2023-2024學年河南省新鄉(xiāng)市輝縣市九年級（上）期中數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年河南省新鄉(xiāng)市輝縣市九年級第一學期期中數(shù)學試卷一、單選題（每小題3分，共30分）.1．已知代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠1 B．x≠0 C．x＞0且x≠1 D．x≥0且x≠12．下列計算正確的是（）A． B． C． D．3．若某三角形的三邊長分別為2，5，n，則化簡+|8﹣n|的結果為（）A．5 B．2n﹣10 C．2n﹣6 D．104．已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜4 B．k＜4且k≠0 C．k≥﹣4且k≠0 D．k≤﹣4且k≠05．讀詩詞，列方程：大江東去浪淘盡，千古風流人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)，十位恰小個位三，個位平方與壽符．（詩詞大意：周瑜英年早逝，逝世時的年齡是一個兩位數(shù)，十位數(shù)字比個位數(shù)字小3，個位數(shù)字的平方剛好是周瑜逝世時的年齡），設周瑜逝世時的年齡的個位數(shù)字為x，則列出的方程正確的是（）A．10x+（x﹣3）＝x2 B．10（x﹣3）+x＝x2 C．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 D．10（x﹣3）+x＝（x﹣3）26．探討關于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0總有實數(shù)根的條件，下面三名同學給出建議：甲：a，b同號；乙：a﹣b﹣1＝0；丙：a+b﹣1＝0．其中符合條件的是（）A．甲，乙，丙都正確 B．只有甲不正確 C．甲，乙，丙都不正確 D．只有乙正確7．如圖，各正方形的邊長均為1，則四個陰影三角形中，一定相似的一對是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④8．如圖，?ABCD對角線AC與BD交于點O，且AD＝3，AB＝5，在AB延長線上取一點E，使BE＝AB，連接OE交BC于F，則BF的長為（）A． B． C． D．19．如圖，在△ABC中，D，E分別是BC，AC的中點，AD和BE相交于點G，若AD＝6，則AG的長度為（）A．2 B．3 C．4 D．510．如圖，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，點A在反比例函數(shù)y＝的圖象上．若點B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則k的值為（）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8二、填空題（每小題3分，共15分）11．如果一個無理數(shù)a與的積是一個有理數(shù)，寫出a的一個值是．12．若關于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一個根是0，則m＝．13．將一元二次方程x2﹣8x+5＝0配方成（x+a）2＝b的形式，則a+b的值為．14．黃金分割大量應用于藝術、大自然中，樹葉的葉脈也蘊含著黃金分割，如圖，P為AB的黃金分割點（AP＞PB），如果AB的長度為12cm，則AP的長度為cm．15．如圖，在等邊三角形ABC中，AC＝4，E為AB的中點，在CB延長線上截取BD＝BE，將△DEB沿BC向右平移，點B的對應點為G，當平移后的△DEG和△ABC重疊部分的面積是△DEG面積的時，△DEB平移的距離為．三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）16．解方程：（1）x（x﹣5）＝15﹣3x．（2）4（2x+1）2＝9（x﹣3）2．（3）3x2＝2（2﹣x）．17．（1）計算：．（2）化簡：．18．如圖，已知A（﹣3，﹣3），B（﹣2，﹣1），C（﹣1，﹣2）是直角坐標平面上三點．（1）將△ABC先向右平移3個單位，再向上平移3個單位，畫出平移后的圖形△A1B1C1；（2）以點（0，2）為位似中心，位似比為2，將△A1B1C1放大，在y軸右側放大后的圖形△A2B2C2（3）填空：△A2B2C2面積為．19．已知關于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＞1）．（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2（其中x1＞x2），若y是關于m的函數(shù)，且y＝x1﹣x2，求y與m的函數(shù)關系式．20．如圖，已知在△ABC中，D是邊AC上的一點，∠CBD的平分線交AC于點E，且AE＝AB．（1）求證：△ABD∽△ACB；（2）若AD＝4，CD＝3，求AE的長．21．