高中數(shù)學(xué)-排列組合及二項(xiàng)式定理-知識點(diǎn)和練習(xí)

排列組合及二項(xiàng)式定理【基本知識點(diǎn)】1.分類計(jì)數(shù)和分步計(jì)數(shù)原理的概念2．排列的概念：從個不同元素中，任取（）個元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列3．排列數(shù)的定義：從個不同元素中，任取（）個元素的所有排列的個數(shù)叫做從個元素中取出元素的排列數(shù)，用符號表示4．排列數(shù)公式：（）5.階乘：表示正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘規(guī)定．6．排列數(shù)的另一個計(jì)算公式：=7.組合概念：從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合8．組合數(shù)的概念：從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)．用符號表示．9.組合數(shù)公式：或10.組合數(shù)的性質(zhì)1：．規(guī)定：；11.組合數(shù)的性質(zhì)2：＝+Cn0+Cn1+…+Cnn=2n12.二項(xiàng)式展開公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn13．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：展開式的二項(xiàng)式系數(shù)是，，，…，．可以看成以為自變量的函數(shù)，定義域是，（1）對稱性．與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等（∵）．（2）增減性與最大值：當(dāng)是偶數(shù)時，中間一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)是奇數(shù)時，中間兩項(xiàng)，取得最大值．（3）各二項(xiàng)式系數(shù)和：∵，令，則【常見考點(diǎn)】一、可重復(fù)的排列求冪法：重復(fù)排列問題要區(qū)分兩類元素：一類可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，則通過“住店法”可順利解題，在這類問題使用住店處理的策略中，關(guān)鍵是在正確判斷哪個底數(shù)，哪個是指數(shù)（1）有4名學(xué)生報(bào)名參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽，每人限報(bào)一科，有多少種不同的報(bào)名方法？（2）有4名學(xué)生參加爭奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競賽冠軍，有多少種不同的結(jié)果？（3）將3封不同的信投入4個不同的郵筒，則有多少種不同投法？【解析】：（1）（2）（3）二．相鄰問題捆綁法：題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當(dāng)作一個大元素參與排列.高☆考♂資♀源€網(wǎng)☆（4）五人并排站成一排，如果必須相鄰且在的右邊，那么不同的排法種數(shù)有【解析】：把視為一人，且固定在的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，種（5）3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（）A.360B.188C.216D.96【解析】：間接法6位同學(xué)站成一排，3位女生中有且只有兩位女生相鄰的排法有，種高☆考♂資♀源€網(wǎng)☆其中男生甲站兩端的有，符合條件的排法故共有288三．相離問題插空法：元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.（6）七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是【解析】：除甲乙外，其余5個排列數(shù)為種，再用甲乙去插6個空位有種，不同的排法種數(shù)是種（7）書架上某層有6本書，新買3本插進(jìn)去，要保持原有6本書的順序，有種不同的插法（具體數(shù)字作答）【解析】：（8）馬路上有編號為1，2，3…，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？【解析】：把此問題當(dāng)作一個排對模型，在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的燈種方法,所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種.四．元素分析法（位置分析法）：某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元素；再排其它的元素。（9）2010年廣州亞運(yùn)會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有（）高☆考♂資♀源€網(wǎng)☆A(yù).36種B.12種C.18種D.48種【解析】：方法一：從后兩項(xiàng)工作出發(fā)，采取位置分析法。方法二：分兩類：若小張或小趙入選，則有選法；若小張、小趙都入選，則有(3)若恰用五種顏色染色，有種染色法高☆考♂資♀源€網(wǎng)☆綜上所知，滿足題意的染色方法數(shù)為60+240+120=420種。【答案】420.十二．幾何中的排列組合問題:（24）已知直線（是非零常數(shù)）與圓有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線共有條【解析】：

圓上的整點(diǎn)有：12個其中關(guān)于原點(diǎn)對稱的有4條不滿則條件切線有，其中平行于坐標(biāo)軸的有14條不滿則條件66-4+12-14=60答案:60【練習(xí)】1、4位同學(xué)每人從甲、乙、丙3門課程中選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同選法共有（A）12種（B）24種（C）30種（D）36種【解析】分兩類：取出的1本畫冊，3本集郵冊，此時贈送方法有種；取出的2本畫冊，2本集郵冊，此時贈送方法有種?？偟馁浰头椒ㄓ蟹N?！敬鸢浮緽2、正五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對角線，那么一個正五棱柱對角線的條數(shù)共有（） A．20 B．15 C．12 D．10【解析】先從5個側(cè)面中任意選一個側(cè)面有種選法，再從這個側(cè)面的4個頂點(diǎn)中任意選一個頂點(diǎn)有種選法，由于不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對角線，所以除去這個側(cè)面上、相鄰側(cè)面和同一底面上的共8個點(diǎn)，還剩下2個點(diǎn)，把這個點(diǎn)和剩下的兩個點(diǎn)連線有種方法，但是在這樣處理的過程中剛好每一條對角線重復(fù)了一次，所以最后還要乘以所以這個正五棱柱對角線的條數(shù)共有,所以選擇A.3、的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】：令，于是展開式中的常數(shù)項(xiàng)是故選C4、已知的展開式中的系數(shù)與的展開式中的系數(shù)相等，則．【答案】解：的通項(xiàng)為，，∴的展開式中的系數(shù)是,的通項(xiàng)為，，∴的展開式中的系數(shù)是∴，.5、已知（是正整數(shù)）的展開式中，的系數(shù)小于120，則．【解析】按二項(xiàng)式定理展開的通項(xiàng)為，我們知道的系數(shù)為，即，也即，而是正整數(shù)，故只能取1。答案47、已知，則=-8．8、對任意的實(shí)數(shù)，有，則的值是（B）A．3B．6C．9D．219、設(shè)是的一個排列，把排在的左邊且比小的數(shù)的個數(shù)稱為的順序數(shù)（）．如：在排列6，4，5，3，2，1中，5的順序數(shù)為1，3的順序數(shù)為0．則在1至8這八個數(shù)字構(gòu)成的全排列中，同時滿足8的順序數(shù)為2，7的順序數(shù)為3，5的順序數(shù)為3的不同排列的種數(shù)為(C)A．48B．96C．144D．19210、若一個三位數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱這個數(shù)為“傘數(shù)”．現(xiàn)從1,2,3,4,5,6這六個數(shù)字中任取3個數(shù)，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中“傘數(shù)”有A.120個B.80個C.40個D.20個【答案】C11、現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有A．24種B．30種C．36種D．48種【答案】D12、如果一條直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點(diǎn)確定的直線與含有四個頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是（）A．24B．30C．36D．42【答案】C13.從8名女生4名男生中，選出3名學(xué)生組成課外小組，如果按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為;【答案】11214、現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（）種.（A）

（B）

（C）

（D）誤解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有種排法，5人排好后產(chǎn)生6個空檔，插入甲、乙、丙三人有種方法，這樣共有種排法，選A.錯因分析：誤解中沒有理解“甲、乙、丙三人不能相鄰”的含義，得到的結(jié)果是“甲、乙、丙三人互不相鄰”的情況.“甲、乙、丙三人不能相鄰”是指甲、乙、丙三人不能同時相鄰，但允許其中有兩人相鄰.正解：在8個人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù)，就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數(shù)，即，故選B.15、高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進(jìn)行社會實(shí)踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（）.（A）16種（B）18種（C）37種（D）48種誤解：甲工廠先派一個班去，有3種選派方法，剩下的2個班均有4種選擇，這樣共有種方案.錯因分析：顯然這里有重復(fù)計(jì)算.如