彈性euler型梁-柱結構的廣義hamilon變分原理及其非線性模型

彈性euler型梁-柱結構的廣義hamilon變分原理及其非線性模型

在動力和變形中的應用梁柱結構在科學和技術中得到了廣泛應用。隨著科學技術的發(fā)展，結構被輕、細、長、大變形和材料的非線性，結構的非線性問題需要進一步分析，以提供更合適的設計理論基礎。與線性系統(tǒng)相比，非線性系統(tǒng)具有更復雜的性質。為了揭示梁柱結構的非線性現象，解釋其機理，最重要的問題是建立合理的數學模型。通過各種方法，建立了梁柱結構的非線性分析理論。例如，陳志達、antran等人利用弧長和方向子理論建立了彈性微桿大變形理論。這些理論的優(yōu)點是精細、美觀，能夠分析和解釋簡單問題，但它們的主要缺點是難以應用于復雜結構和復雜加載。朱正宇、朱媛媛等人以弧長為參數，建立了大變形梁結構的數學模型，這些模型可以滿足初始位移和無序結構的條件，并以結構的大變形和穩(wěn)定性問題。胡玉佳、朱媛媛等提出了該模型的方法，并利用了結構框架的不連續(xù)性條件和初始傾角結構的大型變形動態(tài)分析。同時，提出了一種方法來求解非線性差分橫截面。包括集中力和分布力影響的框架和組合框架的大變形動力學問題。不過,在工程技術中,一般遇到的梁-柱型結構的大變形往往是中等程度的,即和軸向位移相比,撓度是比較大的,而且撓度與截面的寬度或者厚度是同量級的,所以應該考慮撓度引起的轉動對軸向變形的影響,因此建立相應的非線性理論是需要的.本文在保守力和有限變形的假設下,首先建立了位于非線性彈性基礎上具有3次非線性彈性Euler型梁-柱結構的廣義Hamilton變分原理,并由此導出了相應的3維非線性數學模型.作為模型的退化和推廣,可以得到許多不同類型的數學模型以適合工程技術的不同需要.作為模型的應用,分析了位于彈性基礎上均質等截面梁的非線性穩(wěn)定性和后屈曲問題,并結合打靶法和Newton法,給出了一種通過計算原問題的攝動問題的正常解的方法,來計算原問題分支解的新的數值計算方法,并對一些給定的參數,成功地實現了一端完全固支一端部分固支并受軸力作用的線性彈性梁的非線性穩(wěn)定性計算,包括前屈曲狀態(tài)(平凡解)、臨界載荷(分支點)和后屈曲狀態(tài)(分叉解).可以看到,雖然在本文中求解的常微分方程組是以一個特定的問題為背景,但是所給出的數值計算方法對其他類似問題也是適當的.1力端邊界條件考察置于非線性彈性基礎上承受任意橫向載荷作用的均質彈性梁-柱結構(圖1所示).取Ox軸為截面的中性軸,Oy、Oz為截面的慣性主軸.假設截面關于慣性主軸y和z都是對稱的,但是可變的,截面面積為A,長度為l,密度為ρ.并假設在x,y和z方向作用于結構上的載荷分別為qu(x,t),qv(x,t)和qw(x,t),同時,在端部x=l可以受軸力N、剪切力和力矩的作用.假設u,v,w是中性軸的位移,y,z是到中性軸的距離,則Euler型梁-柱結構的位移模式為在有限變形的框架下,彎曲應變和位移的關系為假設結構的材料是一種3次非線性彈性材料,彎曲應力和彎曲應變之間的關系為式中,E1,E2,E3分別是材料的線性和廣義非線性彈性模量,它們可以是x的函數.假設基礎的材料也是3次非線性彈性材料,則沿坐標軸方向基礎對結構的反力可表示為其中,ks1,ks2,ks3是基礎的相應線性和非線性剛度系數,這里s=u,v,w分別表示x,y和z方向.