如圖，小亮想利用樹影測量樹高AB，他在某一時刻測得高為1m的竹竿影長為1.2m，但當他馬上測量樹影時，因樹靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墻上，他先測得留在墻上的影高CD＝1.4m，又測得地面部分的影長BD＝4.8m，請你幫助小亮求樹高AB．22．山西平遙古城吸引著全國各地的游客前來游玩．某紀念品商店購進一批紀念品進行銷售，購進20個甲種紀念品和10個乙種紀念品共花費1100元，購進10個甲種紀念品和20個乙種紀念品共花費1300元．（1）求單個甲種紀念品和乙種紀念品的進價．（2）店員小麗追蹤乙商品銷售情況，發(fā)現(xiàn)當乙種紀念品售價為60元時，每天能賣出100件，每個乙紀念品每漲價1元，就少售出2件．某天商店將乙種紀念品漲價m元，且相關部門規(guī)定乙種紀念品售價不得超過75元，若當天銷售乙種紀念品獲得利潤1600元，求銷售乙種紀念品的數(shù)量．23．在探索平面圖形的性質(zhì)時，往往需通過剪拼的方式幫助我們尋找解題思路．知識回顧例如，在證明三角形中位線定理時，可以采用如圖（1）的剪拼方式，將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形使問題得以解決．實踐操作如圖（2），在梯形ABCD中，AD∥BC，F(xiàn)是腰DC的中點，請你沿著AF將上圖的梯形剪開，重新拼成一個完整的三角形，并畫出來．（不用剪開，作圖即可）猜想證明如圖（3），在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是兩腰AB、DC的中點，我們把EF叫做梯形ABCD的中位線．請類比三角形的中位線的性質(zhì)，猜想EF和AD、BC有怎樣的位置和數(shù)量關系？請結合“實踐操作”完成猜想的證明．知識運用（1）已知梯形的中位線長為5cm，高為6cm，則梯形面積是cm2；（2）直線l為?ABCD外的任意一條直線，過A、B、C、D分別作直線l的垂線段AF、BE、CG、DH，線段AF、BE、CG、DH之間的數(shù)量關系為．

參考答案一、單選題（每小題3分，共30分）.1．已知代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠1 B．x≠0 C．x＞0且x≠1 D．x≥0且x≠1【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件得到x≥0且，進行計算即可得到答案．解：根據(jù)題意得：x≥0且，解得：x≥0且x≠1，故選：D．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負數(shù)，分式有意義的條件是分母不為零，是解題的關鍵．2．下列計算正確的是（）A． B． C． D．【分析】利用二次根式的運算法則逐一判斷即可求解．解：A．，故A選項符合題意；B．，故B選項不符合題意；C．，故C選項不符合題意；D．，故D選項不符合題意，故選：A．【點評】本題考查了二次根式的加減和乘除運算，利用二次根式的性質(zhì)化簡，熟練掌握其運算法則是解題的關鍵．3．若某三角形的三邊長分別為2，5，n，則化簡+|8﹣n|的結果為（）A．5 B．2n﹣10 C．2n﹣6 D．10【分析】根據(jù)三角形三邊關系定理求出3＜n＜7，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)和絕對值得出+|8﹣n|＝n﹣3+8﹣n，再合并同類項即可．解：∵三角形的三邊長分別為2，5，n，∴5﹣2＜n＜5+2，∴3＜n＜7，∴+|8﹣n|＝|3﹣n|+|8﹣n|＝n﹣3+8﹣n＝5，故選：A．【點評】本題考查了三角形的三邊關系定理和二次根式的性質(zhì)，能熟記二次根式的性質(zhì)是解此題的關鍵．4．已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜4 B．k＜4且k≠0 C．k≥﹣4且k≠0 D．k≤﹣4且k≠0【分析】根據(jù)一元二次方程中：Δ＝b2﹣4ac＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根，Δ＝b2﹣4ac＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根，Δ＝b2﹣4ac＜0，方程沒有實數(shù)根；從而得到關于k的不等式，解不等式，同時k≠0，即可求解．解：由題意得：Δ＝b2﹣4ac＝＝32﹣8k，∵原方程兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝32﹣8k＞0，解得：k＜4，∵k≠0，∴k＜4且k≠0．故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式與方程根的個數(shù)之間的關系，掌握此關系是解題的關鍵．5．讀詩詞，列方程：大江東去浪淘盡，千古風流人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)，十位恰小個位三，個位平方與壽符．