（無錫卷）2022年中考考前最后一卷（全解全析）

2022年中考考前最后一卷【無錫卷】數(shù)學·全解全析一、單選題(共30分)1．(本題3分)-2022的絕對值是（

）A．-2022 B．2022 C．-1 D．2021【答案】B【分析】根據(jù)絕對值的定義即可求得結(jié)果．【詳解】解：－2022的絕對值：．故選：B．【點睛】本題主要考查絕對值的定義，熟記絕對值的定義是解題的關(guān)鍵．2．(本題3分)函數(shù)y＝﹣x中，自變量x的取值范圍是（

）A．x≤3月x≠0 B．x＜3且x≠0 C．x≤3 D．x＜3【答案】D【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件即可求得答案．【詳解】解：∵函數(shù)y＝﹣x，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，掌握二次根式有意義的條件：被開方數(shù)是非負數(shù)，分式有意義的條件：分母不等于0是解題的關(guān)鍵．3．(本題3分)下列運算正確的是（）A．2a+3a＝5a2 B．a(chǎn)2b÷2a＝2abC．（a+b）2＝a2+b2 D．（b﹣2a）（2a+b）＝b2﹣4a2【答案】D【分析】分別根據(jù)整式的運算以及完全平方公式，平方差公式逐一判斷即可．【詳解】解：A．，故本選項不合題意；B．，故本選項不合題意；C．，故本選項不合題意；D．，故本選項符合題意．故選：D.【點睛】本題考查了整式的運算、完全平方公式和平方差公式，解題的關(guān)鍵是掌握整式的運算法則、完全平方公式和平方差公式．4．(本題3分)下列事件是必然事件的是（

）A．擲一次骰子，向上的一面是6點B．經(jīng)過城市中某一有交通信號燈的路口，遇到紅燈C．購買一張彩票，中獎D．如果a、b都是實數(shù)，那么【答案】D【分析】根據(jù)必然事件和隨機事件的定義逐項排查即可.【詳解】解：由于擲一次骰子，向上的一面是6點是隨機事件，故A選項不符合題意；由于經(jīng)過城市中某一有交通信號燈的路口，遇到紅燈是隨機事件，故B選項不符合題意；由于購買一張彩票，中獎是隨機事件，故C選項不符合題意；如果a、b都是實數(shù)，那么是必然事件，故選D項符合題意.故選D.【點睛】本題主要考查隨機事件和必然事件，熟練掌握隨機事件和必然事件的概念是解答本題的關(guān)鍵.5．(本題3分)已知一組數(shù)據(jù)：4，5，m，6，7的平均數(shù)是5，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（

）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)平均數(shù)為5，即可求出總和為25，則可求得m為3，再根據(jù)中位數(shù)的含義即可求解．【詳解】∵平均數(shù)為5，∴總和為，∴，則這組數(shù)據(jù)從新排列為：3、4、5、6、7，則該組數(shù)的中位數(shù)為：5，故選：B．【點睛】本題考查了中位數(shù)、平均數(shù)的知識，求出m的值，再按中位數(shù)的定義準確找出中位數(shù)是關(guān)鍵．切勿將擺在中間的m當做中位數(shù)而出錯．6．(本題3分)若一個立體圖形從正面看、從左面看都是長方形，從上面看是圓，則這個圖形可能是（

）A．圓柱 B．球 C．圓錐 D．三棱錐【答案】A【分析】由主視圖和左視圖可得此幾何體為柱體，根據(jù)俯視圖是圓可判斷出此幾何體為圓柱．【詳解】解：∵主視圖和左視圖都是長方形，∴此幾何體為柱體，∵俯視圖是一個圓，∴此幾何體為圓柱．故選A．【點睛】本題考查由三視圖想象幾何體的形狀，首先，應分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，然后綜合起來考慮整體形狀．用到的知識點為：三視圖里有兩個相同可確定該幾何體是柱體，錐體還是球體，由另一個視圖確定其具體形狀．7．(本題3分)一對全等的含有60°角的直角三角形，拼成的圖形不可能為（

）A．等腰三角形 B．菱形 C．矩形 D．平行四邊形【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形的特殊性和等腰三角形、等邊三角形、矩形、菱形的概念可知.【詳解】解：讓兩條短直角邊重合，另一條直角邊在一條直線上，可得等腰三角形，故A可以；不可能拼成菱形，故B不可能；可以讓兩條斜邊重合，兩條相等的直角邊分別是兩組對邊，故C可以；讓較短的直角邊重合且兩個直角不在一條直線上，即可組成平行四邊形，故D可以.所以答案為B.【點睛】此題考查了學生的拼圖能力，掌握直角三角形的特殊性是解答本題的關(guān)鍵.8．