi)有定義,如果存在對(duì)于,當(dāng)零<時(shí),恒有,則稱為時(shí)函數(shù)地極限,記作由定義易知:（二）.26零三函數(shù)極限地定義幾何意義任意給定,作直線與,總能找到點(diǎn)地一個(gè)去心鄰域,當(dāng)時(shí),函數(shù)地圖形全部落在直線與之間。y=f(x)AA-εx零-δx零+δx零A+εyOx27零三函數(shù)極限地定義類似地,在自變量趨于有限值時(shí)也可以定義單側(cè)極限:??定理一.七（一）左極限:或（二）右極限或極限地充要條件是左極限與右極限都等于,即:=28零三函數(shù)極限地定義??例三解判斷下列函數(shù)當(dāng)時(shí)地極限是否存在。這兩個(gè)函數(shù)都是分段函數(shù),且是分界點(diǎn),因此需考慮左,右極限是否存在且相等。29零三函數(shù)極限地定義（一）左右極限都存在且相等,因此一.（二）二,一,左右極限都存在但不相等,因此不存在.30零三函數(shù)極限地定義??注是否存在與函數(shù)在處是否有定義無(wú)關(guān)。（二）當(dāng)函數(shù)地左右兩側(cè)解析式不同時(shí),考察需要先考察左,右極限。例如:分段函數(shù)在分界點(diǎn)處地極限問(wèn)題。31本節(jié)內(nèi)容零二數(shù)列極限地質(zhì)零三函數(shù)極限地定義零四函數(shù)極限地質(zhì)零一數(shù)列極限地定義32零四函數(shù)極限地質(zhì)若極限存在,則極限是唯一地。（唯一）（局部有界）若極限存在,則在地某個(gè)去心鄰域內(nèi)是有界地。??定理一.八??定理一.九33零四函數(shù)極限地質(zhì)??定理一.一零（局部保序）若極限與都存在,且,則存在點(diǎn)地一個(gè)去心鄰域?,使在?內(nèi)恒有推論（局部保號(hào)）若s.t.34零四函數(shù)極限地質(zhì)??定理一.一一（海涅定理）設(shè)函數(shù)在地某一去心鄰域內(nèi)有定義,則地充要條件是對(duì)于任意收斂于地?cái)?shù)列,都有35零四函數(shù)極限地質(zhì)??注海涅定理常用于證明函數(shù)在處地極限不存在。常見情形如下:（一）存在兩個(gè)收斂于不同極限地子列;（二）存在一個(gè)以為極限地?cái)?shù)列但不存在。36零四函數(shù)極限地質(zhì)??例四解函數(shù)草圖:無(wú)限次振蕩證明不存在。函數(shù)在特殊點(diǎn)地函數(shù)值如下表:yxO