淺析體系特征分子量的選擇

淺析體系特征分子量的選擇

通過等式分析（或序列分析），可以將參數(shù)多的系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)槭褂脜?shù)少的無因次數(shù)表示的系統(tǒng)，從而顯著簡化實驗設(shè)計和數(shù)據(jù)處理。因此，色度分析是土木工程研究和應(yīng)用的重要工具。雖然許多化工專業(yè)課對此有所介紹,但我們?nèi)绾螐捏w系的全部物理量中正確地選擇幾個特征量,以順利地完成具體的量綱分析過程,還需要認(rèn)真地思考。一、量綱矩陣近似算法量綱分析(dimensionalana1ysis,也稱因次分析)是20世紀(jì)初物理領(lǐng)域中提出的建立數(shù)學(xué)模型的一種方法。它利用物理定律的量綱齊次原則,在經(jīng)驗和實驗的基礎(chǔ)上確定各物理量之間的關(guān)系。因次分析法的最基本的依據(jù)是:若物理量間的關(guān)系能用函數(shù)關(guān)系式定量地表示,則最基本的要求是等式兩端必須在量綱、單位和數(shù)值上相等。由此發(fā)展出了著名的Buckinghamπ定理和相似原理。Buckinghamπ定理表明:n個物理量間的相互關(guān)系可以簡化為m=n-r個相互獨立的無因次數(shù)群之間的關(guān)系,其中r表示所討論的n個物理量形成的量綱矩陣的秩,它一般等于這些物理量中所包含的基本量綱的數(shù)目。應(yīng)用量綱分析建立經(jīng)驗?zāi)Ｐ陀袔追N方法。其一是方程分析法,可以從有因次量的微分方程或代數(shù)方程得到所研究的體系的無因次數(shù)群。二、不同特征量的選擇當(dāng)已建立因變量的微分方程或代數(shù)方程機理模型時,可以用少許幾個有因次量的體系特征量來將模型方程無因次化。具體做法大致是:將方程式內(nèi)的有因次量用無因次的變量來表示,即用體系的特征量將有因次物理量轉(zhuǎn)化為無因次量;然后想辦法簡化方程,使盡量多的項前面的系數(shù)為1或系數(shù)最簡;這時得到的無因次方程式中就會出現(xiàn)一些無因次數(shù),它們就是決定一個體系與別的體系是否相似的無因次準(zhǔn)數(shù)。但怎樣選擇合適的特征物理量卻是一個需要量綱分析者主觀確定的問題。本文的目的是討論可以選取多少個特征量、如何選擇合適的特征量。【例1】管道流動軸向速度分量u的二維動量守恒微分方程為它涉及徑向速度v、流體密度ρ、壓強p、軸向和徑向坐標(biāo)x和y、流體黏度μ和時間t。要導(dǎo)出本體系的控制無因次數(shù)群,首先選擇合適的特征物理量,將方程中的變量無因次化。例如,用特征速度u0將速度分量u和v無因次化:U=u/u0,V=v/u0;用特征長度L將坐標(biāo)x、y無因次化:X=x/L,Y=y/L;時間t以特征時間珋t=L/u0來無因次化:θ=t/珋t。于是,微分方程的有因次變量轉(zhuǎn)換為無因次量后成為要設(shè)法將盡量多的項的系數(shù)化到最簡,故用ρu02/L通除等號兩端,得到或其中,定義歐拉數(shù)P=p/ρu02(即無因次壓力)和雷諾數(shù)Re=ρu0L/μ。因為歐拉數(shù)P是變量,而雷諾數(shù)Re是特征物理量組成的常量,故稱Re是定義和控制此物理過程的唯一無因次準(zhǔn)數(shù)。這里實際上只選用了2個特征量:L和u0,特征時間是由它們構(gòu)造出來的。若另外隨意地指定一個特征時間τ,則結(jié)果為要設(shè)法將盡量多的項的系數(shù)化到最簡,故用ρu0/τ通除等號兩端,得到只要我們重新定義歐拉數(shù)P=pτ/ρu0(即無因次壓力)和雷諾數(shù)Re=ρL/τμ,則我們同樣得到方程(2),也達到了方程無因次化的目的。有幾個問題需要討論。問題1:我們應(yīng)該選定幾個特征物理量?例1中,體系包括u、v、ρ、p、x、y、μ、t共8個參數(shù),除去同類的物理量后為u、ρ、p、x、μ、t共6個參數(shù),涉及的基本量綱為質(zhì)量M、長度L、時間T共3個。要把所有的有因次量都無因次化,在定義無因次量時所用的無因次化參量就必須包含所有的基本量綱。因此,本例中應(yīng)選擇3個特征物理量。上述運算過程中只選用了u0和L兩個,所以還不能將p無因次化;后來是利用了ρ才將p無因次化為歐拉數(shù)P=p/ρu02。