第一節(jié)　隨機(jī)抽樣與用樣本估計總體

第九章|

統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析第一節(jié)隨機(jī)抽樣與用樣本估計總體1.了解總體、樣本、樣本量的概念及數(shù)據(jù)的隨機(jī)性.2.掌握簡單隨機(jī)抽樣及分層隨機(jī)抽樣，能根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)，設(shè)計恰當(dāng)?shù)某闃臃椒?，解決實(shí)際問題.3.能根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化描述.4.理解集中趨勢參數(shù)、離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義；能用樣本估計總體的取值規(guī)律；理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義.1．簡單隨機(jī)抽樣放回簡單隨機(jī)抽樣和不放回簡單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機(jī)抽樣．除非特殊聲明，所稱的簡單隨機(jī)抽樣指不放回簡單隨機(jī)抽樣．(1)抽取方式：逐個不放回抽取；(2)特點(diǎn)：每個個體被抽到的概率相等；(3)常用方法：抽簽法和

．隨機(jī)數(shù)法2．分層隨機(jī)抽樣(1)定義：一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨(dú)立地進(jìn)行_________抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本_________作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個子總體稱為層．(2)比例分配：在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層_______都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配．簡單隨機(jī)合在一起樣本量3．作頻率分布直方圖的步驟(1)求_____

(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)；(2)決定組距與組數(shù)；(3)將_____分組；(4)列頻率分布表；(5)畫頻率分布直方圖．極差數(shù)據(jù)4．其他統(tǒng)計圖表統(tǒng)計圖表主要應(yīng)用扇形圖直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的_____條形圖和直方圖直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率折線圖描述數(shù)據(jù)隨_____的變化趨勢比例時間5.樣本的數(shù)字特征(1)簡單隨機(jī)抽樣和分層隨機(jī)抽樣在抽樣過程中每個個體被抽取的機(jī)會相等，分層隨機(jī)抽樣中各層抽樣時采用簡單隨機(jī)抽樣．(2)利用分層隨機(jī)抽樣要注意按比例抽取，若各層應(yīng)抽取的個體數(shù)不都是整數(shù)，則應(yīng)當(dāng)調(diào)整各層容量，即先剔除各層中“多余”的個體．1．已知一組數(shù)據(jù)為20,30,40,50,50,60,70,80，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的大小關(guān)系是

(

)A．平均數(shù)>中位數(shù)>眾數(shù)B．平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)C．中位數(shù)<眾數(shù)<平均數(shù)D．平均數(shù)＝中位數(shù)＝眾數(shù)答案：D2．(人教A版必修第二冊P197·T1改編)如圖是60名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽的成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖，估計這次數(shù)學(xué)競賽的及格率是

(

)A．75% B．25%C．15% D．40%答案：A3．某款具有社交屬性的健身APP，致力于提供健身教學(xué)、跑步、騎行、交友及健身飲食指導(dǎo)、裝備購買等一站式運(yùn)動解決方案．可以讓你隨時隨地進(jìn)行鍛煉，記錄你每天的訓(xùn)練進(jìn)程．不僅如此，它還可以根據(jù)不同人的體質(zhì)，制定不同的健身計劃．小明根據(jù)該APP記錄的2021年1月至2021年11月期間每月跑步的里程(單位：十公里)數(shù)據(jù)整理并繪制了下面的折線圖．根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是

(

)A．月跑步里程的最小值出現(xiàn)在2月B．月跑步里程逐月增加C．月跑步里程的中位數(shù)為5月份對應(yīng)的里程數(shù)D．1月至5月的月跑步里程相對于6月至11月波動性更小解析：由折線圖可知，月跑步里程的最小值出現(xiàn)在2月，故A正確；月跑步里程不是逐月增加的，故B不正確；月跑步里程數(shù)從小到大排列分別是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月對應(yīng)的里程數(shù)，故5月份對應(yīng)的里程數(shù)為中位數(shù)，故C正確；由圖可知，1月至5月的月跑步里程相對于6月至11月波動性更小，變化比較平穩(wěn)，故D正確．答案：B4．(蘇教版必修第二冊P220·T2改編)某校高一年級有900名學(xué)生，其中女生400名．按男女比例用分層隨機(jī)抽樣的方法，從該年級學(xué)生中抽取一個容量為45的樣本，則應(yīng)抽取的男生人數(shù)為________．答案：255．(人教A版必修第二冊P202·例2改編)一個容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為__________，第86百分位數(shù)為________．6．(人教A版必修第二冊P184·T3改編)某班級有50名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)測試平均成績是92分，如果30名男生的平均成績?yōu)?0分，那么20名女生的平均成績?yōu)開_______分．層級一/基礎(chǔ)點(diǎn)——自練通關(guān)(省時間)基礎(chǔ)點(diǎn)(一)抽樣方法