(本題3分)如圖，是的內(nèi)接三角形，過點C的的切線交BO的延長線于點P，若，那么度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接OC、CE，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥CP，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠COP，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計算即可．【詳解】解：連接OC，設⊙O與OP交于點E，連接CE，∵PC為⊙O的切線，∴OC⊥CP，∴∠COP＝90°﹣∠P＝90°﹣34°＝56°，∵OC＝OE，∴∠OEC＝∠OCE（180°﹣56°）＝62°，∵四邊形ABEC為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAC＝180°﹣∠OEC＝118°，故選：B．【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．9．(本題3分)如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別相交于點B、點A，以線段AB為邊作正方形ABCD，且點C在反比例函數(shù)圖象上，則k的值為（

）A．21 B．－42 C．42 D．－21【答案】D【分析】過點C作軸，垂足為E，證明，可得點C坐標，代入求解即可．【詳解】如圖，過點C作軸，垂足為E一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別相交于點B、點A當時，A（0，4）B（-3，0）四邊形ABCD是正方形ABCD在和中C（-7，3）點C在反比例函數(shù)圖象上故選：D．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點、正方形的性質(zhì)、求反比例函數(shù)的系數(shù)即全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的做出輔助線以及運用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．10．(本題3分)在矩形ABCD中，連接AC，過點B作BH⊥AC于點H交AD于點I，AE平分∠BAC分別交BH、BC于點P、E，BF平分∠BC分別交AC、DC于點G、F．已知AB=4，tan∠BAE=．在下列說法中，①△ABP≌△AGP；②四邊形BPGE的面積是；③sin∠HPG=；④FC=2FD．⑤連接FH，則FH∥BC，正確的是（

）A．①③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤【答案】C【分析】①根據(jù)已知可得∠BAC=∠HBC，然后利用角平分線的性質(zhì)可得∠EAC=∠HBG，從而得∠BQP=∠AHP=90°，從而可證明△ABQ≌△AGQ，得到AB=AG，最后再證明△ABP≌△AGP；②由①可得AQ是BG的垂直平分線，然后證明四邊形BPGE是菱形，求出兩條對角線的長即可解答；③過點P作PM⊥BE，垂足為M，利用菱形的面積求出PM，然后在Rt△PBM中求出sin∠PBC的值即可解答；④先利用勾股定理求出AE的長，然后求出的值，從而求出的值，最后證明△ABG∽△CFG，即可解答；⑤通過計算求出的值，然后與的值進行比較即可判斷．【詳解】解：設AE與BF交于點Q，如圖：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°AB=CD=4，AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABH+∠HBC=90°∵BH⊥AC，∴∠AHB=90°，∴∠HAB+∠ABH=90°，∴∠BAC=∠HBC，∵AE平分∠BAC，BF平分∠IBC，∴∠BAE=∠EAC=∠BAC，∠HBG=∠GBC=∠HBC，∴∠EAC=∠HBG，∵∠APH=∠BPQ，∴∠BQP=∠AHP=90°，∴∠AQP=∠AQG=90°，∵AQ=AQ，∴△ABQ≌△AGQ（ASA），∴AB=AG，BQ=QG，∵AP=AP，∴△ABP≌△AGP（SAS），故①正確；∵AQ⊥BG，BQ=QG，∴AQ是BG的垂直平分線，∴BP=PG，BE=EG，∵BQ=BQ，∠BQE=∠BQP=90°，∠HBG=∠GBC，∴△PBQ≌△EBQ（ASA），∴BP=BE，∴BP=BE=PG=GE，∴四邊形BPGE是菱形，∴PE=2QE，在Rt△ABE中，AB=4，tan∠BAE=，∴BE=ABtan∠BAE=4×=2，∵∠GBE=∠BAE，∴tan∠GBE=，在Rt△BQE中，tan∠QBE=，設QE=a，BQ=2a，∵