人版-全等三角形講義

./全等三角形全等三角形性質(zhì)圖形全等：一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后,位置變化了,但形狀、大小都沒(méi)有改變,即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。"全等"用表示,讀作"全等于"全等三角形的定義：兩個(gè)三角形全等時(shí),通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上,如全等時(shí),點(diǎn)A和點(diǎn)D,點(diǎn)B和點(diǎn)E,點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn),記作。把兩個(gè)全等的三角形重合到一起,重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn),重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊,重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。1.下列說(shuō)法：①全等圖形的形狀相同、大小相等；②全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；③全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；④全等三角形的周長(zhǎng)、面積分別相等,其中正確的說(shuō)法為〔A．①②③④B．①③④C．①②④D．②③④2.如圖,△ABD≌△ACE,則AB的對(duì)應(yīng)邊是_______,∠BAD的對(duì)應(yīng)角是______．3.已知:如圖,△ABE≌△ACD,∠B=∠C,則∠AEB=_______,AE=______．4.如圖:△ABC≌△DCB,AB和DC是對(duì)應(yīng)邊,∠A和∠D是對(duì)應(yīng)角,則其它對(duì)應(yīng)邊是______________,對(duì)應(yīng)角是____________________．5.已知:如圖,△ABC≌△DEF,BC∥EF,∠A=∠D,BC=EF,則另外兩組對(duì)應(yīng)邊是____,另外兩組對(duì)應(yīng)角是_____．2題2題3題4題5題三角形全等的條件一〔SSS三角形有六個(gè)條件：三條邊和三個(gè)角如果兩個(gè)三角形滿足上述六個(gè)條件中的一個(gè)或兩個(gè)時(shí)有幾種情形,能否保證兩個(gè)三角形全等？滿足一個(gè)條件：①只有一條邊對(duì)應(yīng)相等； ②只有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等；結(jié)論：滿足兩個(gè)條件：①兩角對(duì)應(yīng)相等；②兩邊對(duì)應(yīng)相等；一邊一角對(duì)應(yīng)相等結(jié)論：如果兩個(gè)三角形滿足上述六個(gè)條件中的三個(gè)時(shí),有幾種可能的情況？?jī)蛇呉唤菍?duì)應(yīng)相等結(jié)論：兩角一邊對(duì)應(yīng)相等結(jié)論：三邊對(duì)應(yīng)相等結(jié)論：三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等結(jié)論：定義：如果兩個(gè)三角形的三條邊分別對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形全等．簡(jiǎn)寫(xiě)為"邊邊邊",或簡(jiǎn)記為〔S.S.S.。例1.已知：如圖,DE=CE,DF=CF．求證：△DEF≌△CEF．例2.已知：如圖,DA=CB,DB=CA．求證：△DAB≌△CBA．例3.已知：如圖AB=CD,AD=BC,求證：AD∥BC。例4..已知：如圖,點(diǎn)A、C、B、D在同一條直線上,AC=BD,AM=CN,BM=DN,求證：△AMB≌△CND．例6.已知AB=CD,BF=CE,AE=CF,問(wèn)AB∥CD嗎？例6.已知：如圖,AB=AE,AC=AD,BC=DE,C,D在BE邊上.求證：∠CAE=∠DAB．課堂練習(xí)：1.