對于圖1所示的梁-柱結構,可定義結構的動能T,應變能U和外力的功W為式(5a)中的第4項和第5項分別為考慮中面轉動慣性影響引起的動能,為橫截面對y軸和z軸的慣性矩.Hamilton變分原理在滿足幾何約束和位移邊界條件,并在初始和終止時刻具有指定運動的一切可能位移中,真實的位移u,v,w使泛函取駐值,式中H=-(U-W-T)為Hamilton函數,其中T,U和W由式(5)給定.對式(5)中的T,U和W進行變分,并將所得結果代入變分方程δΠ=0中(為了節(jié)省篇幅,這里略去了推導過程和所得的表達式),注意到在初始和終止時刻結構具有指定的運動,同時注意到在梁的內部δu,δv,δw的任意性,在力端處的任意性,則可推得梁-柱結構的位移u,v,w滿足的3維非線性運動微分方程和力端的邊界條件.對于均質等截面非線性彈性Euler型梁-柱結構,式(5)中的系數與x無關,這時,運動微分方程為式中,A1(u,v,w),B(v,w),C1(v,w),C2(v,w)是與位移有關的非線性微分算子,它們的定義為另外,式(7b)和(7c)中項是考慮截面轉動慣性的結果.而分別為橫截面對y軸和z軸的高階慣性矩.將運動微分方程(7)代入變分方程δΠ=0,則得到邊界虛功方程,由此可得到力端的邊界條件.如果結構的兩端均為完全固定的,則當x=0,l時,,因此,邊界虛功方程自動成立.如x=0或x=l端自由或給定力和力矩,將得到力端的邊界條件.例如,對于圖1所示的均質等截面線彈性梁-柱結構(即令式(3)中的E1=E,E2=E3=0),力端x=l的邊界條件為這里,N為軸力,為端部剪力,為端部力矩,另外注意到功的表達式(5c),軸力N對結構的功為因此軸力N已直接進入到運動微分方程(7)中了.同時,注意到力端的邊界條件中包括非線性微分算子A1(u,v,w),因此,力端的邊界條件一般是非線性的.初始條件:設梁-柱結構在t<0處于自然狀態(tài),且當t=0時滿足如下初始條件:其中,u0,u·0,v0,v·0,w0,w·0是僅與坐標x有關的已知函數,當初始時刻結構處于靜止時,這些函數為0.這樣,在初始條件(9)和適當的邊界條件下的非線性偏微分方程組(7a)~(7c)構成了在有限變形條件下分析非線性彈性Euler型梁-柱結構的力學行為的一般數學模型.2控制微分方程的引進下面考察在x=0端完全固支,在x=l端部分固支,并受軸力N作用的線彈性梁的靜態(tài)非線性穩(wěn)定性問題,這時所有的量與時間無關,令E1=E.引入無量綱變量和參數如下:則由式(10),無量綱形式的控制方程和邊界條件為為了便于討論,引進如下新的未知函數:將式(12)代入方程(11),控制微分方程(11)轉化成一組等價的一階非線性常微分方程組,可簡寫成這樣,一端完全固支一端部分固支,并受軸力N作用,且位于彈性基礎上的線彈性Euler型梁-柱結構非線性穩(wěn)定性分析的控制微分方程(11)被轉化為常微分方程的兩點邊值問題(13),這就是本文最后要討論的控制微分方程.下面提出的方法雖然是針對計算問題(13)的平凡解、分支點和分叉解提出的數值方法,但是它也具有一般性.3類變量聯立計算為了對以無量綱軸力λ為分支參數的兩點邊值問題(13)進行分叉解的計算和分析,本文將聯合采用打靶法和Newton迭代法.為此考察如下初值問題:其中β=(β1,β2,β3,β4,β5)T是矢量值參數.對固定的λ和β,記初值問題(14)的解為y(X,λ,β).顯然,它是問題(13)的解的充要條件是β滿足下列方程:盡管不能得到G(β,λ)的表達式,但顯然求邊值問題(13)的解等價于求有限維方程(15)的解.設當λ=λ*時,y(X)是邊值問題(13)的解,令β*=(y2(0),y5(0),y6(0),y9(0),y10(0))T,則y(X)=y(X,λ*,β*),并且G(β*,λ*)=0.