[題點(diǎn)全訓(xùn)]1．某班有男生36人，女生18人，用分層隨機(jī)抽樣的方法從該班全體學(xué)生中抽取一個容量為9的樣本，則抽取的女生人數(shù)為

(

)A．6 B．4C．3 D．22．(2022·廣州綜合測試)某公司生產(chǎn)A，B，C三種不同型號的轎車，其產(chǎn)量之比為2∶3∶4，為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個容量為n的樣本，若樣本中A種型號的轎車比B種型號的轎車少8輛，則n＝

(

)A．96 B．72

C．48 D．363．總體由編號為1,2，…，99,100的100個個體組成．現(xiàn)用隨機(jī)數(shù)法選取60個個體，利用電子表格軟件產(chǎn)生的若干個1～100范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù)的開始部分?jǐn)?shù)據(jù)如下，則選出來的第5個個體的編號為______．8

44

2

17

8

31

57

4

55

688

77

74

47

7

21

76

33

50

63解析：生成的隨機(jī)數(shù)中落在編號1～100范圍內(nèi)的有8,44,2,17,8(重復(fù)，舍棄)，31……故選中的第5個個體的編號為31.答案：314.某企業(yè)三個分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，三個分廠的產(chǎn)量分布如圖所示．現(xiàn)在用分層隨機(jī)抽樣的方法從三個分廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中共抽取100件進(jìn)行使用壽命的測試，則第一分廠應(yīng)抽取的件數(shù)為________；測試結(jié)果為第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的平均使用壽命分別為1020小時，980小時，1030小時，估計這個企業(yè)生產(chǎn)的這批電子產(chǎn)品的平均使用壽命為________小時．解析：由分層隨機(jī)抽樣可知，第一分廠應(yīng)抽取100×50%＝50(件)．由樣本的平均數(shù)估計總體的平均數(shù)，可知這批電子產(chǎn)品的平均使用壽命約為1020×50%＋980×20%＋1030×30%＝1015(小時)．答案：50

10152．已知一組樣本數(shù)據(jù)由小到大依次為2,3,3,7，a，b,12，13.7，18.3,20，且樣本的中位數(shù)為10.5，若使該樣本的方差最小，則a，b的值分別為

(

)A．10,11 B．9.5,10.5C．10.4,10.6 D．10.5,10.53．(2021·新高考Ⅰ卷改編)有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1,2，…，n)，c為非零常數(shù)，有以下結(jié)論：①兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同；②兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同；③兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同；④兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同．其中正確結(jié)論的序號為________．基礎(chǔ)點(diǎn)(三)統(tǒng)計圖表的直觀應(yīng)用

[題點(diǎn)全訓(xùn)]1．某企業(yè)2021年12個月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如下：已知：利潤＝收入－支出，根據(jù)該折線圖，下列說法不正確的是

(

)A．該企業(yè)2021年1月至6月的總利潤低于2021年7月至12月的總利潤B．該企業(yè)2021年1月至6月的平均收入低于2021年7月至12月的平均收入C．該企業(yè)2021年8月至12月的支出持續(xù)增長D．該企業(yè)2021年11月份的月利潤最大解析：因?yàn)閳D中的實(shí)線與虛線的相對高度表示當(dāng)月利潤．由折線統(tǒng)計圖可知1月至6月的相對高度的總量要比7月至12月的相對高度總量少，故A正確；由折線統(tǒng)計圖可知1月至6月的收入都普遍低于7月至12月的收入，故B正確；由折線統(tǒng)計圖可知2021年8月至12月支出的圖象是上升的，所以支出持續(xù)增長，故C正確；由折線統(tǒng)計圖可知11月的相對高度比7月、8月都要小，故D錯誤．答案：D

2．某學(xué)校為了了解本校學(xué)生的上學(xué)方式，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽查部分學(xué)生，了解到上學(xué)方式主要有：A—結(jié)伴步行，B—自行乘車，C—家人接送，D—其他方式．并將收集的數(shù)據(jù)整理繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中信息，下列說法不正確的是

(

)A．扇形圖中D的占比最小B．條形圖中A和C一樣高C．無法計算扇形圖中A的占比D．估計該校一半的學(xué)生選擇結(jié)伴步行或家人接送答案：

C

3．某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是

(

)A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半解析：設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前的收入為M，則新農(nóng)村建設(shè)后的收入為2M，新農(nóng)村建設(shè)前種植收入為0.6M，新農(nóng)村建設(shè)后種植收入為0.74M，所以種植收入增加了，所以A不正確；新農(nóng)村建設(shè)前其他收入為0.04M，新農(nóng)村建設(shè)后其他收入為0.1M，故增加了一倍以上，所以B正確；新農(nóng)村建設(shè)前，養(yǎng)殖收入為0.3M，新農(nóng)村建設(shè)后為0.6M，增加了一倍，所以C正確；新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和占經(jīng)濟(jì)收入的30%＋28%＝58%>50%，所以超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半，所以D正確．故選A.答案：A