（詩詞大意：周瑜英年早逝，逝世時的年齡是一個兩位數(shù)，十位數(shù)字比個位數(shù)字小3，個位數(shù)字的平方剛好是周瑜逝世時的年齡），設周瑜逝世時的年齡的個位數(shù)字為x，則列出的方程正確的是（）A．10x+（x﹣3）＝x2 B．10（x﹣3）+x＝x2 C．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 D．10（x﹣3）+x＝（x﹣3）2【分析】由周瑜逝世時的年齡的十位數(shù)字與個位數(shù)字間的關系，可得出周瑜逝世時的年齡的十位數(shù)字為（x﹣3），結合周瑜逝世時的年齡的個位數(shù)字的平方剛好是周瑜逝世時的年齡，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．解：∵周瑜逝世時的年齡的個位數(shù)字為x，且十位數(shù)字比個位數(shù)字小3，∴周瑜逝世時的年齡的十位數(shù)字為（x﹣3）．根據(jù)題意得：10（x﹣3）+x＝x2．故選：B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．6．探討關于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0總有實數(shù)根的條件，下面三名同學給出建議：甲：a，b同號；乙：a﹣b﹣1＝0；丙：a+b﹣1＝0．其中符合條件的是（）A．甲，乙，丙都正確 B．只有甲不正確 C．甲，乙，丙都不正確 D．只有乙正確【分析】根據(jù)根的判別式的定義得到Δ＝b2+4a，根據(jù)特例和根的判別式的意義可對甲的條件進行判斷；若a＝b+1，則Δ＝（b+2）2≥0，則根據(jù)根的判別式的意義可對乙的條件進行判斷；若a＝﹣b+1，Δ＝（b﹣2）2≥0，則根據(jù)根的判別式的意義可對丙的條件進行判斷．解：Δ＝b2+4a，若a、b同號，a＝﹣1，b＝﹣1，此時Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程沒有實數(shù)解，所以甲的條件不滿足方程總有實數(shù)根；若a﹣b﹣1＝0，即a＝b+1，Δ＝b2+4（b+1）＝（b+2）2≥0，方程總有實數(shù)根，所以乙的條件滿足方程總有實數(shù)根；若a+b﹣1＝0，即a＝﹣b+1，Δ＝b2+4（﹣b+1）＝（b﹣2）2≥0，方程總有實數(shù)根，所以丙的條件滿足方程總有實數(shù)根；故選：B．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．7．如圖，各正方形的邊長均為1，則四個陰影三角形中，一定相似的一對是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【分析】分別求出4個圖形中的每個三角形的邊長，通過三角形三邊的比是否相等就可以判斷出結論，從而得出正確答案．解：①三邊長為：1，，；②三邊長為：，2，；③三邊長為：1，，2；④三邊長為：2，，；則可得①和②三邊成比例，故一定相似的是①和②．故選：A．【點評】本題考查了相似三角形的判定，解答本題需要我們熟練運用勾股定理，掌握相似三角形的判定定理，難度一般．8．如圖，?ABCD對角線AC與BD交于點O，且AD＝3，AB＝5，在AB延長線上取一點E，使BE＝AB，連接OE交BC于F，則BF的長為（）A． B． C． D．1【分析】首先作輔助線：取AB的中點M，連接OM，由平行四邊形的性質(zhì)與三角形中位線的性質(zhì)，即可求得：△EFB∽△EOM與OM的值，利用相似三角形的對應邊成比例即可求得BF的值．解：取AB的中點M，連接OM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴OM∥AD∥BC，OM＝AD＝×3＝，∴△EFB∽△EOM，∴＝，∵AB＝5，BE＝AB，∴BE＝2，BM＝，∴EM＝+2＝，∴，∴BF＝，故選：A．【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．解此題的關鍵是準確作出輔助線，合理應用數(shù)形結合思想解題．9．如圖，在△ABC中，D，E分別是BC，AC的中點，AD和BE相交于點G，若AD＝6，則AG的長度為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)D、E分別是邊BC、AC的中點，AD、BE相交于G，即可得出G為三角形的重心，利用重心的性質(zhì)得出AG的長．解：∵D、E分別是邊BC、AC的中點，AD、BE相交于G，∴G為△ABC的重心，∴AG＝2DG，∵AD＝6，∴AG＝4，故選：C．【點評】此題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，根據(jù)已知得出G為△ABC的重心是解決問題的關鍵．