2023年青海省西寧市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（一）

2023年青海省西寧市高考數(shù)學(xué)模擬試卷(理科)(一)

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.］知集合P={l,2,a},Q={x|一―9=0},且PCQ={3},則a=()

A.2B.3C.5D.-3

2.設(shè)則“|x—1|<1”是"/一2刀<0”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.1977年是高斯誕辰200周年，為紀(jì)念這位偉大的數(shù)學(xué)家對(duì)復(fù)

數(shù)發(fā)展所做出的杰出貢獻(xiàn)，德國(guó)特別發(fā)行了一枚郵票，如圖，

這枚郵票上印有4個(gè)復(fù)數(shù)，設(shè)其中的兩個(gè)復(fù)數(shù)的積(-5+6i)(7-

ni)=a+bi,則a+b=()

A.-7+117T

B.-35+6兀

C.42+5兀

D.7+Un

4.香農(nóng)-威納指數(shù)(H)是生態(tài)學(xué)中衡量群落中生物多樣性的一個(gè)指數(shù)，其計(jì)算公式是H=

-Zt=1Pi-log2Pi,其中n是該群落中生物的種數(shù)，訪為第i個(gè)物種在群落中的比例，如表為某

個(gè)只有甲、乙、丙三個(gè)種群的群落中各種群個(gè)體數(shù)量統(tǒng)計(jì)表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，該群落的香農(nóng)-

威納指數(shù)值為()

物種甲乙丙合計(jì)

個(gè)體數(shù)量300150150600

A.|B.|C.-|D.

5.如圖，在矩形4BCD中，M是CD的中點(diǎn)，若照=4而f+

〃荏，則/1+〃=()

B.1

6.2022年卡塔爾世界杯足球賽落幕，這是歷史上首次在卡塔爾和中東國(guó)家境內(nèi)舉行、也是

第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.有甲，乙，丙，丁四個(gè)人相互之間進(jìn)行傳球，從甲開(kāi)始傳

球，甲等可能地把球傳給乙，丙，丁中的任何一個(gè)人，以此類推，則經(jīng)過(guò)三次傳球后乙只接

到一次球的概率為（）

7.在空間中，給出下面四個(gè)命題，則其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

①過(guò)平面a外的兩點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與平面a垂直；

②若平面/?內(nèi)有不共線三點(diǎn)到平面a的距離都相等，貝b〃魚(yú)

③若直線1與平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，貝

④兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影一定是兩條相交直線.

A.0B.1C.2D.3

8.直角三角形的三邊滿足a<b<c,分別以a,b,c三邊為軸將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)

體的體積記為％,Vb,Vc,則（）

^.Vc<Vb<VaB.Va<Vb<VcC.Vc<Va<VbD.Vb<Va<Vc

9.古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（77ieaetetus,大約公元前417

年一公元前369年）通過(guò)下圖來(lái)構(gòu)造無(wú)理數(shù)5…，［斤二

t己NBZC=a,乙DAC=0,則cos（a+2夕）=（）/1

■1

10.己知函數(shù)/（X）=sin（3x+頡3>0）在區(qū)間（06）上的極值點(diǎn)有且僅有2個(gè)，則3的取值

范圍是（）

A4學(xué)D?［爵

11.己知Fi，尸2分別是雙曲線C：捻-，=l（a>0/>0）的左、右焦點(diǎn)，直線/經(jīng)過(guò)Fi且與C

左支交于P,Q兩點(diǎn)，P在以F1F2為直徑的圓上，|PQI：\PF2\=3：4,則C的離心率是（）

D.二

12.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2+x)+/(2—x)=0,函數(shù)/。一1)的圖象關(guān)于直線

x=l對(duì)稱，且/(1)=1,貝行(2023)=()

A.-1B.0C.1D.2

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.某市有30000名高中生參加了數(shù)學(xué)學(xué)科階段性學(xué)業(yè)水平考試，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，數(shù)學(xué)成績(jī)X服從

正態(tài)分布N(120,FJ2),若則成績(jī)?cè)诜忠陨系拇蠹s有人.

pqoo<x<120)=0.495,140

14.曲線y=X2-3X+21nx的切線中，斜率最小的切線方程為.