BQ2+QE2=BE2，∴（2a）2+a2=4，∴a=或a=（舍去），∴，∴四邊形BPGE的面積=，故②正確；∵四邊形BPGE是菱形，∴PG∥BC，∴∠HPG=∠HBC，過點P作PM⊥BE，垂足為M，∵菱形BPGE的面積是，∴BE?PM=，∴PM=，在Rt△BPM中，，∴sin∠HPG=，故③正確；∵∠ABC=90°，AB=4，BE=2，∴，∴，∴，∵PG∥BC，∴，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∠ABG=∠BFC，∴△ABG∽△CFG，∴，∴，∴CF=2DF，故④正確；∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∠AIB=∠IBE，∴△API∽△EPB，∴，∴，∴AI=3，∴，∴，∵∠AIB=∠IBE，∠IBC=∠BAC，∴∠BAC=∠AIB，∵∠ABC=∠BAI，∴△ABC∽△IAB，∴，∴，∴AC=，∴，∵，∴≠，∴FH與AD不平行，∴FH與BC不平行，故⑤錯誤；∴正確的有①②③④．故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．二、填空題(共24分)11．(本題3分)若的立方根是A，的算術(shù)平方根為B，則A＋B＝________．【答案】【詳解】因為，所以A=，B=，則A+B=，故答案為.12．(本題3分)為響應習近平總書記“堅決打贏關(guān)鍵核心技術(shù)攻堅戰(zhàn)”的號召，某科研團隊最近攻克了12nm的光刻機難題，其中1nm＝0.000000001m，則12nm用科學計數(shù)法表示為______m．【答案】【分析】根據(jù)絕對值小于1的數(shù)的科學記數(shù)法的表示形式為：a×10?n（1≤a<10），n為正整數(shù)，n的值由原數(shù)中左起第一個非零數(shù)之前的零的個數(shù)確定，據(jù)此計算即可得．【詳解】解：∵1nm=0.000000001m=1×10?9m∴12nm=1.2×10?8m故答案為：1.2×10?8．【點睛】本題主要考查絕對值小于1的數(shù)的科學記數(shù)法，熟練掌握科學記數(shù)法的變換方法是解題關(guān)鍵．13．(本題3分)分解因式：______．【答案】【分析】先提出公因式2y，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了提公因式法和公式法進行因式分解，如果多項式中有公因式，要先把公因式提出來．14．(本題3分)已知圓錐的底面半徑為，母線長為，則它的側(cè)面展開圖的面積為________．【答案】【分析】利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式計算．【詳解】它的側(cè)面展開圖的面積=×2π×1×3=3π（cm2）．故答案為3π（cm2）．【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．15．(本題3分)冬奧會每隔4年舉辦一次．如今年的年份為2022，舉辦的是第24屆冬奧會．設第x屆冬奧會的年份為y，則y與x之間的函數(shù)表達式為y＝______．（x、y均為正整數(shù)）．【答案】4x＋1926【分析】根據(jù)題意設第x屆冬奧會的年份為y，用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式即可．【詳解】解：設y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b，根據(jù)題意今年的年份為2022，舉辦的是第24屆冬奧會，可得：解得：則y與x之間的函數(shù)關(guān)系為y=4x+1926,故答案為：4x+1926．【點睛】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題意找出題中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．16．(本題3分)如圖，在?中，，，，為?對角線、的交點，是一條過點且繞點旋轉(zhuǎn)的動直線，過點作于點則點到直線的距離的最小值為______．【答案】【分析】過點作于點，以BO的中點F為圓心，BO為直徑作圓F，過點F作于點，再判斷出E點的軌跡，找出使E到DC最小值時的情況，根據(jù)相似三角形性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，過點作于點，以的中點為圓心，為直徑作圓，過點作于點∵四邊形是平行四邊形，則∵∠ADB=90°又∵BE⊥OE恒成立，∴E一定在以BO為直徑的圓上，在中，，設，則，由∴BC=，∴BQ=2，∵FP垂直DC，BQ垂直DC，∴FP//BQ∴△DFP∽△DBQ∴,又BQ=2∴FP=，∵，∴FB=,∴最短距離為FP－FB=．