專題07 函數(shù)的應(yīng)用（二）【解析版】

專題07函數(shù)的應(yīng)用（二）專題07函數(shù)的應(yīng)用（二）(1)定義：對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．(2)幾何意義：函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．(3)結(jié)論：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)二、函數(shù)零點(diǎn)的判定定理?xiàng)l件結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上y＝f(x)在(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(1)圖象是連續(xù)不斷的曲線(2)f(a)f(b)＜0三、二分法的定義對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．四、判斷函數(shù)y＝f(x)是否存在零點(diǎn)的方法(1)方程法：判斷方程f(x)＝0是否有實(shí)數(shù)解．(2)圖象法：判斷函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸是否有交點(diǎn)．(3)定理法：利用零點(diǎn)的判定定理來(lái)判斷．五、有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的三個(gè)結(jié)論(1)若y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不斷，且有f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y＝f(x)一定有零點(diǎn)．(2)f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件．(3)若函數(shù)f(x)在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，且f(x)的圖象連續(xù)不斷，則f(a)·f(b)<0?函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上只有一個(gè)零點(diǎn)．六、指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用f(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，b＞0，b≠1)對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用f(x)＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，m≠0，a＞0，a≠1)函數(shù)模型的應(yīng)用題型01：求函數(shù)的零點(diǎn)【典例1】（2023上·浙江溫州·高一浙江省平陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考期中）若不等式的解集為，則函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A．和 B．和 C．2和 D．和【答案】D【分析】根據(jù)一元二次不等式的解與一元二次方程根之間的關(guān)系求解，然后根據(jù)零點(diǎn)的定義求解即可.【詳解】因?yàn)榈慕饧癁?，所以方程的兩根分別為和2，且，則，解得，故函數(shù)，則與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，所以零點(diǎn)為和.故選：D.【典例2】（2023上·吉林長(zhǎng)春·高一汽車區(qū)第三中學(xué)?？计谥校┮阎牧泓c(diǎn)為1和3，則．【答案】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)榈牧泓c(diǎn)為1和3，即的兩根為1和3，所以，解得，所以，故答案為：【規(guī)律方法】函數(shù)零點(diǎn)的求法：(1)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根．(2)幾何法：與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來(lái)，圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)．題型02：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求解析式中的參數(shù)【典例3】（2023下·湖南株洲·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)的零點(diǎn)是2，則【答案】3【分析】由列式求解．【詳解】由題意得，解得，故答案為：3【典例4】（2022上·廣東佛山·高一校聯(lián)考期中）已知二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和1，且有最小值.則的解析式為.【答案】【分析】根據(jù)待定系數(shù)法可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槎魏瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和1，所以可設(shè)，又因?yàn)橛凶钚≈?，所以，因?yàn)?，所以，所以?故答案為：題型03：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)判斷函數(shù)值的符號(hào)【典例5】（2021上·河南濮陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知是函數(shù)的零點(diǎn)，若，則（