這時如果G(β,λ)的Jacobi矩陣Gβ(β*,λ*)非奇異,則稱y(X)為邊值問題(13)的正常解,反之,則稱為奇異解.為了求邊值問題(13)的正常解,可對式(15)采用Newton迭代法,其迭代步驟是:選取適當的初值β(0),若第k次迭代值β(k)已知,則k+1次迭代值β(k+1)可由下式確定:在式(16)的具體計算中,需要得到G(β(k),λ*)和Gβ(β(k),λ*).為了求得G(β(k),λ*),需要計算y(1,λ*,β(k)).它可以通過求解常微分方程的初值問題(14)來完成,其中令λ=λ*,β=β(k).為了求得Gβ(β(k),λ*),將初值問題(14)在λ=λ*,β=β(k)處對βj求導,可得ue014y/ue014βj是下面初值問題的解:記式(17)的解為則由式(16)可知因此,迭代公式(16)中Jacobi矩陣Gβ(β(k),λ*)可以通過計算初值問題(17)中5個常微分方程組的解得到.由于式(17)中出現了由式(14)確定的函數y(X,λ*,β(k)),所以在計算y(X,λ*,β(k))及Zj(X,β(k),λ*)時,應該同時對式(14)和(17)進行聯立計算.1)平凡解支的計算設當λ≥0時,y(X,λ)是邊值問題(13)的一個平凡解,如果平凡解支上的解y(X,λc)是奇異解,則稱λc是平凡解支上的分支點或特征值.可以證明,平凡解支上除了一些孤立的特征值以外都是正常解,所以可采用如下方法實現平凡解支的數值計算:給定步長h,令λk=kh,如果當λ=λk-1,λk時,邊值問題(13)的正常解y(X,λk-1),y(X,λk)已經求出,則為求λ=λk+1時的正常解y(X,λk+1),可首先令初值然后按照Newton迭代公式(16)計算,直到滿足條件時,則y(X,β(k+1),λk+1)就是當λ=λk+1時,我們要求的邊值問題(13)的解y(X,λk+1);2)分支點的確定為了確定平凡解支上分支點的位置,可以在計算平凡解支y(X,λ)的同時,采用二分法求解方程Δ(λ)=detGβ=0的根來實現.為此在計算平凡解支y(X,λk)的同時,監(jiān)控Δ(λk)=detGβ的正負號,當發(fā)現有兩個相鄰的平凡解y(X,λξ)和y(X,λξ+1)使得Δ(λ)的符號發(fā)生變化時,即Δ(λs)·Δ(λs+1)<0,則在區(qū)間[λs,λs+1]上必有一個分支點(特征值),這時對區(qū)間[λs,λs+1]采用二分法迭代計算,直到求得λc,使得Δ(λc)≈0,這時λc就是所要求的近似特征值.3)分叉解支的計算由于不能得到有限維方程(15)的解析表達式,所以現有計算有限維分支方程的分叉解的方法不再適用.本文仍將采用Newton迭代法來計算分叉解,這里的關鍵是如何成功獲得邊值問題(13)的一個分叉解支上某個正常解的近似值.為了獲得這樣一個近似值,對給定邊值問題(13)作小攝動.設是平凡解支上接近于奇點的一個已知的正常解,其中接近于特征值λc,而且.作如下邊值問題:利用上述方法和過程,成功地進行了數值計算,得到了當梁結構不受分布力,且基礎為各向同性線性彈性材料時,前兩個分支點和相應的分支解.表1和表2列出了基礎反力和慣性矩對前兩個分支點的影響.圖2和圖3分別為βz=βy=0.01,Ku1=Kv1=Kw1=1時,第一分支點λ1=0.35和第二分支點λ2=0.60處的平凡解支和分支解支.4均質等截面線性euter型梁-柱結構的非線性穩(wěn)定性和后屈曲在有限變形的假設下,建立了位于3次非線性彈性基礎上,3次非線性彈性Euler型梁-柱