問題2:相同因次的特征物理量,我們選擇哪一個?如果我們用雷諾數(shù)來關(guān)聯(lián)圓管、異形管的流體流動阻力,可能由于特征時間選擇不當(dāng),即使能夠很好地處理自己的幾組數(shù)據(jù),但很難將不同作者的實驗數(shù)據(jù)統(tǒng)一關(guān)聯(lián)起來。所以,首先需要確定最多能選擇幾個特征物理量。問題3:選擇哪一個物理量為特征量?這不是量綱分析能確定的。本例中,特征長度可以選擇管道長度或管徑,都不妨礙得到雷諾數(shù)Re=ρu0L/μ或者Re=ρu0D/μ;但事后實驗數(shù)據(jù)的整理、關(guān)聯(lián)過程表明,管徑對描述流動狀態(tài)而言是更有意義的特征物理量。特征速度可以選擇管內(nèi)平均流速或管內(nèi)軸線最大流速,它們都可用,但使用平均流速更為方便?！纠?】管式反應(yīng)器二級化學(xué)反應(yīng)的動態(tài)閉式軸向擴散模型:體系涉及軸向擴散系數(shù)D,平均流速u,二級反應(yīng)速率常數(shù)k,反應(yīng)物濃度c,軸向坐標(biāo)x和時間t共6個物理量,沒有重復(fù)的物理量。涉及的基本量綱為長度L、時間T、摩爾量N共3個?？蛇x用3個特征物理量:特征長度為反應(yīng)器長L,特征速度為反應(yīng)器內(nèi)軸向平均流速u,特征濃度為反應(yīng)器入口的反應(yīng)物濃度c0。將方程無因次化時,利用C=c/c0,θ=t/(L/u),X=x/L,代入原方程,得上式通乘L/u,得到無法使更多項的系數(shù)為1了。于是定義2個無因次準(zhǔn)數(shù)(常量):Peclet數(shù)Pe=uL/D表示對流傳遞和軸向擴散的相對強弱,無因次反應(yīng)速率常數(shù)K=kc0L/u表示化學(xué)反應(yīng)速率和對流傳遞的相對強弱。按π定理,可以定義6-3=3個無因次準(zhǔn)數(shù)。第3個無因次準(zhǔn)數(shù)在哪里?其實就是無因次時間θ=t/(L/u),是用特征量無因次化t的結(jié)果,只是它不完全由常量組成,是一變量,所以不稱它為體系的控制性無因次準(zhǔn)數(shù)。其他派生出來的變量很多,如ue014C/ue014θ、ue014C/ue014X、ue0142C/ue014X2等,都不叫無因次準(zhǔn)數(shù)?！纠?】球形催化劑顆粒內(nèi)部進行一級反應(yīng)時的能量控制方程為其中λe為多孔催化劑的有效熱傳導(dǎo)系數(shù)(量綱MLT-3Θ-1,單位kJ/(m·s·K)),(-ΔHr)為反應(yīng)的熱效應(yīng)(量綱ML2T-2N-1,單位kJ/mol),k0為反應(yīng)速率常數(shù)的指前因子(Θ-1,單位s-1),E為反應(yīng)活化能(量綱ML2T-2N-1,單位kJ/mol,與RgT相同)。涉及的基本量綱4個,可選4個特征量:反應(yīng)活化能E、顆粒半徑R、顆粒外表面溫度T0和外表面濃度c0。定義無因次變量:無因次徑向坐標(biāo)ξ=r/R,無因次濃度C=c/c0,無因次溫度θ=T/T0后,方程(5)無因次化為或其中新得到的無因次準(zhǔn)數(shù)有2個:無因次反應(yīng)熱,表示了反應(yīng)發(fā)熱相對于顆粒內(nèi)傳導(dǎo)散熱的強度:無因次活化能,則反映了化學(xué)反應(yīng)速度隨溫度增高的程度:還有一個隱藏的無因次準(zhǔn)數(shù)(-ΔHr)/E,它與前2個無因次準(zhǔn)數(shù)是相互獨立的。因為量綱M和N有固定的組合關(guān)系,故量綱矩陣的秩比基本量綱數(shù)減少1,所以沒有第4個無因次準(zhǔn)數(shù)。三、體系的控制變量的選擇總結(jié)3個例子的共同點,我們可以看出:1.體系有幾個基本量綱,就可以選擇幾個特征參數(shù)來定義(或產(chǎn)生、構(gòu)造)無因次準(zhǔn)數(shù)。2.無因次準(zhǔn)數(shù)由常量參數(shù)構(gòu)成,表明體系在某個基準(zhǔn)狀態(tài)下個物理因素或過程之間的相對強弱,因此這些準(zhǔn)數(shù)能界定體系的宏觀性質(zhì)。3.在過程變化的物理量也能構(gòu)成無因次變量,但一般不認(rèn)為它是體系的控制性無因次準(zhǔn)數(shù)。4.選擇的無因次化特征量,它們包含全部基本量綱,但它們之間是量綱互相獨立的。5.