故答案為：．【點睛】本題主要考查了動點圓弧型軌跡最小值問題及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于找出能使F到DC最小值時F點的位置．17．(本題3分)如圖，點B1是面積為1的等邊△OBA的兩條中線的交點，以OB1為一邊，構(gòu)造等邊△OB1A1（點O，B1，A1按逆時針方向排列），稱為第一次構(gòu)造；點B2是△OB1A1的兩條中線的交點，再以OB2為一邊，構(gòu)造等邊△OB2A2（點O，B2，A2按逆時針方向排列），稱為第二次構(gòu)造；以此類推，當?shù)趎次構(gòu)造出的等邊△OBnAn的邊OAn與等邊△OBA的邊OB第一次重合時，構(gòu)造停止．則構(gòu)造出的最后一個三角形的面積是________．【答案】【分析】首先分析出共需構(gòu)造10次即可與第一次重合，利用△OBA∽△OB1A1，得S△OB1A1＝，可知S△OB10A10＝．【詳解】解：∵∠AOA1＝30°，∠A1OA2＝30°，∠AOB＝60°，∴每構(gòu)造一次增加30°，∴n＝＝10，∵△OBA∽△OB1A1，∴?，∵S△OBA＝1，∴S△OB1A1＝，q＝，∴S△OB10A10＝．故答案為：．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，找到相應的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．18．(本題3分)如圖，中，，，點D在AC延長線上，點E在BC上，且，連接AE．將繞點C旋轉(zhuǎn)，得到（點A，E分別與點F，G對應），連接BF，EF．當點G恰好落在BD上時（點G不與D重合），若AC，CE是方程的兩個實數(shù)根，則的面積為______．【答案】【分析】作于點M，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，即，根據(jù)△中BE邊上的高與△中BC邊上的高相同可得，證明△得，證明△可求出，，最后根據(jù)面積公式可得結(jié)論．【詳解】解：作于點M，如圖，∵解得，∵∴∵∠∴∠∴∴∴∵△中BE邊上的高與△中BC邊上的高相同，∴∴∵∴∵△旋轉(zhuǎn)后得到△∴，，∠∴∵∠∴∠∴△∴∴∴∵∠，∴△∴，即∴∵∴∴∴∴∴故答案為：．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程等知識，證明△是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題(共96分)19．(本題6分)（1）計算：（2）化簡：．【答案】（1）2+2；（2）a【分析】（1）先計算，再按照實數(shù)運算法則計算即可；（2）先乘法運算，再加減運算即得．【詳解】解：（1）原式；（2）原式．【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算及整式的混合運算，解題關(guān)鍵是熟知特殊角三角函數(shù)值及實數(shù)混合運算法則，整式混合運算方法．20．(本題6分)（1）先化簡，再求值：，其中．（2）解不等式組：．【答案】（1），；（2）x＜2【分析】（1）先對分式進行化簡，要將除法轉(zhuǎn)化為乘法，將x的值代入化簡的式子即可；（2）對第一個不等式進行去括號、移項、系數(shù)化1求出x的范圍，第二個不等式去分母、移項、系數(shù)化1求x范圍，再將兩個范圍合起來得出最終結(jié)果．【詳解】（1）原式===當x=時，原式==；（2）解不等式4（x-1）＜x+2得x＜2解不等式得x＜∴不等式組的解集為x＜2．【點睛】本題考查分式的化簡求值和一元一次不等式組的求解．正確的運用分式計算的法則和不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．21．(本題10分)如圖所示，已知AB＝AC，CB平分∠ACD，CD＝CA，E是BC上一點，連接DE并延長交AB于F．(1)求證：AEC≌DEC；(2)連接BD，求證四邊形ABDC是菱形；(3)若F是AB的中點，EF＝3，求AE的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)AE的長為6【分析】（1）利用SAS即可證明△AEC≌△DEC；（2）先證明四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可解決問題；（3）證明△BEF∽△CED，可得，根據(jù)F是AB的中點，所以BF＝AB＝CD，進而可以解決問題．