[方法技巧]常見的能夠反映實(shí)際情況的統(tǒng)計圖有條形圖、折線圖、扇形圖等．扇形圖中每一個扇形的圓心角以及弧長，都與這一部分表示的數(shù)據(jù)大小成正比；折線圖能夠很直觀地體現(xiàn)數(shù)據(jù)隨時間的變化情況；條形圖可以直觀地體現(xiàn)各數(shù)據(jù)之間的數(shù)量關(guān)系；莖葉圖可以直觀展現(xiàn)各個數(shù)據(jù)，而且能夠通過計算和分布情況體現(xiàn)各個數(shù)字特征．具體的應(yīng)用中要能夠準(zhǔn)確掌握各個統(tǒng)計圖的功能，同時要能夠準(zhǔn)確理解試題的環(huán)境含義．

層級二/重難點(diǎn)——逐一精研(補(bǔ)欠缺)重難點(diǎn)(一)統(tǒng)計圖表中的數(shù)字特征的計算

[典例]統(tǒng)計局就某地居民的月收入(單位：元)情況調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本頻率分布直方圖(如圖)，每個分組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示月收入在[2500,3000)內(nèi)．(1)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再從這10000人中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽出100人做進(jìn)一步分析，則月收入在[4000，4500)內(nèi)的應(yīng)抽取多少人？(2)估計該地居民月收入的中位數(shù)和眾數(shù)；(3)假設(shè)同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表，估計該地居民月收入的平均數(shù)．[解]

(1)因?yàn)?0.0002＋0.0004＋0.0003＋0.0001)×500＝0.5，所以2a×500＝0.5，所以a＝0.0005.又0.0005×500＝0.25，所以月收入在[4000，4500)內(nèi)的頻率為0.25，所以月收入在[4000,4500)內(nèi)的應(yīng)抽取的人數(shù)為0.25×100＝25.[針對訓(xùn)練]某小區(qū)為了提高小區(qū)內(nèi)人員的讀書興趣，準(zhǔn)備舉辦讀書活動，并購買一定數(shù)量的書籍豐富小區(qū)圖書站．由于不同年齡段的人看不同類型的書籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對小區(qū)內(nèi)看書人員進(jìn)行年齡調(diào)查，隨機(jī)抽取了40名讀書者進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡(單位：歲)分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]后得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求在這40名讀書者中年齡分布在[40,70)的人數(shù)；(2)求這40名讀書者的年齡的平均數(shù)和中位數(shù)．解：(1)由頻率分布直方圖知，年齡在[40,70)的頻率為(0.020＋0.030＋0.025)×10＝0.75.故這40名讀書者中年齡分布在[40,70)的人數(shù)為40×0.75＝30.(2)這40名讀書者年齡的平均數(shù)為25×0.05＋35×0.10＋45×0.20＋55×0.30＋65×0.25＋75×0.10＝54.設(shè)中位數(shù)為x，則0.005×10＋0.010×10＋0.020×10＋0.030×(x－50)＝0.5，解得x＝55.故這40名讀書者年齡的中位數(shù)為55.重難點(diǎn)(二)用樣本估計總體

[典例]

(2019·全國卷Ⅱ)某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了100個企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻率分布表.(1)分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長的企業(yè)比例；(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)．(精確到0.01)y的分組[－0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企業(yè)數(shù)22453147[方法技巧]利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．(2)用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征．

[針對訓(xùn)練]某校開展了線上教學(xué)活動．?dāng)?shù)學(xué)組積極研討網(wǎng)上教學(xué)策略：先采取甲、乙兩套方案教學(xué)，并對分別采取兩套方案教學(xué)的班級的7次線上測試成績進(jìn)行統(tǒng)計，如圖所示．(1)請?zhí)顚懴卤?要求寫出計算過程).(2)從下列不同的角度對這次方案選擇的結(jié)果進(jìn)行分析：①從平均數(shù)和方差相結(jié)合看(分析哪種方案的成績更好)；②從折線圖上兩種方案的走勢看(分析哪種方案更有潛力)．

平均數(shù)方差甲

乙

2．(樣本數(shù)字特征意義不清)為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田．這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是

(

)A．x1，x2，…，xn的平均數(shù)B．x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位數(shù)解析：評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差．答案：B

解析：假設(shè)每月新增一組人，將其編號為1,2,3,4，…，則每個月接受調(diào)查的情況為：1月：1；2月：1,2；3月：2,3；4月：3,4