重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．10．如圖，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，點A在反比例函數(shù)y＝的圖象上．若點B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則k的值為（）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8【分析】求函數(shù)的解析式只要求出B點的坐標就可以，過點A，B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，分別于C，D．根據(jù)條件得到△ACO∽△ODB，得到＝＝＝2，然后用待定系數(shù)法即可．解：過點A，B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，分別于C，D．設點A的坐標是（m，n），則AC＝n，OC＝m，∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∵∠DBO+∠BOD＝90°，∴∠DBO＝∠AOC，∵∠BDO＝∠ACO＝90°，∴△BDO∽△OCA，∴＝＝，∵OB＝2OA，∴BD＝2m，OD＝2n，因為點A在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則mn＝2，∵點B在反比例函數(shù)y＝的圖象上，B點的坐標是（﹣2n，2m），∴k＝﹣2n?2m＝﹣4mn＝﹣8．故選：D．【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，相似三角形的判定和性質(zhì)，求函數(shù)的解析式的問題，一般要轉(zhuǎn)化為求點的坐標的問題，求出圖象上點的橫縱坐標的積就可以求出反比例函數(shù)的解析式．二、填空題（每小題3分，共15分）11．如果一個無理數(shù)a與的積是一個有理數(shù)，寫出a的一個值是（答案不唯一）．【分析】直接化簡二次根式，進而得出符合題意的值．解：∵＝2，∴無理數(shù)a與的積是一個有理數(shù)，a的值可以為：（答案不唯一）．故答案為：（答案不唯一）．【點評】此題主要考查了二次根式的乘法，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題關鍵．12．若關于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一個根是0，則m＝﹣2．【分析】把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，然后解關于m的方程，最后利用一元二次方程的定義確定m的值．解：把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，解得m1＝2，m2＝﹣2，而m﹣2≠0，所以m＝﹣2．故答案為﹣2．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．13．將一元二次方程x2﹣8x+5＝0配方成（x+a）2＝b的形式，則a+b的值為7．【分析】先移項，再在方程的兩邊都加上16，配方后可求解a，b的值，從而可得答案．解：∵x2﹣8x+5＝0，移項得：x2﹣8x＝﹣5，∴x2﹣8x+16＝11，∴（x﹣4）2＝11，∴a＝﹣4，b＝11，∴a+b＝7，故答案為：7．【點評】此題考查的是解一元二次方程﹣配方法，掌握配方法的方法與步驟是解題的關鍵．14．黃金分割大量應用于藝術、大自然中，樹葉的葉脈也蘊含著黃金分割，如圖，P為AB的黃金分割點（AP＞PB），如果AB的長度為12cm，則AP的長度為cm．【分析】根據(jù)黃金分割的定義可知：，由此求解即可．解：∵P為的黃金分割點，AP＞PB，∴，∴；故答案為：．【點評】本題考查了黃金分割的定義，熟記黃金比是解題的關鍵15．如圖，在等邊三角形ABC中，AC＝4，E為AB的中點，在CB延長線上截取BD＝BE，將△DEB沿BC向右平移，點B的對應點為G，當平移后的△DEG和△ABC重疊部分的面積是△DEG面積的時，△DEB平移的距離為或6﹣．【分析】先求出BE＝BD＝2，∠BDE＝30°，再分兩種情況進行討論：①當DE與AB交于點F時，則，然后證△DBF和△DEG相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，由此得，進而得，據(jù)此可求出△DEB平移的距離；②當DE與AC交于點H時，則，過點G作GM⊥DE于點M，則，由此得，然后證△DCH和△DGM相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，由此得，進而得，據(jù)此可求出△DEB平移的距離．