第三節(jié)　等比數(shù)列

第三節(jié)等比數(shù)列1.理解等比數(shù)列的概念和通項公式的意義.2.探索并掌握等比數(shù)列的前n項和公式，理解等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系.3.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題.4.體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.定義一般地，如果一個數(shù)列從第

項起，每一項與它的前一項的

都等于同一個常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列通項公式設(shè){an}是首項為a1，公比為q的等比數(shù)列，則通項公式an＝

.推廣：an＝amqn－m(m，n∈N*)等比中項如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么___叫做a與b的等比中項．此時，G2＝ab比2a1qn－1G1．等比數(shù)列的有關(guān)概念(2)有窮等比數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項的積相等．特別地，若項數(shù)為奇數(shù)時，還等于中間項的平方．(3)由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗證a1≠0.(4)在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤．3．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6＝________.解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.答案：634．(蘇教版選擇性必修第一冊P150·例1改編)已知等比數(shù)列{an}的公比q＝－2，前6項和S6＝21，則a6＝________.5．(人教A版選擇性必修第二冊P31·T3改編)若正項等比數(shù)列{an}中，a1a3＝a2，a5＝27，則該數(shù)列的公比為________．層級一/基礎(chǔ)點——自練通關(guān)(省時間)基礎(chǔ)點等比數(shù)列基本量的運算

[題點全訓(xùn)]1．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項和為15，且a5＝3a3＋4a1，則a3＝(

)A．16

B．8

C．4

D．22．(2021·全國甲卷)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若S2＝4，S4＝6，則S6＝(

)A．7 B．8C．9 D．104．(2021·亳州模擬)《九章算術(shù)》中有述：“今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長一尺，蒲生日自半，莞生日自倍．”意思是：“今有蒲第一天長高3尺，莞第一天長高1尺，以后蒲每天長高前一天的一半，莞每天長高前一天的2倍．”請問當(dāng)莞長高到長度是蒲的5倍時，需要經(jīng)過的天數(shù)是

(

)(結(jié)果精確到0.1.參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.30，lg3＝0.48)A．2.9天

B．3.9天

C．4.9天

D．5.9天[一“點”就過](1)等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解．層級二/重難點——逐一精研(補欠缺)重難點(一)等比數(shù)列的判定與證明

[典例]已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an.(1)證明：數(shù)列{an＋an＋1}為等比數(shù)列；[方法技巧]等比數(shù)列的判定方法[針對訓(xùn)練]已知數(shù)列{an}，{cn}滿足cn＝2an＋1＋an.若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，試判斷數(shù)列{cn}是否為等比數(shù)列，并說明理由．[方法技巧](1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運算量，提高解題速度．(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進行適當(dāng)變形．此外，解題時注意設(shè)而不求思想的運用．[針對訓(xùn)練]1．(2022·衡水中學(xué)高三模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10＝1，S30＝7，則S40＝

(

)A．5

B．10

C．15

D．－20解析：因為等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S10＝1，S30＝7，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比數(shù)列，即1，S20－1,7－S20，S40－7成等比數(shù)列，所以(S20－1)2＝1×(7－S20)，解得S20＝3或S20＝－2(舍)，所以1,2,4，S40－7成等比數(shù)列，所以S40－7＝8，解得S40＝15，故選C.答案：C

3．(2022·長沙一模)在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，已知a1>1，其前n項積為Tn，且T15＝T8，則Tn取得最大值時，n的值是

(

)A．10 B．10或11C．11或12 D．12或13解析：因為等比數(shù)列的前n項積為Tn，且T15＝T8，所以a9·a10·a11·a12·a13·a14·a15＝1，所以a＝1，所以a12＝1，又a1>1，所以當(dāng)n≤11時，an>1，當(dāng)n≥13時，0<an<1，所以T11，T12為前n項積的最大值．答案：C

互嵌式數(shù)列組問題在解決互嵌式數(shù)列組的問題時，要注意到兩個數(shù)列之間的相互滲透和相互影響，既要能眼觀全局從整體入手，又要能抽絲剝繭進行單獨分析，并充分根據(jù)具體問題的結(jié)構(gòu)特點有針對性地進行解決．——————————————————————————————————[典例]已知數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，a1＝2，b1＝1，且an＋1＝a1＋2Tn.(1)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，求Sn；(2)若bn＋1＝b1＋2Sn，證明：數(shù)列{an＋bn}和{an－bn}均為等比數(shù)列．破解此類題的關(guān)鍵：一是用定義，即根據(jù)所給等式的特征，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)列相鄰兩項的差(比)的關(guān)系，利用等差(比)數(shù)列的定義，即可證明數(shù)列為等差(比)數(shù)列；二是用公式，即會利用等差(比)數(shù)列的通項公式，得到各個數(shù)列的通項所滿足的方程(組)，解方程(組)，即可求出數(shù)列的通項公式．[針對訓(xùn)練](2019·全國卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.(1)證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列；(2)求{an}和{bn}的通項公式．層級三/細微點——優(yōu)化完善(掃盲點)一、全面清查易錯易誤點1．(忽視等比數(shù)列中項的符號)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a5＝4，a9＝16，則a7＝(

)A．8 B．±8C．－8 D．15．(求等比數(shù)列的和漏項)一彈球從100米高處自由落下，每次著地后又跳回到原來高度的一半再落下，則第10次著地時所經(jīng)過的路程之和是(結(jié)果保留到個位) (

)A．300米

B．299米

C．199米

D．166米二、融會貫通應(yīng)用創(chuàng)新題6．(借助數(shù)學(xué)文化)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日五尺，問日織幾何？”意思是：“有一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這名女子每天分別織布多少？”某數(shù)學(xué)興趣小組依托某制造廠用織布機完全模擬上述情境，則從第一天開始，要使織布機織布的總尺數(shù)為165尺，所需的天數(shù)為

(

)A．7

B．8

C．9

D．107．(體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用)有一種細菌和一種病毒，每個細菌在每秒中殺死一個病毒的同時將自身分裂為3個，現(xiàn)在有一個這樣的細菌和110個這樣的病毒，則細菌將病毒全部殺死，至少需要

(

)A．4秒

B．5秒

C．6秒

D．7秒8．(創(chuàng)新命題形式)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，首項a1＝1，且2S2＋S4＝3S3.已知m，n∈N*，若存在正整數(shù)i，j(1＜i＜j