15.在銳角△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=1,B=60°,貝帕的取值

范圍為—.

16.1955年10月29日新疆克拉瑪依1號(hào)油井出油，標(biāo)致著新中

國(guó)第一個(gè)大油田的誕生，克拉瑪依大油泡是一號(hào)油井廣場(chǎng)上的

標(biāo)志性建筑，成為市民與游客的打卡網(wǎng)紅地，形狀為橢球型，

中心截面為橢圓，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在橢圓C：1+§=1上，若點(diǎn)4的

3627

坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)M滿足|力“'|=1,PM-AM=0?貝“可的最小值是

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

為慶祝黨的二十大的勝利召開(kāi)，培養(yǎng)擔(dān)當(dāng)民族復(fù)興的時(shí)代新人，某高校在全校開(kāi)展“不負(fù)韶

華，做好社會(huì)主義接班人”的宣傳活動(dòng).為進(jìn)一步了解學(xué)生對(duì)黨的“二十大”精神的學(xué)習(xí)情況,

學(xué)校開(kāi)展了“二十大”相關(guān)知識(shí)的競(jìng)賽活動(dòng)，現(xiàn)從參加該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，將

他們的競(jìng)賽成績(jī)(滿分為100分)分為5組：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得

到如圖所示的頻率分布直方圖：

(1)估計(jì)這100名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))；

(2)在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：競(jìng)賽成績(jī)不低于70分為“優(yōu)秀”，競(jìng)賽成績(jī)低于70分為“非

優(yōu)秀”.請(qǐng)將下面的2X2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“競(jìng)賽成績(jī)是否優(yōu)秀

與性別有關(guān)”？(精確到0.001)

2

n(ad-bc)其中,=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2>fc0)0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.（本小題12.0分）

如圖，在直三棱柱中，AC1BC,E為的中點(diǎn)，AC=1,CC、=BC=2.

（I）證明：4cleiE；

（n）求平面/EC】與平面ABC所成角的余弦值.

19.（本小題12.0分）

已知數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為無(wú),且滿足25九=3an-3.

(1)證明數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列；

(2)若數(shù)列｛%｝滿足匕=log3an,記數(shù)列｛遇一｝前n項(xiàng)和為乙，證明：!<7；<1.

°n'0n+l乙

20.(本小題12.0分)

已知橢圓C：1+與=l(a>b>0)的離心率為學(xué)，右焦點(diǎn)F2(c,0)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)重

ab3

合.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為Fi，過(guò)點(diǎn)。(-3,0)的直線/與橢圓C交于4,B兩點(diǎn)，左關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)

為M,證明：M,居，B三點(diǎn)共線.

21.(本小題12.0分)

己知函數(shù)/(x)=Inx+^%2-(a+l)x(aeR),g(x)=/(%)-^x2+(a+l)x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)任取兩個(gè)正數(shù)與，x2,當(dāng)%1<亞時(shí)，求證：gQi)一。。2)<筆譚.

22.(本小題10.0分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為匕：凳;旨sa,①為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極

點(diǎn)，入軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線［的極坐標(biāo)方程是2pcos8-psind-1=0.

(1)求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線1與曲線C交于4,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(0,-l),求向+高的值.

23.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(%)=|x-a|+|x-2|.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求不等式f(%)23的解集；

(2)若/(%)22a—1,求a的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由題意得、={-3,3},

又因?yàn)镻={l,2,a},且PnQ={3},

所以a—3.

故選：B.

解出集合Q={-3,3},利用交集含義即可得到答案.

本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：|x-l|<1,解得0<x<2,

x2-2x=x(x-2)<0,解得0<x<2,

故-<1”是“/—2xS0”的充分而不必要條件.