解：∵AB＝4，點E為AB的中點，BD＝BE，∴，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠ABD＝120°，又BD＝BE＝2，∴∠BDE＝30°，分兩種情況進行討論：①當DE與AB交于點F時，重疊部分為四邊形BFEG，如圖：∵重疊部分的面積是△DEG面積的，∴，由平移的性質(zhì)得：BF∥GE，GE＝DG＝2，∴△DBF∽△DEG，∵，∴，∴，∴，∴，∴△DEB平移的距離為；②當DE與AC交于點H時，重疊部分為△CDH，∴，過點G作GM⊥DE于點M，∵DG＝GE＝2，∴，∴，由平移的性質(zhì)得：∠GDE＝30°，又∵∠ACB＝60，∴∠CHD＝90°，即CH⊥DE，∴CH∥GM，∴△DCH∽△DGM，∵，∴，∴，∴，∴，∴BG＝BC+CG＝4+2﹣＝6﹣∴△DEB平移的距離為6﹣．綜上所述△DEB平移的距離為或6﹣．故答案為：或6﹣．【點評】此題主要考查了圖形的平移變換及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，解答此題的關鍵是熟練掌握圖形的平移變換及性質(zhì)，理解相似三角形面積之比等于相似比的平方，難點是分類討論思想、數(shù)形結合思想在解題中的應用．三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）16．解方程：（1）x（x﹣5）＝15﹣3x．（2）4（2x+1）2＝9（x﹣3）2．（3）3x2＝2（2﹣x）．【分析】（1）利用因式分解法即可求解；（2）利用因式分解法即可求解；（3）利用公式法即可求解．解：（1）移項，得：x2﹣2x﹣15＝0，分解因式，得（x﹣5）（x+3）＝0，即：x﹣5＝0或x+3＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣3．（2）移項得：4（2x+1）2﹣9（x﹣3）2＝0，因式分解得：[2（2x+1）+3（x﹣3）][2（2x+1）﹣3（x﹣3）]＝0，即：（7x﹣7）（x+11）＝0，即7x﹣7＝0或x+11＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣11．（3）方程整理得：3x2+2x﹣4＝0，∵a＝3，b＝2，c＝﹣4，∴Δ＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，∴，解得：，．【點評】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握因式分解法及公式法解一元二次方程是解題的關鍵．17．（1）計算：．（2）化簡：．【分析】（1）根據(jù)實數(shù)的混合運算、零次冪、負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則即可求解；（2）利用分式混合運算的法則進行計算即可．解：（1）原式＝＝；（2）＝＝＝＝．【點評】本題考查了實數(shù)的混合運算、零次冪、負整數(shù)指數(shù)冪、分式的化簡，熟練掌握其運算法則是解題的關鍵．18．如圖，已知A（﹣3，﹣3），B（﹣2，﹣1），C（﹣1，﹣2）是直角坐標平面上三點．（1）將△ABC先向右平移3個單位，再向上平移3個單位，畫出平移后的圖形△A1B1C1；（2）以點（0，2）為位似中心，位似比為2，將△A1B1C1放大，在y軸右側放大后的圖形△A2B2C2（3）填空：△A2B2C2面積為6．【分析】（1）分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1即可．（2）分別作出點A1，B1，C1的對應點A2，B2，C2即可．解：（1）平移后的圖形△A1B1C1如圖所示．（2）放大后的圖形△A2B2C2如圖所示．△A2B2C2面積＝4×4﹣×2×2﹣2××2×4＝6，故答案為6．【點評】本題考查作圖﹣位似變換，作圖﹣平移變換等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．19．已知關于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＞1）．（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2（其中x1＞x2），若y是關于m的函數(shù)，且y＝x1﹣x2，求y與m的函數(shù)關系式．【分析】（1）先計算判別式得到Δ＝（2m+1）2﹣4×2m，再根據(jù)非負數(shù)的意義及已知條件得到Δ＞0，然后根據(jù)判別式的意義得到方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）先解出方程的兩個根，x1＝2m，x2＝1，判定根的大小，代入原式即可．【解答】（1）證明：Δ＝（2m+1）2﹣4×2m＝4m2﹣4m+1＝（2m﹣1）2，∵m＞1，∴（2m﹣1）2＞0，即Δ＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：∵x2﹣（2m+1）x+2m＝0，∴（x﹣2m）（x﹣1）＝0，∴方程的兩個根分別為2m和1．∵m＞1，∴2m＞2．