第二節(jié)　平面向量基本定理及坐標表示

1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個

向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝

.(2)基底：若e1，e2不共線，我們把

叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底．不共線λ1e1＋λ2e2{e1，e2}2．平面向量的坐標運算(1)平面向量運算的坐標表示(2)平面向量共線的坐標表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則向量a，b共線的充要條件為____________.x1y2－x2y1＝01．(人教A版必修第二冊P29·例4改編)已知a＝(3,6)，b＝(x，y)，若a＋3b＝0，則b＝

(

)A．(1,2) B．(－1，－2)C．(－1,2) D．(1，－2)答案：B3．(2021·全國乙卷)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，則λ＝________.層級一/基礎(chǔ)點——自練通關(guān)(省時間)基礎(chǔ)點平面向量的坐標運算

[題點全訓]4．已知向量a＝(m,2)，b＝(1,1)，若|a＋b|＝|a|＋|b|，則實數(shù)m＝________.[一“點”就過]利用向量的坐標運算解題時，首先利用加、減、數(shù)乘運算法則進行運算，然后根據(jù)“兩個向量相等當且僅當它們的坐標對應(yīng)相等”這一原則，轉(zhuǎn)化為方程(組)進行求解．[方法技巧](1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關(guān)系．(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．注意同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個基底下的分解都是唯一的．

[方法技巧]平面向量共線的坐標表示問題的解題策略(1)已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”．(2)在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)．

2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，則角C＝________.在向量問題中想不到應(yīng)用坐標法解題——————————————————————————————————本題先通過建立平面直角坐標系，引入向量的坐標運算，然后用三角函數(shù)的知識求出λ＋μ的最大值．引入向量的坐標運算使得本題比較容易解決，體現(xiàn)了用坐標法解決問題的優(yōu)勢．通過建立平面直角坐標系，引入向量的坐標運算，然后結(jié)合三角函數(shù)、解析幾何或函數(shù)等知識進行求解，凸顯了向量的代數(shù)特征．層級三/細微點——優(yōu)化完善(掃盲點)一、全面清查易錯易誤點1．(忽視兩向量作為基底的條件)已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，則a與b共線的條件為

(

)A．λ＝0 B．e2＝0C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0解析：當e1∥e2時，a∥e1，又b＝2e1，所以b∥e1，又e1≠0，故a與b共線；當λ＝0時，a＝e1，又b＝2e1，e1≠0，故a與b共線．答案：D

2．(忽視向量共線的充要條件)已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，則“m＝－3”是“a∥b”的

(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件解析：若m＝－3，則a＝(9，－9)＝9b，故a∥b；若a∥b，則－m2－(－9)×1＝0，解得m＝3或m＝－3.所以“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要條件．答案：A

二、融會貫通應(yīng)用創(chuàng)新題5．(結(jié)合新定義問題)若a，β是一組基底，向量γ＝xa＋yβ(x，y∈R)，則稱(x，y)為向量γ在基底a，β下的坐標．現(xiàn)已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐標為(－2,2)，則a在另一組基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐標為

(

)A．(2,0)

B．(0，－2)

C．(－2,0)

D．(0,2)9．(體現(xiàn)開放探究)對于n個向量a1，a2，a3，…，an，若存在n個不全為0的實數(shù)k1，k2，k3，…，kn，使得k1a1＋k2a2＋k3a3＋…＋knan＝0成立，則稱向量a1，a2，a3，…，an是線性相關(guān)的．按此規(guī)定，能使向量a1＝