故選：A.

先解絕對(duì)值不等式和一元二次不等式，再根據(jù)充分、必要條件的定義，即可求解.

本題主要考查充分、必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：(—5+6i)(7-ni)=a+bi,

則一35+Sn-i+42i+6兀=-35+6乃+(5〃+42)i=a+bi,

故a=-35+6?r,b=5兀+42,

所以a+b=7+117T.

故選：D.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)相等的條件，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)相等的條件，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析1解：由題意知：H=xlog2麗+篇Xlog2篇+篇xlog2篇）

1111

+g+71、/111、3

2-4-Z024-4-，。叼）=_（_「一會(huì)=了

故選：A.

根據(jù)已知公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算直接計(jì)算求解即可.

本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：就=而+荏=俞+而+荏=宿+g荏，

??A1=1,4=21，

??"+4=|.

故選：C.

由向量的平行四邊形法則以及三角形法則得出前=府+g荏，進(jìn)而得出4+〃.

本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：傳球的結(jié)果可以分為：

分別傳給3人時(shí)：乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丁乙丙，丁丙乙，共6種；

若傳給2人時(shí)：乙丙乙，丙乙丙，乙丁乙，丁乙丁，丁丙丁，丙丁丙，共6種；

再傳給甲的：乙甲乙，丙甲丙，丁甲丁，乙丙甲，乙甲丙，乙丁甲，乙甲丁，丙乙甲，丙甲乙,

丁乙甲，丁甲乙，丙丁甲，丙甲丁，丁甲丙，丁丙甲，共15種；

共27種，只傳乙一次的有16種，所以所求概率為2=捺.

故選：D.

將所有傳球的結(jié)果列出，再利用古典概型求結(jié)果.

本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：對(duì)于①，當(dāng)過(guò)平面a外的兩點(diǎn)在垂直于平面a的直線上時(shí)，命題①不成立；

對(duì)于②，當(dāng)不共線三點(diǎn)在平面a,￡的兩側(cè)時(shí)，命題②不成立；

對(duì)于③，當(dāng)直線I與平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條平行線垂直時(shí)，命題③不成立；

對(duì)于④，當(dāng)兩條異面直線中有一條垂直于這個(gè)平面時(shí)，

它們?cè)谶@平面內(nèi)的射影就不再是兩條直線，而是一條直線和一個(gè)點(diǎn).故命題④不成立.

故選：A.

利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系直接判斷.

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論

證能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：???直角三角形的三邊滿足a<b<c,

分別以a,b,c三邊為軸將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積記為吃,力，匕，

■■V=7；xnxb2xa=\nab2=bx\abn,

a333

22

Vb=^XTIXaxb=^nab=axgabm

22

XT17ab、？21abab1.

Vc=-xnx(—)xc=-7T?—=—x-abn^

abab-ac,丁ab,ab—bc,八

v-c--a=----c---<0,--c----b=----c---<0,

：.^-<b<a,■■Vc<Vb<Va,

故選：A.

求出％=bx^abn,Vb=axgabjr,%=?xgabir,推導(dǎo)出,<b<a,從而得到匕V%V%.

本題考查三個(gè)錐體的體積的大小的比較，考查旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)、圓錐的體積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查

運(yùn)算求解能力，是中檔題.

9.【答案】A

【解析】解：由圖可知cosa=y，sina=cos^=音=?,sin/?=擊=?,

則s譏2夕=2sin(icos(i=2x?x1=與工,cos2G=2cos2(i—1=2(早產(chǎn)一1二J

所以cos(a+2Z?)=cosacos2B—sinasin2B=—x1?x=v^-4.

Li2.36

故選：/.

利用銳角三角函數(shù)求出cosa,sina,cosp,sinp,再利用兩角和的余弦公式和二倍角公式計(jì)算可

得.