又x1＞x2，∴x1＝2m，x2＝1，∴y＝x1﹣x2＝2m﹣1．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式及一元二次方程的解法，解題的關鍵是掌握當b2﹣4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當b2﹣4ac＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當b2﹣4ac＜0時，方程沒有實數(shù)根．20．如圖，已知在△ABC中，D是邊AC上的一點，∠CBD的平分線交AC于點E，且AE＝AB．（1）求證：△ABD∽△ACB；（2）若AD＝4，CD＝3，求AE的長．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和外角等于不相鄰兩內(nèi)角和即可求得∠ABD＝∠C，可證△ABD∽△ACB；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得，將AD＝4，CD＝3代入可求解．【解答】（1）證明：∵BE平分∠DBC，∴∠DBE＝∠CBE，∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE，∠AEB＝∠C+∠CBE，∴∠C＝∠ABD，又∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB；（2）解：∵△ABD∽△ACB，∴，又∵AB＝AE，∴AE2＝AD?AC＝4?（4+3）＝28，∴AE＝2，故答案為：2．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，證明△ABD∽△ACB是本題的關鍵．21．如圖，小亮想利用樹影測量樹高AB，他在某一時刻測得高為1m的竹竿影長為1.2m，但當他馬上測量樹影時，因樹靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墻上，他先測得留在墻上的影高CD＝1.4m，又測得地面部分的影長BD＝4.8m，請你幫助小亮求樹高AB．【分析】先求出墻上的影高CD落在地面上時的長度，再設樹高為h，根據(jù)同一時刻物高與影長成正比列出關系式求出h的值即可．解：過D作DE∥BC交AB于點E，如圖所示：設墻上的影高CD落在地面上時的長度為xm，樹高為hm，∵某一時刻測得長為1m的竹竿影長為1.2m，墻上的影高CD為1.5m，∴＝，解得：x＝1.68（m），∴樹的影長為：1.68+4.8＝6.48（m），∴＝，解得：h＝5.4．答：樹高為5.4m．【點評】本題考查的是相似三角形的應用；解答此題的關鍵是正確求出樹的影長，這是此題的易錯點．22．山西平遙古城吸引著全國各地的游客前來游玩．某紀念品商店購進一批紀念品進行銷售，購進20個甲種紀念品和10個乙種紀念品共花費1100元，購進10個甲種紀念品和20個乙種紀念品共花費1300元．（1）求單個甲種紀念品和乙種紀念品的進價．（2）店員小麗追蹤乙商品銷售情況，發(fā)現(xiàn)當乙種紀念品售價為60元時，每天能賣出100件，每個乙紀念品每漲價1元，就少售出2件．某天商店將乙種紀念品漲價m元，且相關部門規(guī)定乙種紀念品售價不得超過75元，若當天銷售乙種紀念品獲得利潤1600元，求銷售乙種紀念品的數(shù)量．【分析】（1）設單個甲種紀念品的進價為x元，單個乙種紀念品的進價為y元，根據(jù)“購進20個甲種紀念品和10個乙種紀念品共花費1100元，購進10個甲種紀念品和20個乙種紀念品共花費1300元”，可列出關于x，y的二元一次方程組，解之可得出結論；（2）當商店將乙種紀念品漲價m元時，每個乙種紀念品的銷售利潤為（60+m﹣50）元，每天能賣出（100﹣2m）個，利用總利潤＝每個的銷售利潤×日銷售量，可列出關于m的一元二次方程，解之可得出m的值，將其符合題意的值代入（100﹣2m）中，即可求出結論．解：（1）設單個甲種紀念品的進價為x元，單個乙種紀念品的進價為y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：單個甲種紀念品的進價為30元，單個乙種紀念品的進價為50元；（2）當商店將乙種紀念品漲價m元時，每個乙種紀念品的銷售利潤為（60+m﹣50）元，每天能賣出（100﹣2m）個，根據(jù)題意得：（60+m﹣50）（100﹣2m）＝1600，整理得：m2﹣40m+300＝0，解得：m1＝10，m2＝30，當m＝10時，60+m＝60+10＝70＜75，符合題意，此時100﹣2m＝100﹣2×10＝80；當m＝30時，60+m＝60+30＝90＞75，不符合題意，舍去．答：當天銷售乙種紀念品的數(shù)量為80個．【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及二元一次方程組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程．23．在探索平面圖形