向量數(shù)乘運算及其幾何意義公開課

福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2016年度課題

“高中數(shù)學(xué)生成性教學(xué)的理論認(rèn)識和實踐研究”

編號：FJJKXB16—330

成果展示課第二章平面向量2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義

福建省德化第一中學(xué)吳志鵬

溫故知新如何求作兩個非零向量的和向量？首尾相連oABC起點相同OAB如何求作兩個非零向量的差向量？OAB共起點,連終點，指向被減向量終點.新知探究

問題1：相同的幾個數(shù)相加可以轉(zhuǎn)化為數(shù)乘運算，如3+3+3=3×3，那么相等的幾個向量相加是否也能轉(zhuǎn)化為數(shù)乘運算呢？那么數(shù)量乘向量是如何進行運算的呢？它們有什么幾何意義？思考1:已知非零向量，如何求作向量和

？探究一：向量的數(shù)乘運算及其幾何意義AOBCOMNPOP思考2：向量和分別如何簡化其表示形式？記為記為思考3：向量和與向量的大小和方向有什么系？OABCOMNP特別地，當(dāng)λ=0或=時,λ=(2)方向當(dāng)λ>0時,λ的方向與

方向相同；當(dāng)λ<0時,λ的方向與

方向相反；(1)長度

一般地，實數(shù)λ與向量

的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘運算，記作

。它的長度和方向規(guī)定如下：幾何意義：將的長度擴大（或縮小）|λ|倍，改變（不改變）的方向，就得到了λ

概念解析結(jié)論:(1)根據(jù)定義，求作向量與和(≠0)，并比較。(2)已知向量

求作向量，并比較。結(jié)論:（二）探究向量數(shù)乘運算律設(shè)λ、μ為實數(shù)，那么特別的，我們有

向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.對于任意向量，以及任意實數(shù)，恒有運算律：仍是向量

概念解析想一想：-2×

(5)=-10；2＋2=2(+)；

(3＋)=3＋.可轉(zhuǎn)化為什么運算？思考1：對于向量（）和，若存在實數(shù)λ，使，則向量與的方向有什么關(guān)系？思考1：對于向量（）和，若存在實數(shù)λ，使，則向量與的方向有什么關(guān)系？思考2：若向量（）與共線，則一定存在實數(shù)λ，使成立嗎？2)可以是零向量嗎?思考3:1)為什么要是非零向量?三、向量共線基本定理：向量與非零向量共線當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)，使得

概念解析思考4：將向量用兩個大寫字母表示得：若存在實數(shù)唯一實數(shù)使，則A、B、C三點的位置關(guān)系如何？2b3babOabABC例題：已知任意兩個非零向量，試作，你能判斷A、B、C三點之間的位置關(guān)系嗎？為什么？認(rèn)真想一想，你還有什么發(fā)現(xiàn)？D4babOabA如圖，已知任意兩個非零向量，試作，

你能判斷A、B、C三點之間的位置關(guān)系嗎？為什么？BC由上述結(jié)論你能總結(jié)出一般性結(jié)論嗎？ACBO問題2：一般化，你又能得到怎樣的結(jié)論？猜想：1：2：

還有其它結(jié)論嗎？解：∴與共線．練習(xí):已知試判斷與是否共線．ABCDE在本題中，若B、C分別是AD、AE的三等分點，你能否利用向量關(guān)系來證明BC‖DE呢？一、向量的數(shù)乘運算及定義二、向量的數(shù)乘運算律

課堂小結(jié)(3)證明三點共線的問題:向量共線定理及其的應(yīng)用:(2)有關(guān)向量共線問題:(4)