）A． B．C． D．的符號(hào)不確定【答案】B【解析】根據(jù)題意判斷得函數(shù)的定義域，分析函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)零點(diǎn)的定義可得，利用單調(diào)性即可判斷出.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，已知函?shù)，，在上是減函數(shù)，所以可判斷函數(shù)在上是減函數(shù)，又因?yàn)槭呛瘮?shù)的零點(diǎn)，即，根據(jù)單調(diào)性可得，當(dāng)，.故選：B.【典例6】（2018上·北京海淀·高一北京市十一學(xué)校?？计谥校┮阎呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知得出，分析出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可判斷出、的符號(hào).【詳解】由于函數(shù)、在上均為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，，?故選：B.題型04：零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用【典例7】（2023上·北京西城·高一北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）已知函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，并且是上的增函數(shù)，有如下的對(duì)應(yīng)值表x1234y以下說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C．函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn) D．函數(shù)可能無(wú)零點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)判斷AB；利用零點(diǎn)存在性定理判斷CD.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以，正確；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，正確；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，且，即，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)在區(qū)間的零點(diǎn)，正確；對(duì)于D，因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)，且，即，所以函數(shù)在區(qū)間上一定存在零點(diǎn)，錯(cuò)誤，故選：D.【典例8】（2023上·山東日照·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)的圖象在區(qū)間上連續(xù)不斷，則“”是“在上存在零點(diǎn)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)“”和“在上存在零點(diǎn)”的互相推出關(guān)系進(jìn)行判斷屬于何種條件.【詳解】當(dāng)在上存在零點(diǎn)時(shí)，不一定能得到，例如，此時(shí)的零點(diǎn)為，但，所以必要性不滿足；當(dāng)時(shí)，若三個(gè)值中存在，則在上顯然存在零點(diǎn)，若三個(gè)值均不為，不妨假設(shè)，因?yàn)?，所以，取等?hào)時(shí)不滿足條件，所以，則，根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理可知在上存在零點(diǎn)，所以充分性滿足；所以“”是“在上存在零點(diǎn)”的充分不必要條件，故選：A.題型05：根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)【典例9】（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)存在1個(gè)零點(diǎn)位于內(nèi)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應(yīng)用零點(diǎn)存在定理結(jié)合函數(shù)單調(diào)性列不等式求解即可.【詳解】若函數(shù)存在1個(gè)零點(diǎn)位于內(nèi)，單調(diào)遞增,又因?yàn)榱泓c(diǎn)存在定理，.故選：A.【典例10】（2022上·山東棗莊·高一棗莊市第三中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)在上存在零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，在根據(jù)零點(diǎn)情況，結(jié)合端點(diǎn)值的正負(fù)，列式求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】為增函數(shù)減函數(shù)=增函數(shù)，若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則且，解得：.故答案為：【規(guī)律方法】利用零點(diǎn)存在性定理，結(jié)合給定區(qū)間建立不等式．題型06：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍【典例11】（2023下·江蘇鹽城·高一江蘇省響水中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，若函數(shù)有五個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)的范圍，又即可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，共有四個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖像即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，則或，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，則，故問(wèn)題轉(zhuǎn)為，共有四個(gè)零點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)圖像如下可知：則，故答案為：【典例12】（2022上·浙江臺(tái)州·高一臺(tái)州一中校考開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，若二次函數(shù)的圖像與線段有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】或【分析】結(jié)合零點(diǎn)存在定理以及判別式，分成兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)二次函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)；②當(dāng)二次函數(shù)與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí).【詳解】①當(dāng)二次函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，如圖1，因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖像與線段有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，所以，解得.由，得，此時(shí)，符合題意.由，得，此時(shí)，不符合題意.所以.②當(dāng)二次函數(shù)與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，如圖2，令，由得，當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意.綜上，的取值范圍是或.故答案為：或.【規(guī)律方法】已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，這時(shí)圖形一定要準(zhǔn)確，這種數(shù)形結(jié)合的方法能夠幫助我們直觀解題．題型07：根據(jù)一次函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍【典例13】（2020·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則（

）A． B． C．或 D．【答案】C【解析】首先判斷函數(shù)在上單調(diào)，利用零點(diǎn)存在性定理即可求解.【詳解】∵在區(qū)間上單調(diào)且存在零點(diǎn)，∴，∴或．故選：C【典例14】（2020上·高一課時(shí)練習(xí)）若方程的根在內(nèi)，則的取值范圍是．【答案】【分析】設(shè)，利用零點(diǎn)存在定理可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，解得：，即的取值范圍為.故答案為：.【總結(jié)提升】利用零點(diǎn)存在定理構(gòu)造不等式.題型08：根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍【典例15】（2023上·北京石景山·高一?？计谥校┤絷P(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)實(shí)根小于1，另一個(gè)實(shí)根大于2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根的分布，結(jié)合已知作出對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖象，列出不等式，求解即可得出答案.【詳解】設(shè)，根據(jù)已知結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，作圖則有，解得.故選：C.【典例16】【多選題】（2023上·山東德州·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)在有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則可以為（

