勾股定理 省賽獲獎(jiǎng)

歷史因你而改變學(xué)習(xí)因你而精彩第十七章勾股定理17.1勾股定理(一）數(shù)學(xué)組翁希凡情境引入相傳2500年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家里做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面中反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系．注意觀察，你能有什么發(fā)現(xiàn)？

畢達(dá)哥拉斯(公元前572----前492年),古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。情境引入換成下圖你有什發(fā)現(xiàn)？說(shuō)出你的觀點(diǎn).

等腰直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.

數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)：A、B、C的面積有什么關(guān)系？等腰直角三角形三邊有什么關(guān)系？SA+SB=SCABC等腰直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.課中探究其它直角三角形是否也存在這種關(guān)系？觀察下邊兩個(gè)圖并填寫下表:

圖1-3圖1-2C的面積B的面積A的面積169254913結(jié)論：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b,斜邊長(zhǎng)為c，那么勾股定理的由來(lái)這個(gè)定理在中國(guó)又稱為“商高定理”，商高是公元前十一世紀(jì)的中國(guó)人.當(dāng)時(shí)中國(guó)的朝代是西周，是奴隸社會(huì)時(shí)期.在中國(guó)古代大約是戰(zhàn)國(guó)時(shí)期西漢的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記錄著商高同周公的一段對(duì)話.商高說(shuō)：“…故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五.”商高那段話的意思就是說(shuō)：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長(zhǎng)邊）時(shí)，徑隅（就是弦）則為5.以后人們就簡(jiǎn)單地把這個(gè)事實(shí)說(shuō)成“勾三股四弦五”.由于勾股定理的內(nèi)容最早見于商高的話中，所以人們就把這個(gè)定理叫做“商高定理”.在中國(guó)古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”.我國(guó)古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長(zhǎng)的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.勾股

畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）是古希臘數(shù)學(xué)家，他是公元前五世紀(jì)的人，比商高晚出生五百多年.希臘另一位數(shù)學(xué)家歐幾里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在編著《幾何原本》時(shí)，認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥達(dá)斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個(gè)定理稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”，以后就流傳開了.

我國(guó)有記載的最早勾股定理的證明，是三國(guó)時(shí)，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在他所著的《勾股方圓圖注》中，用四個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)中空的正方形來(lái)證明的.每個(gè)直角三角形的面積叫朱實(shí)，中間的正方形面積叫黃實(shí)，大正方形面積叫弦實(shí)，這個(gè)圖也叫弦圖.２００２年的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)將此圖作為大會(huì)會(huì)徽．感受數(shù)學(xué)文化這個(gè)圖案是公元3世紀(jì)我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．趙爽根據(jù)此圖指出：四個(gè)全等的直角三角形（紅色）可以如圖圍成一個(gè)大正方形，中間的部分是一個(gè)小正方形（黃色）．勾股定理在數(shù)學(xué)發(fā)展中起到了重大的作用，其證明方法據(jù)說(shuō)有400多種，有興趣的同學(xué)可以繼續(xù)研究，或到網(wǎng)上查閱勾股定理的相關(guān)資料．c

b

a

（b-a）2黃實(shí)朱實(shí)請(qǐng)先用手中的全等直角三角形按圖示進(jìn)行擺放，然后根據(jù)圖示的邊長(zhǎng)，選擇其中一個(gè)圖形，分析其面積關(guān)系后證明.證明定理圖1圖2圖3嘗試應(yīng)用1、根據(jù)圖17.1-5你能寫出勾股定理的證明過(guò)程嗎？abc∵ab×4+(b-a)2=c2∴a2+b2=c22ab+（b2-2ab+a2）=c2自主證明圖1圖3證明：證明：美國(guó)第二十任總統(tǒng)加菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話.人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法.有趣的總統(tǒng)證法bcabcaABCD1.成立條件：在直角三角形中；3.作用：已知直角三角形任意兩邊長(zhǎng)，求第三邊長(zhǎng).2.公式變形:abc如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b,斜邊長(zhǎng)為c，那么勾股定理（注意：哪條邊是斜邊）1.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a=6，c=10，求b.小試身手2.在Rt△ABC中，∠B＝90°，a=3，b=4，求c.初步應(yīng)用定理練習(xí)3

求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度．ABC46x

CBA510x

初步應(yīng)用定理練習(xí)1求圖中字母所代表的正方形的面積．A

A

A

Ｂ2251448024178初步應(yīng)用定理練習(xí)2

如圖，所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，已知正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別是12，16，9，12．求最大正方形E的面積．

ABCDE初步應(yīng)用定理通過(guò)這種方法，可以把一個(gè)正方形的面積分成若干個(gè)小正方形的面積的和，不斷地分下去，就可以得到一棵美麗的勾股樹．此結(jié)論被稱為“勾股定理”.在Rt△ABC中，∠C=900

，邊BC、AC、AB所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c則存在下列關(guān)系，結(jié)論：直角三角形中，兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方.a2+b2=c2勾股弦cabBCA如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理∵∠C＝90°∴a2+b2=c2cabBCA嘗試應(yīng)用2、一個(gè)門框尺寸如圖17.1-7所示，一塊長(zhǎng)3m，寬2.2m的薄木板能否從門框內(nèi)通過(guò)？為什么？在RtΔABC中，根據(jù)勾股定理：AC2＝AB2+BC2＝12+22＝5所以，AC＝≈2.236而AC大于木板的寬，所以木板能從門框內(nèi)通過(guò)。勾股定理的運(yùn)用已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng)，求第三條邊長(zhǎng).a2=c2-b2b2=c2-a2c2=a2+b2例2：將長(zhǎng)為5米的梯子AC斜靠在墻上，BC長(zhǎng)為2米，求梯子上端A到墻的底端B的距離.CAB解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°∵BC=2，AC=5∴AB2=AC2-BC2=52-22=21∴

AB=（米）(舍去負(fù)值）求下列圖中表示邊的未知數(shù)x、y、z的值.①81144xyz②③做一做625576144169X=15Y=5Z=7比一比看誰(shuí)算得又快又準(zhǔn)！求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)x:可用勾股定理建立方程.勾股定理運(yùn)用:8x171620x125x做一做X=15X=12X=13

1、直角

ABC的兩直角邊a=5,b=12,c=_____

2、直角

ABC的一條直角邊a=10,斜邊c=26，則b=().３、已知：∠C＝90°，a=6，

a：b＝3：4，求b和c.cab13b=8c=1024比一比課堂反饋學(xué)習(xí)體會(huì)1.本節(jié)課你又那些收獲？2.預(yù)習(xí)時(shí)的疑難問(wèn)題解決了嗎？你還有那些疑惑？3.你認(rèn)為本節(jié)還有哪些需要注意的地方？當(dāng)堂達(dá)標(biāo)1．Rt

ABC的兩條直角邊a=3,b=4，則斜邊c

.2．已知：如圖18.1-4在△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各邊為在△ABC外作三個(gè)正方形分別表示這三個(gè)正方形的面積，則的邊長(zhǎng)為（）A.6B.36C.64D.83．若直角三角形兩直角邊分別為12，16，則此直角三角形的周長(zhǎng)為（）A.28B.36C.32D.48