如圖,AB=AD,CB=CD,∠B=30°,∠BAD=46°,則∠ACD的度數(shù)是<>A.120°B.125°C.127°D.104°2.如圖,線段AD與BC交于點(diǎn)O,且AC=BD,AD=BC,則下面的結(jié)論中不正確的是<>A.△ABC≌△BADB.∠CAB=∠DBAC.OB=OCD.∠C=∠D3.如圖,AB=CD,BF=DE,E、F是AC上兩點(diǎn),且AE=CF．欲證∠B=∠D,可先運(yùn)用等式的性質(zhì)證明AF=________,再用"SSS"證明______≌_______得到結(jié)論．4.如圖,AD⊥BC,垂足為D,BD=CD.求證：△ABD≌△ACD.6.已知：如圖,AB=DC,BD=AC,AC,BD交于O．求證：△AOB≌△DOC．7.如圖,已知：AB=AC,BE=CE,E為AD上一點(diǎn),求證：∠BED=∠CED。8.已知：如圖,A、E、F、B在一條直線上,AC=BD,AE=BF,CF=DE。求證：AD∥BC課后練習(xí)：1.工人師傅常用角尺平分任意角,做法如下：如圖：∠AOB是一個(gè)任意角,在OA、OB上分別取OM=ON,移動(dòng)角尺,使角尺兩邊相同的刻度分別與M、N重合,過(guò)角尺頂點(diǎn)P的射線OP便是∠AOB的平分線。你知道這樣做的理由嗎？2.已知：如圖：BE=CF,AB=DE,AC=DF,求證：△ABC≌△DEF。3.如圖,AB=AC,BD=CD,求證：∠1=∠2．4.已知AC=BD,AE=CF,BE=DF,問(wèn)AE∥CF嗎？10.如圖,AC=BD,BC=AD,求證:△ABC≌△BAD．能力提高：1.如圖,AC=DF,BC=EF,AD=BE,∠BAC=72°,∠F=32°,則∠ABC=2.已知：如圖,E是AD上的一點(diǎn),AB=AC,AE=BD,CE=BD+DE．求證：∠B=∠CAE．3.如圖：AB=DC,BE=CF,AF=DE。<1>求證：△ABE≌△DCF;<2>CF∥BE.4.如圖,AD=BC,AB=DC.求證：∠A+∠D=180°.三角形全等的條件二<SAS>定義：如果兩個(gè)三角形有兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形全等．簡(jiǎn)寫(xiě)成"邊角邊"或簡(jiǎn)記為〔S.A.S.兩邊一角對(duì)應(yīng)相等結(jié)論：例1.如圖,AE=DB,BC=EF,BC∥EF,求證:△ABC≌△DEF．例2.如圖,AB＝AD,AC＝AE,∠BAE＝∠DAC,求證：△ABC≌△ADE．例3.已知:如圖,AD是BC上的中線,且DF=DE．求證:BE∥CF．例4.如圖,已知,等腰Rt△OAB中,∠AOB=90o,等腰Rt△EOF中,∠EOF=90o,連結(jié)AE、BF．求證：〔1AE=BF；〔2AE⊥BF．例5.如圖,在△ABE中,AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC,BC、DE交于點(diǎn)O.求證：<1>△ABC≌△AED；<2>OB＝OE.課堂練習(xí)：1.在△ABC和△A'B'C'中,要使△ABC≌△A'B'C',需滿足條件〔A.AB=A'B',AC=A'C',∠B=∠B'B.AB=A'B',BC=B'C',∠A=∠A'C.AC=A'C',BC=B'C',∠C=∠C'D.AC=A'C',BC=B'C',∠C=∠B'2.如圖,在∠AOB的兩邊上截取AO=BO,在AO和BO上截取CO=DO,連結(jié)AD和BC交于點(diǎn)P,則△AOD≌△BOC理由是〔A.ASAB.SASC.AASD.SSS4題2題3題4題2題3題3.如圖,在和中,已知,,根據(jù)〔SAS判定,還需的條件是〔A.B.C.D.以上三個(gè)均可以4.如圖,AD=AE,AB=AC,BE、CD交于F,則圖中相等的角共有___對(duì),〔除去∠DFE=∠BFC<>A.5B.4C.3D.26.如果兩個(gè)三角形全等,則不正確的是〔A.它們的最小角相等B.它們的對(duì)應(yīng)外角相等C.它們是直角三角形D.它們的最長(zhǎng)邊相等7.如圖,已知:△ABE≌△ACD,∠1=∠2,∠B=∠C,不正確的等式是〔A.AB=ACB.∠BAE=∠CADC.BE=DCD.AD=DE8題7題8題7題8.下圖中全等的三角形是〔A.Ⅰ和ⅡB.Ⅱ和ⅣC.Ⅱ和ⅢD.Ⅰ和Ⅲ9.如圖,已知∠1＝∠2,要使△ABC≌△ADE,還需條件〔A.AB=AD,BC=DEB.BC=DE,AC=AEC.