）A． B．3 C． D．4【答案】BD【分析】根據(jù)將原函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為在只有一解，利用冪函數(shù)性質(zhì)求解范圍即可判斷.【詳解】因?yàn)?，所以為函?shù)的零點(diǎn)，所以函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)，且，則即在只有一解，因?yàn)?，所以，?duì)照選項(xiàng)，，，故只有選項(xiàng)BD符合題意.故選：BD【總結(jié)提升】結(jié)合二次函數(shù)的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、單調(diào)性等，利用零點(diǎn)存在定理構(gòu)造不等式.題型09：根據(jù)冪、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)（范圍）【典例17】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間，列出相應(yīng)不等式，即可求得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)得，解得，故選：A【典例18】（2020上·陜西渭南·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)位于區(qū)間內(nèi)，則.【答案】2【分析】利用函數(shù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，易知，而，所以,根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，所以可得.故答案為：【總結(jié)提升】注意結(jié)合冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及圖像，依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理建立不等式.題型10：函數(shù)與方程的綜合問(wèn)題【典例19】（2022下·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)郡中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)新定義求出函數(shù)解析式，畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用轉(zhuǎn)化的思想將方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想即可得出的范圍.【詳解】由題意得：，得：，，由，得：，作出函數(shù)的圖像如圖所示，由方程有個(gè)不等的根，得函數(shù)的圖像與直線有個(gè)不同交點(diǎn)，所以的取值范圍為：.【典例20】（2023上·北京大興·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)，對(duì)于任意正數(shù)k，關(guān)于x的方程都恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）請(qǐng)判斷是否符合題意：（填“是”或者“否”）；（2）寫(xiě)出a的所有可能取值：．【答案】否1【分析】（1）將有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為的圖象與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，然后結(jié)合圖象判斷即可；（2）分和兩種情況討論即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，圖象如下所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根不成立，所以不符合題意；（2）當(dāng)時(shí)，，圖象如下所示：所以在單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，圖象如下所示：所以在，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，無(wú)解，綜上所述，.故答案為：否；1.題型11：求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)【典例21】（2023上·北京·高一北京十四中?？计谥校┖瘮?shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】令求出方程的解，即可判斷.【詳解】令，即，解得，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).故選：B【典例22】（2023上·湖北·高一湖北省天門(mén)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，方程的根的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)題意，畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，將方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合圖象，即可得到結(jié)果.【詳解】

設(shè)，則，即，故，因?yàn)?，故，?huà)出的大致圖象，由圖象可知與共有6個(gè)公共點(diǎn)，故原方程共有6個(gè)根.故選：D.【規(guī)律方法】判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的主要方法：(1)利用方程根，轉(zhuǎn)化為解方程，有幾個(gè)根就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)畫(huà)出函數(shù)y＝f(x)的圖象，判定它與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(3)結(jié)合單調(diào)性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(4)轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題．題型12：判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間【典例23】（2022上·吉林·高一?？计谀┖瘮?shù)的零點(diǎn)一定位于下列哪個(gè)區(qū)間（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行分析判斷即可.【詳解】在上為單調(diào)遞增函數(shù)，又，故，所以的零點(diǎn)一定在內(nèi).故選：B.【典例24】（2023上·北京西城·高一北師大二附中?？计谥校┖瘮?shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用轉(zhuǎn)化法，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行判斷即可.【詳解】函數(shù)和函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)圖象如下圖所示：一方面，另一方面根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想可以判斷兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)只有一個(gè)，故選：B題型13：比較函數(shù)零點(diǎn)的大小【典例25】（2023上·廣東江門(mén)·高一統(tǒng)考期末）已知，，的零點(diǎn)分別是，，，則，，的大小順序是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將函數(shù)的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象分別與函數(shù)、、的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用數(shù)形結(jié)合法求解．【詳解】解：函數(shù)，，的零點(diǎn)，即為函數(shù)分別與函數(shù)、、的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖所示：由圖可得.故選：B【典例26】【多選題】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，且，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)零點(diǎn)的性質(zhì)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)求交點(diǎn)問(wèn)題，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及對(duì)數(shù)運(yùn)算以及單調(diào)性，可得答案.【詳解】函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)即函數(shù)與的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如下圖：則，，即，，故D錯(cuò)誤；由圖可知，且，，則，由，，則，即，可得，即，故A、C正確，B錯(cuò)誤.故選：AC.題型14：求函數(shù)零點(diǎn)的和【典例27】（2023上·重慶·高一重慶十八中?？计谥校┒x在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則方程所有的根之和為（

）A．10 B．18C．22 D．26【答案】B【分析】由題意可知函數(shù)關(guān)于成軸對(duì)稱且又關(guān)于成中心對(duì)稱，分別畫(huà)出函數(shù)與函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的圖象，利用交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于對(duì)稱即可求得所有根之和為.【詳解】根據(jù)題意由可知，函數(shù)關(guān)于成軸對(duì)稱，由可知函數(shù)關(guān)于成中心對(duì)稱，由可得；分別畫(huà)出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：顯然兩函數(shù)圖象都過(guò)，且都關(guān)于成中心對(duì)稱，易知當(dāng)時(shí)，，所以兩函數(shù)圖象在兩側(cè)各有4個(gè)交點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱的兩根之和為4，所以可得所有的根之和為.故選：B【典例28】（2023上·遼寧沈陽(yáng)·高一遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，則的所有零點(diǎn)之和為（