(1)證明：∵CB平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE，在△AEC和△DEC中，∴△AEC≌△DEC（SAS）．(2)連接BD，如圖所示：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ACE＝∠DCE，∴∠ABC＝∠DCB，∴AB∥CD，∵CD＝CA，∴AB＝CD，∴四邊形ABDC是平行四邊形，∵AB＝AC，∴四邊形ABDC是菱形；(3)∵AB∥CD，∴△BEF∽△CED，∴，∵F是AB的中點，∴BF＝AB＝CD，∴，∵EF＝3，∴DE＝6，∵△AEC≌△DEC，∴AE＝DE＝6，∴AE的長為6．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)AB∥CD得到△BEF∽△CED．22．(本題10分)第二十四屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月4日至2月20日在北京成功舉辦，北京成為歷史上第一座既舉辦過夏奧會又舉辦過冬奧會的“雙奧之城”．北京冬奧會的項目有滑雪（如高山滑雪、單板滑雪等），滑冰（如速度滑冰、花樣滑冰等），冰球，冰壺等．如圖，有4張形狀、大小、質(zhì)地均相同的卡片，正面分別印有速度滑冰、花樣滑冰、高山滑雪、單板滑雪4種不同的圖案，背面完全相同，其中速度滑冰、花樣滑冰為冰上項目，高山滑雪、單板滑雪為雪上項目．現(xiàn)將這4張卡片洗勻后正面向下放在桌子上．(1)從中隨機抽取1張，求抽出的卡片上恰好是冰上項目圖案的概率；(2)若印有速度滑冰、花樣滑冰、高山滑雪、單板滑雪4種不同圖案的卡片分別用A，B，C，D表示，從中隨機抽取一張卡片（不放回），再從余下的卡片中隨機抽取一張，試用畫樹狀圖或列表的方法求出抽到的卡片均是冰上項目圖案的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）求得總的結(jié)果數(shù)以及目標事件的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解即可；（2）用列表法或樹狀圖表示抽取的結(jié)果，求得總的結(jié)果數(shù)和目標事件的結(jié)果數(shù)，即可求解．(1)解：因為速度滑冰、花樣滑冰屬于冬奧會上的冰上項目，從四張卡片中隨機選一張，共有四種等可能結(jié)果，故恰好是冰上項日圖案的概率；(2)解：列表分析如下：或用樹狀圖表示，如下：∵共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的卡片均是冰上項目的圖案有2種情況，∴抽到的卡片均是冰上項日的圖案的概率：，即P（抽到的卡片均是冰上項目的圖案）．【點睛】本題考查了利用概率公式求概率，樹狀圖或列表法求概率，解題的關(guān)鍵是正確求得結(jié)果總數(shù)以及目標事件的結(jié)果數(shù)，掌握概率公式．23．(本題10分)以人工智能、大數(shù)據(jù)、物聯(lián)網(wǎng)為基礎的技術(shù)創(chuàng)新促進了新業(yè)態(tài)蓬勃發(fā)展，新業(yè)態(tài)發(fā)展對人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘軟件、硬件、總線、測試四類專業(yè)的畢業(yè)生，現(xiàn)隨機調(diào)查了所名新聘畢業(yè)生的專業(yè)情況，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題．(1)______，______．(2)請補全條形統(tǒng)計圖；(3)在扇形統(tǒng)計圖中，“軟件”所對應的扇形的圓心角是______度；(4)若該公司新招聘600名畢業(yè)生，請你估計“總線”專業(yè)的畢業(yè)生有多少名？【答案】(1)50，10(2)見解析(3)72(4)估計“總線”專業(yè)的畢業(yè)生有180名．【分析】（1）根據(jù)總線的人數(shù)和所占的百分比，可以求得m的值，然后即可計算出n的值；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和硬件所占的百分比，可以求得硬件專業(yè)的畢業(yè)生，從而可以將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）根據(jù)條形統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，可以計算出在扇形統(tǒng)計圖中，“軟件”所對應的扇形的圓心角的度數(shù)；（4）根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，可以計算出“總線”專業(yè)的畢業(yè)生的人數(shù)．