本題主要考查了銳角三角函數(shù)定義及二倍角公式，和差角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】C

【解析】解：因?yàn)?>0,所以當(dāng)0<X<5時(shí)，有著<3%+看<釧+*

因?yàn)閒(x)在區(qū)間(0,芻上的極值點(diǎn)有且僅有2個(gè),結(jié)合函數(shù)圖象得苧<加+上浮解得?<3W學(xué),

所以3的取值范圍為學(xué)］,

故選：C.

利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及整體代換的技巧進(jìn)行處理.

本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

11.【答案】A

【解析】解：不妨設(shè)|PQ|=3k,|PF2|=4fc(fc>0),

因?yàn)镻在以FiF2為直徑的圓上，

所以PF11PF2,即PQ1PF2,則IQBI=5k,

因?yàn)镼在C的左支上，

所以IQ&I+\PF2\~\PQ\=(IQF2I-IQFi|)+(|PFz|—IPFiD，

即4k+5k-3k=4a,解得2a=3k,則|PFJ=IPF2I-2a=4k-3k=k,

因?yàn)镻F】J.PF2，

22

所以|尸/2『=|P6J+\PF2\,即4c2=17k,

故2c=y/~T7k,

故選：A.

根據(jù)P在以F/2為直徑的圓上，得到PF】1PF?,設(shè)|PQ|=3k,\PF2\=4k(k>0),得到IQF2I=5k,

由雙曲線定義得到4k+5k-3/c=4a,求出仍外|=匕由勾股定理求出2c=從而求出離

心率.

本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】C

【解析】解：由/(2+乃+〃2-刈=0,得f(4+x)=-/(一乃①，

又函數(shù)f(x-1)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即/(x)=/(t)②,

聯(lián)立①②兩式，可得/(4+x)=-/(-x)=-/(x),所以/(x+8)=/(x),

所以函數(shù)/(%)的一個(gè)周期為8,又/(I)=1,

所以“2023)=1(253>8-1)=〃-1)=/(1)=1,故A,B,。錯(cuò)誤.

故選：C.

利用函數(shù)的周期性及函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行計(jì)算求解.

本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

13.【答案】150

【解析】解：P(x>140)=0.5-P(120<x<140)=0.5-P(100<x<120)=0.5-0.495=

0.005,

.??成績(jī)?cè)?40分以上的大約有0.005x30000=150人，

故答案為：150.

根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性求解.

本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】x-y-3=0

【解析】解：,,,曲線y=/一3x+2"x,(%>0)

/=2x+--3=>2x2-3=l,

r

當(dāng)％=1時(shí)，ymin=此時(shí)斜率最小,即k=l,

當(dāng)％=1時(shí)，y=-2.此切線過(guò)點(diǎn)(1,一2)

???切線方程為y+2=1(%—1),BRx—y—3=0,

故答案為：x—y-3=0.

先求出曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由基本不等式求出導(dǎo)數(shù)的最小值，即得到曲線斜率的最小值.

此題主要利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上的某點(diǎn)切線方程，此題是一道基礎(chǔ)題，還考查直線的斜率.

15.【答案】（?,C）

【解析】解：在中，由正弦定理得急=白=短,

所以高=焉’即°=焉

因?yàn)殇J角△ABC,

所以0。<4<90。，0°<C<90°,即0。<4<90。，0°<120°-A<90°,解得30。<4<90。,

所以<sinA<1,

所以1＜之＜2,

故畀焉＜口即be（?，g

故答案為：（行,q）.

根據(jù)正弦定理得到b關(guān)于4加4的等式，根據(jù)銳角△ABC,求得角4的范圍，進(jìn)而求得b的取值范圍

即可.