）A． B． C． D．0【答案】A【分析】先由為奇函數(shù)，推出關(guān)于對(duì)稱，則，進(jìn)而求出的解析式，則的解析式可求，解出根即可.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以關(guān)于對(duì)稱，則關(guān)于對(duì)稱，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，所以，則，因?yàn)?，則或，解得或，所以.故選：A【總結(jié)提升】注意應(yīng)用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性，結(jié)合函數(shù)的圖像判斷零點(diǎn)的特征.題型15：嵌套函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題【典例29】（2023上·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（

）A．0 B．3 C．10 D．13【答案】D【分析】令，根據(jù)，求得或，再根據(jù)和，結(jié)合分段函數(shù)的解析式，即可求解.【詳解】令，由得或，所以或，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，則或，解得，所以函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為.故選：D.【典例30】（2023上·遼寧大連·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，若函數(shù)，且函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】【分析】作出函數(shù)的圖象，函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以與有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象求解即可.【詳解】解：作出函數(shù)的圖象如下：，且函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有5個(gè)解，等價(jià)于或共有5個(gè)解等價(jià)于函數(shù)與，共有5個(gè)交點(diǎn)，由圖可得與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以與有三個(gè)交點(diǎn)則直線應(yīng)位于，之間，或與重合，所以或或故答案為：【總結(jié)提升】函數(shù)的零點(diǎn)是高考命題的熱點(diǎn)，主要涉及判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或范圍，?？疾槿魏瘮?shù)與復(fù)合函數(shù)相關(guān)零點(diǎn)，與函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)問(wèn)題交匯．對(duì)于嵌套函數(shù)的零點(diǎn)，通常先“換元解套”，將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解.(1)換元解套，轉(zhuǎn)化為t＝g(x)與y＝f(t)的零點(diǎn)．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判斷圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．2．抓住兩點(diǎn)：(1)轉(zhuǎn)化換元．(2)充分利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)．題型16：二分法及其應(yīng)用【典例31】（2023上·遼寧沈陽(yáng)·高一遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)有零點(diǎn)，用二分法求零點(diǎn)的近似值（精確度0.1）時(shí)，至少需要進(jìn)行（

）次函數(shù)值的計(jì)算．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】取區(qū)間的中點(diǎn)，利用零點(diǎn)的存在性定理判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間，并比較區(qū)間的長(zhǎng)度與精確度的大小，直到符合要求為止．【詳解】至少需要進(jìn)行3次函數(shù)值的計(jì)算，理由如下：，，取區(qū)間的中點(diǎn)，且，所以.，取區(qū)間的中點(diǎn)，且，所以.，取區(qū)間的中點(diǎn)，且，所以.因?yàn)?，所以區(qū)間的中點(diǎn)，即為零點(diǎn)的近似值，即函數(shù)的零點(diǎn)，所以至少需進(jìn)行3次函數(shù)值的計(jì)算.故選：B.【典例32】（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）若用二分法求方程在初始區(qū)間內(nèi)的近似解，則第三次取區(qū)間的中點(diǎn).【答案】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理及二分法求解即可.【詳解】設(shè)，則，，∴第一次取區(qū)間的中點(diǎn)，，∴，∴的零點(diǎn)所在的區(qū)間為，∴第二次取區(qū)間的中點(diǎn)，，∴，∴的零點(diǎn)所在的區(qū)間為，∴第三次取區(qū)間的中點(diǎn).故答案為：.題型17：指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用【典例33】（2023上·四川成都·高一?？计谥校┘冸妱?dòng)汽車是以車載電源為動(dòng)力，用電機(jī)驅(qū)動(dòng)車輪行駛．研究發(fā)現(xiàn)電池的容量隨放電電流的大小而改變，1898年P(guān)eukert提出鉛酸電池的容量C、放電時(shí)間t和放電電流I之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：，其中為與蓄電池結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)（稱為Peukert常數(shù)），在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流為15A時(shí)，放電時(shí)間為30h；當(dāng)放電電流為50A時(shí)，放電時(shí)間為7.5h，則該蓄電池的Peukert常數(shù)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，再結(jié)合對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化及對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得，兩式相除可得，所以，可得.故選：B.【典例34】（2023上·陜西西安·高一高新一中?？计谥校┤缃裎覈?guó)物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進(jìn)了社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和資源整合．已知某類果蔬的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度x（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系（a，b為常數(shù)），若該果蔬在6℃的保鮮時(shí)間為216小時(shí)，在24℃的保鮮時(shí)間為8小時(shí)，那么在12℃時(shí)，該果蔬的保鮮時(shí)間為（