(1)解：m=15÷30%=50，n%=5÷50×100%=10%，故答案為：50，10；(2)解：硬件專業(yè)的畢業(yè)生有：50×40%=20（人），補全的條形統(tǒng)計圖如圖所示；;(3)解：在扇形統(tǒng)計圖中，“軟件”所對應的扇形的圓心角是360°×=72°；故答案為：72；(4)解：600×30%=180（名），答：估計“總線”專業(yè)的畢業(yè)生有180名．【點睛】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．24．(本題10分)如圖，AB為的直徑，點C是上一點，過點A作的切線交BC的延長線于點D，連接AC．(1)求作：過點A作AE平分∠BAC交⊙O于點E；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，記AE與BD交于點F．①求證：DF＝AD；②若AB＝8，當四邊形COBE為菱形時，求CD的長．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②【分析】（1）以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點M、N，再分別以M、N為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于一點P，作射線AP交于點E，即可求解；（2）①連接BE，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，再由AE平分，可得，然后根據(jù)AB為的直徑，可得．從而得到，即可求證；②連接OE，根據(jù)四邊形COBE為菱形，可得△OBE是等邊三角形，進而得到∠ABC=∠CBE=30°，再由直角三角形的性質(zhì)，可得，，即可求解．(1)解：如圖，AE即為所求角平分線；(2)證明：①如圖，連接BE，∵AD是的切線，∴，∴，∵AE平分，∴，∵∠EBC=∠CAE，∴，∴，∵AB為的直徑，∴，∴，∴．∵，∴，∴；②如圖，連接OE，∵四邊形COBE為菱形，∴OB=BE，∠ABC=∠CBE，∵OE=OB，∴OB=OE=BE，∴△OBE是等邊三角形，∴∠OBE=60°，∴∠ABC=∠CBE=30°，∵AB為的直徑，∴∠ACB=90°，∴，∴，∵AD是的切線，∴∠BAD=90°，∴BD=2AD，∵AD2+AB2=BD2，∴AD2+82=（2AD）2，解得：，∴，∴．【點睛】此題圓的綜合題，主要考查了切線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，同角的余角相等，勾股定理，作角平分線的方法，判斷出ABOE是等邊三角形是解本題的關(guān)鍵．25．(本題10分)冰墩墩（BingDwenDwen），是2022年北京冬季奧運會的吉祥物．將熊貓形象與富有超能量的冰晶外殼相結(jié)合，頭部外殼造型取自冰雪運動頭盔，裝飾彩色光環(huán)，整體形象酷似航天員．冬奧會來臨之際，冰墩墩玩偶非常暢銷．小冬在某網(wǎng)店選中A，B兩款冰墩墩玩偶，決定從該網(wǎng)店進貨并銷售．兩款玩偶的進貨價和銷售價如表：價格類別A款玩偶B款玩偶進貨價（元/個）2015銷售價（元/個）2820(1)第一次小冬550元購進了A，B兩款玩偶共30個，求兩款玩偶各購進多少個．(2)第二次小冬進貨時，網(wǎng)店規(guī)定A款玩偶進貨數(shù)量不得超過B款玩偶進貨數(shù)量的一半．小冬計劃購進兩款玩偶共30個，應如何設計進貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？(3)小冬第二次進貨時采取了（2）中設計的方案，并且兩次購進的玩偶全部售出，請從利潤率的角度分析，對于小冬來說哪一次更合算？（注：利潤率=（利潤÷成本）×100%）．【答案】(1)A款玩偶購進20個，則B款玩偶購進10個(2)A款玩偶購進10個，則B款玩偶購進20個，才能獲得最大利潤，最大利潤是180元(3)第二次更合算【分析】（1）設A款玩偶購進a個，則B款玩偶購進（30-a）個，根據(jù)題意，列出方程，即可求解；（2）設獲得利潤w元，A款玩偶購進x個，則B款玩偶購進（30-x）個，根據(jù)題意，列出函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性，即可求解；（3）分別求出兩次的利潤率，即可求解．(1)解：設A款玩偶購進a個，則B款玩偶購進（30-a）個，根據(jù)題意得：，解得：，∴30-a=10，答：A款玩偶購進20個，則B款玩偶購進10個；(2)解：設獲得利潤w元，A款玩偶購進x個，則B款玩偶購進（30-x）個，根據(jù)題意得：，∵A款玩偶進貨數(shù)量不得超過B款玩偶進貨數(shù)量的一半．