本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】＜7

【解析】解：已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在橢圓C；1+4=1上，可得?2=。2-爐=36-27=9,所以c=3,

3627

因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0）,即可得4為橢圓的右焦點(diǎn)，

點(diǎn)M滿足|而7|=1，可得M在以4為圓心，以1為半徑的圓上，

又因?yàn)辂?祠=0，則可得PM為圓的切線，所以|兩|=J仍川2_「=’|P川2_i,

而P在橢圓上，所以|P4|€[a—c,a+c],即|P4|C[3,9],

所以|PA|2的最小值為8,

所以|麗|的最小值為，8-1=1,

故答案為：V-7-

由橢圓的方程可得a,b,c的值，由點(diǎn)M滿足|祠|=1，可得M在以4為圓心，以1為半徑的圓上，

然后根據(jù)麗?宿=0,可得P"為圓4的切線長(zhǎng)，由勾股定理可得|麗|的表達(dá)式，再求出|而|的

最小值.

本題考查橢圓的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系和切線長(zhǎng)的求法，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：(1)因?yàn)?0.010+0.030)x00=0.4<0,5,0.4+0.045X10=0.85>0.5,

所以競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)在［70,80)內(nèi).

設(shè)競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為m,則(m-70)x0.045+0.4=0.5,解得zn“72,

所以估計(jì)這100名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為72.

(2)由(1)知，在抽取的100名學(xué)生中，

競(jìng)賽成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”的有：100x(0.45+0.10+0.05)=100X0.6=60A,

由此可得完整的2x2列聯(lián)表：

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)

男203050

女401050

合計(jì)6040100

零假設(shè)為：競(jìng)賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別無(wú)關(guān).

因?yàn)?啜籬黯誓=限16667>6.635,

所以有99%的把握認(rèn)為“競(jìng)賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”.

【解析】(1)運(yùn)用頻率分布直方圖中位數(shù)計(jì)算公式可求得結(jié)果.

(2)計(jì)算出優(yōu)秀人數(shù)完成2x2列聯(lián)表，再運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷即可.

本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)公式，屬于中檔題.

軸、Z軸的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,如圖所示：

AB=Cg=2BC=2,AC1BC,則AC=/3，則C(0,0,0),G(0,0,2),4(門(mén),0,0),6(0,1,0),

設(shè)平面4EG的一個(gè)法向量為沅=(x,y,z),QE=(0,1,-1).碣=(一/號(hào),0,2)，

C-.E-m=y—z=0,—,—

則—..—,取z=則x=2,y=

ACX-m——v3x+2z=0

.??平面AEG的一個(gè)法向量而=

設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為記=(0,0,1)>

,，一一、?|沆叫7-3\T30

??.|cos<m,…=標(biāo)而二中五二年

故平面AEG與平面4BC所成角的余弦值為譽(yù).

【解析】(I)由題意得AC_LBC,GC1平面ABC,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定定理，即可證明結(jié)

論;

(II)建立以C為原點(diǎn)，以以、CB、GC所在直線為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,求

出平面AEG的一個(gè)法向量為沅，平面4BC的一個(gè)法向量為記，利用向量法，即可得出答案.

本題考查直線與平面的位置關(guān)系和平面與平面所成的角、空間向量的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形

結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力、直觀想象，屬于中檔題.

19.【答案】證明：(1)當(dāng)n>2(nGN*)時(shí)，25=2Sn-2Sn_r=3an-3-3an_1+3=3%-3an_lf

an=3an_1,即B7=3,

當(dāng)n=1時(shí)，2al=2sl=3al—3,:=3芋0,

故｛a,｝是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

(2)證明：由(1)可知，廝=3%

n

???3=log3an=log33=n,

...---1--=11=—1―—1-

bn-bn+1n(n+l)nn+1

111111111

?■-7；=(l-2)+(2-3)+(3-4)+--+(^rzri--)+(--^TT)

=1-+=^<L

當(dāng)n'2(neN*)時(shí)，〃一7；.】=^一品=嬴>0?

｛〃｝為遞增數(shù)列，故7；27\=

綜上所述，l<Tn<l.

【解析】(1)利用g=5"—5_1522,且7i€N*),可推出9=3,為常數(shù)，故而得證;

711

(2)由(1)可知a”=3”,于是垢=n,采用裂項(xiàng)相消法可求得〃=3<1；當(dāng)建22(n6N*)時(shí),

利用作差法可證得及—>0,即｛〃｝為遞增數(shù)列，故從而得證.