）A．16小時(shí) B．24小時(shí) C．36小時(shí) D．72小時(shí)【答案】D【分析】根據(jù)給定條件求出解析式，再將代入求值即可.【詳解】由題設(shè)，，所以時(shí)，，此時(shí)小時(shí).故選：D【總結(jié)提升】在函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題考查中，對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的考查已成為高頻熱點(diǎn)，既能與現(xiàn)代科技活動(dòng)、科技成果結(jié)合，又能較好的考察學(xué)生的運(yùn)算能力，也能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的濃厚興趣.題型18：對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用【典例35】和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足關(guān)系式.已知某學(xué)生視力用五分記錄法記錄的數(shù)據(jù)為4.8，則其視力用小數(shù)記錄法記錄的數(shù)據(jù)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】B【分析】根據(jù)表達(dá)式，代入，結(jié)合指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，即可求解.【詳解】由題意知：，當(dāng)時(shí)，可得，解得，即，所以其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為.故選：B.【典例36】（2023上·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末）香農(nóng)公式是被廣泛公認(rèn)的通信理論基礎(chǔ)和研究依據(jù)，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大數(shù)據(jù)傳輸速率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比．根據(jù)香農(nóng)公式，若當(dāng)，時(shí)，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為；當(dāng)，時(shí)，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)新定義結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算求解即可【詳解】由題意可知，故選：C.題型19：函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異【典例37】（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)中隨x的增大而增大且速度最快的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)，一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)率的快慢，分析可得答案．【詳解】函數(shù)，函數(shù)值隨x的增大而減小，當(dāng)函數(shù)值隨x的增大而增大時(shí)，在對(duì)數(shù)函數(shù)，一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度最快，如圖所示，即四個(gè)函數(shù)中，隨x的增大而增大且速度最快的是是.故選：A【典例38】（2023上·廣東惠州·高一惠州一中?？计谥校╇S著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，越來(lái)越多的家庭開(kāi)始關(guān)注到家庭成員的關(guān)系，一個(gè)以“從心定義家庭關(guān)系”為主題的應(yīng)用心理學(xué)的學(xué)習(xí)平臺(tái)，從建立起，得到了很多人的關(guān)注，也有越來(lái)越多的人成為平臺(tái)的會(huì)員，主動(dòng)在平臺(tái)上進(jìn)行學(xué)習(xí)，已知前3年平臺(tái)會(huì)員的個(gè)數(shù)如下表所示（其中第4年為預(yù)估人數(shù)，僅供參考）：建立平臺(tái)第年1234會(huì)員個(gè)數(shù)（千人）14202943(1)依據(jù)表中數(shù)據(jù)，從下列三種模型中選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)哪Ｐ凸浪憬⑵脚_(tái)年后平臺(tái)會(huì)員人數(shù)（千人），并求出你選擇模型的解析式：①，②，③(2)為控制平臺(tái)會(huì)員人數(shù)盲目擴(kuò)大，平臺(tái)規(guī)定會(huì)員人數(shù)不得超過(guò)千人，依據(jù)（1）中你選擇的函數(shù)模型求的最小值.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知函數(shù)遞增且增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，故選擇模型③；代入表格中三個(gè)點(diǎn)即可構(gòu)造方程組求得未知數(shù)，進(jìn)而得到所求模型；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可將不等式整理為對(duì)恒成立，采用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得的最大值，進(jìn)而得到的取值范圍，從而得到結(jié)果.【詳解】（1）從表格數(shù)據(jù)可以得知，函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)，故不可能是①，函數(shù)增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快，選擇③（且）代入表格中的三個(gè)點(diǎn)可得：，解得：，.（2）由（1）可知：，故不等式對(duì)恒成立，對(duì)恒成立，令，則，，，在單調(diào)遞增，則，.【總結(jié)提升】函數(shù)模型的增長(zhǎng)規(guī)律：(1)對(duì)于冪函數(shù)y＝xn，當(dāng)x＞0，n＞0時(shí)，y＝xn才是增函數(shù)，當(dāng)n越大時(shí)，增長(zhǎng)速度越快．(2)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的遞增前提是a＞1，又它們的圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱，從而可知，當(dāng)a越大，y＝ax增長(zhǎng)越快；當(dāng)a越小，y＝logax增長(zhǎng)越快，一般來(lái)說(shuō)，ax＞logax(x＞0，a＞1)．(3)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)，當(dāng)x＞0，n＞0，a＞1時(shí)，可能開(kāi)始時(shí)有xn＞ax，但因指數(shù)函數(shù)是爆炸型函數(shù)，當(dāng)x大于某一個(gè)確定值x0后，就一定有ax＞xn.一、選擇題：1．（2023上·重慶九龍坡·高一重慶市楊家坪中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷出在上是增函數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理列不等式可求a的范圍.【詳解】和在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，只需即可，即，解得．故選：B.2．（2015·吉林·高一吉林毓文中學(xué)?？计谥校┰O(shè)x0是函數(shù)的零點(diǎn)，若，則的值滿足（