∴，解得：，∵，∴w隨x的增大而增大，∴當時，的值最大，最大值為3×10+150=180，答：A款玩偶購進10個，則B款玩偶購進20個，才能獲得最大利潤，最大利潤是180元；(3)解：第一次的利潤率為：，第二次的利潤率為：，∵，∴第二次更合算．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，一次函數(shù)的應用，明確題意，準確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．26．(本題10分)我們不妨約定：若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點關(guān)于原點對稱，則把該函數(shù)稱之為“D函數(shù)”，其圖象上關(guān)于原點對稱的兩點叫做一對“D點”根據(jù)該約定，完成下列各題．(1)在下列關(guān)于x的函數(shù)中，是“D函數(shù)”的，請在相應題目后面的括號中打“√”，不是“D函數(shù)”的打“×”，（）（_______）；（_______）；（_______）．(2)若點A（1，m）與點B（n，）是關(guān)于x的“D函數(shù)”（）的一對“D點”，且該函數(shù)的對稱軸始終位于直線的右側(cè)，求a，b，c的值或取值范圍；(3)若關(guān)于x的“D函數(shù)”（a，b，c是常數(shù)）同時滿足下列兩個條件：①；②；求該“D函數(shù)”截x軸得到的線段長度的取值范圍．【答案】(1)①√；②×；③√(2)(3)【分析】（1）根據(jù)“D函數(shù)”的定義判斷即可．（2）先根據(jù)題意求出m，n的取值，代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的關(guān)系，再根據(jù)對稱軸在x＝1的右側(cè)即可求解．（3）設該“D函數(shù)”的一對“D點”是：，代入函數(shù)解析式可得，由，，得，從而，再利用二次函數(shù)的根與系數(shù)關(guān)系即可求解．(1)解：①√②×③√(2)解：由題意可得：，則，從而：

解得，由，解得，從而，故，(3)解：顯然，否則，設該“D函數(shù)”的一對“D點”是：，依題意可得，從而，得，因為，，所以，所以，因為，所以，從而，設該“D函數(shù)”與軸的兩個交點分別是，令，得到，則由，可得，因為，所以，【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知識，“D函數(shù)”，“D點”的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．27．(本題10分)如圖，已知是的直徑，點在上，過點的直線與的延長線交于點，，．(1)求證：是的切線；(2)求的度數(shù)；(3)點是圓弧AB的中點，交于點，若，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)8【分析】（1）根據(jù)切線的判定定理可知，已知點C在圓上，故只需證明即可；根據(jù)圓周角定理以及，易得，進而可得∠PCB+∠OCB=90°，即，故PC是⊙O的切線．（2）通過證明，可得為等邊三角形，進而求得，所以可求．（3）連接MA，MB，由圓周角定理可得∠ACM=∠BCM，進而可得△MBN∽△MCB，故，代入數(shù)據(jù)可得．(1)解：，．又，，．又是的直徑，．．即，是的半徑．是的切線．(2)解：，，．又，，，是等邊三角形，，．(3)解：如圖所示：連接，，點是的中點，，．，．，．．．又是的直徑，，，．，．．【點睛】此題主要考查圓的切線的判定及圓周角定理的運用和相似三角形的判定和性質(zhì)的應用，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，學會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形是解決本題的關(guān)鍵．28．(本題14分)綜合與探究如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，點A，C的坐標分別為，連接．點P是y軸右側(cè)的拋物線上的一個動點．(1)求拋物線的函數(shù)表達式，并直接寫出點B的坐標；(2)連接，交直線于點D，當線段的值最小時，求點P的坐標；(3)點Q是坐標平面內(nèi)一點，是否存在點Q，使得以點A，C，P，Q為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)(3)存在，點Q的坐標為；【分析】（1）將點A和點C坐標代入拋物線