本題考查等比數(shù)列的判定方法、通項(xiàng)公式的求法以及數(shù)列的求和方法，采用了an=Sn-S吁1和裂

項(xiàng)相消法，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(I)???橢圓。的右焦點(diǎn)F2(c,0)與拋物線丫？=8%的焦點(diǎn)重合,

8-2

4一乙

又￡=與，b2=a2-c2

a3

.??a=yf~6yb2—2,

二橢圓C的方程為《+4=1.

62

(II)證明：由(I)知橢圓C的左焦點(diǎn)為F](—2,0),

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，其方程為：%=-3,此時(shí)直線]與橢圓C沒(méi)有交點(diǎn)，不符合題意;

當(dāng)直線I的斜率存在時(shí),設(shè)直線，的方程為y=/c(x+3),B(x2,y2),則叭血,一月).

把y=k(x+3)代入橢圓方程，消去y得(3攵2+1)%2+18/c2%+27k2-6=0,

.-.4=(18k2)2-4(3/c2+l)(27/c2-6)>0,解得/<

18k227/一6

???xr+x2=-3必+T%62-3k2+1?

???MF^=(—2—Xi，yi)?BF】=(一2一42,一乃)，

又為=又為+3),y2=又%2+3),

???(-2-%i)(-y2)—%(—2-%2)

=k(x2+3)(2+xx)++3)(2+x2)

左[5(%i+%2)+2%1%2+12]

18k2)+2，窯+12]=。，

=k[5x(―

3必+1

???麗與甌共線，即M、Fi、B三點(diǎn)共線.

【解析】(I)由橢圓C的右焦點(diǎn)F2(c,0)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)重合，可得c=2,由題意可得￡=字,

b2=a2-c2,解得a,b2,即可得出橢圓C的方程.

(II)當(dāng)直線，的斜率不存在時(shí),不符合題意；當(dāng)直線，的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y=k(x+3),

4(孫力)，8(%2，丫2)，可得M(%1，-%).把y=k(x+3)代入橢圓方程,消去y得(31+1沈2+

18k2》+271—6=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量共線定理即可證明結(jié)論.

本題考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量共線定理，

考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(l)((x)=：+ax—(a+l)=^^^(x>0).

當(dāng)a<0時(shí)，ax—1<0,令f'(x)>0,得0V%<1；令/'(X)<0,得%>1.

所以/(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

當(dāng)即a>l時(shí)，令/'(%)>0,得0Vx<，或%>1；令f'(x)V0,得2VxV1.

所以/'(X)在(0,；),(1,+8)上單調(diào)遞增，在(：,1)上單調(diào)遞減.

當(dāng);=1,即a=l時(shí)，(0)20恒成立，所以/Q)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng);>1,即0<a<l時(shí)，令/''(X)>0,得0<x<1或x>；；令((x)<0,得1cx<；.

所以/(乃在(0,1),?,+8)上單調(diào)遞增，在(1,?上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)aS0時(shí)，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)0<a<l時(shí)，/Xx)在(0,1),+8)上單調(diào)遞增，在(1,》上單調(diào)遞減：

當(dāng)Q=1時(shí)，/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>l時(shí)，/Q)在(0,；),(1,+8)上單調(diào)遞增，在C，l)上單調(diào)遞減；

(2)證明：由題意得，g(x)=Inx.

要證g。］)一9(上)<華富，只需證仇》］一)打<誓詈

即證In4<2(失人)即證］￡1<等2.

%2%1+^X乜+1

2x2

令t=3,te(0,1),則只需證》t<騎豈在te(0,1)上恒成立，

“2t+l

即證(t+l)/nt-2(t-1)<0在t6(0,1)上恒成立.

令九(t)=(t+l)Znt則》(t)=/nt+1-1,

令m(