）A． B．C． D．的符號(hào)不確定【答案】C【分析】先判斷函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，進(jìn)而可得當(dāng)時(shí)．【詳解】∵x0是函數(shù)的零點(diǎn)，∴，因?yàn)槭菃握{(diào)遞減函數(shù)，是單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，則，故選：C．3.（2023上·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）涼山州地處川西南橫斷山系東北緣，地質(zhì)構(gòu)造復(fù)雜，時(shí)常發(fā)生有一定危害程度的地震，盡管目前我們還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過(guò)多年研究，已經(jīng)對(duì)地震有了越來(lái)越清晰的認(rèn)識(shí)與了解．例如：地震時(shí)釋放出的能量（單位：）與地震里氏震級(jí)之間的關(guān)系為，年月日，我州會(huì)理市發(fā)生里氏級(jí)地震，它所釋放出來(lái)的能量是年年初云南省麗江市寧蒗縣發(fā)生的里氏級(jí)地震所釋放能量的約多少倍（

）A．倍 C．倍 【答案】A【分析】設(shè)里氏級(jí)、級(jí)地震所釋放的能量分別為、，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化可求得的值.【詳解】設(shè)里氏級(jí)、級(jí)地震所釋放的能量分別為、，則，上述兩個(gè)等式作差可得，則，故.故選：A.4.（2023上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高一?？计谥校┭芯堪l(fā)現(xiàn)，X射線放射儀在使用時(shí)，其發(fā)射器發(fā)出的射線強(qiáng)度、接收器探測(cè)的射線強(qiáng)度與射線穿透的介質(zhì)厚度（單位：毫米）滿足關(guān)系式，其中正實(shí)數(shù)為該種介質(zhì)的吸收常數(shù)．工作人員在測(cè)試某X射線放射儀時(shí)，向發(fā)射器與接收器之間插入了厚5毫米的金屬板，發(fā)現(xiàn)接收器探測(cè)到的射線強(qiáng)度比插入金屬板前下降了90%．現(xiàn)想讓接收器探測(cè)到的射線強(qiáng)度會(huì)比插入金屬板前下降%．則需要向發(fā)射器與接收器之間插入金屬板的厚度至少為（

）A．毫米 B．毫米 C．毫米 D．毫米【答案】D【分析】先根據(jù)題意得到，求出，從而得到比插入金屬板前下降%時(shí)，，得到答案.【詳解】向發(fā)射器與接收器之間插入了厚5毫米的金屬板，發(fā)現(xiàn)接收器探測(cè)到的射線強(qiáng)度比插入金屬板前下降了%，則，有，接收器探測(cè)到的射線強(qiáng)度會(huì)比插入金屬板前下降%時(shí)，，解得.則需要向發(fā)射器與接收器之間插入金屬板的厚度至少為毫米.故選：D5．（2023上·山東濱州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)分別是a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷a，b，c所在區(qū)間作答.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上都單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上都單調(diào)遞減，在上最多一個(gè)零點(diǎn)，，即有，，則，而，即，所以.故選：A6．（2023上·福建福州·高一福建省福州屏東中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)和，定義運(yùn)算“”：，設(shè)，且關(guān)于的方程恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)代數(shù)式和之間的大小關(guān)系，結(jié)合題中所給的定義，用分段函數(shù)的形式表示函數(shù)的解析式，畫(huà)出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.【詳解】由可得，由可得，所以根據(jù)題意得，即，做出函數(shù)的圖像如圖，當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值