∠B=∠D,∠C=∠ED.AC=AE,AB=AD10.已知：AD∥BC,AD=CB,求證：△ADC≌△CBA．11.如圖,△ABC中,AB＝AC,AD平分∠BAC,試說(shuō)明△ABD≌△ACD.12.如圖,AD＝BC,∠ADC＝∠BCD.求證：∠BAC＝∠ABD．13.如圖,已知:AC=DF,AC∥FD,AE=DB,求證:△ABC≌△DEF.14.如圖,在中,,分別以AB,AC為邊作兩個(gè)等腰直角△ABD和△ACE,使．〔1求的度數(shù)；〔2求證：．15.如圖：AB=AC,AD=AE,AB⊥AC,AD⊥AE.求證：〔1∠B=∠C,〔2BD=CE16.如圖∠BAC=∠DAE,∠ABD=∠ACE,BD=CE。求證：AB=AC。課后練習(xí)：1.下面各條件中,能使△ABC≌△DEF的條件的是〔A.AB=DE,∠A=∠D,BC=EFB.AB=BC,∠B=∠E,DE=EFC.AB=EF,∠A=∠D,AC=DFD.BC=EF,∠C=∠F,AC=DF2.如圖,AD,BC相交于點(diǎn)O,OA=OD,OB=OC．下列結(jié)論正確的是〔A.B.C.D.3.如圖,已知,,．下列結(jié)論不正確的有〔．A.B.C.AB=BCD.BD=CE4.如圖所示,△ABC與△BDE都是等邊三角形,AB<BD,若△ABC不動(dòng),將△BDE繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn),則旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,AE與CD的大小關(guān)系為<>A.AE=CDB.AE>CDC.AE<CDD.無(wú)法確定5.已知：如圖,CEAB,DFAB,垂足分別為E,F,AF=BE,且AC=BD,則不正確的結(jié)論是〔A.Rt△AEC≌Rt△BFDB.∠C+∠B=90°C.∠A=∠DD.AC∥BD.6.如果△ABC和△DEF全等,△DEF和△GHI全等,則△ABC和△GHI______全等,如果△ABC和△DEF不全等,△DEF和△GHI全等,則△ABC和△GHI______全等．〔填"一定"或"不一定"或"一定不"7.如圖,已知AB⊥BD于B,ED⊥BD于D,AB=CD,BC=DE,則∠ACE=____.8.已知如圖,F在正方形ABCD的邊BC邊上,E在AB的延長(zhǎng)線上,FB＝EB,AF交CE于G,則∠AGC的度數(shù)是______.9.如圖,△ABC是不等邊三角形,DE=BC,以D,E為兩個(gè)頂點(diǎn)作位置不同的三角形,使所作的三角形與△ABC全等,這樣的三角形最多可以畫(huà)出_____個(gè)．10.如圖,已知△ABC的六個(gè)元素,則下面甲、乙、丙三個(gè)三角形中和△ABC全等的圖形是。11.已知:如圖,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2.求證:∠3=∠4。12.已知:如圖,AB=AC,AE平分∠BAC.求證:∠DBE=∠DCE．13.如圖,已知:AD∥BC,AD=BC．求證:AB∥CD．14.已知:如圖,點(diǎn)B,E,C,F在同一直線上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF.求證:AC∥DF．15.已知:如圖,AD是BC上的中線,且DF=DE．求證:BE∥CF．16.如圖,在中,D是AB上一點(diǎn),DF交AC于點(diǎn)E,DE=FE,AE=CE,AB與CF有什么位置關(guān)系？說(shuō)明你判斷的理由。17.如右圖,已知DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分別是E、F,AE=CF,DC∥AB,〔1試證明：DE=BF；〔2連接DF、BE,猜想DF與BE的關(guān)系？并證明你的猜想的正確性．18.已知如圖,B是CE的中點(diǎn),AD=BC,AB=DC．DE交AB于F點(diǎn)。求證：〔1AD∥BC〔2AF=BF．19.已知:如圖,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2.求證:∠3=∠4。能力提高：1.觀察下列圖形,則第個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)是〔A. B. C. D.……第1個(gè)……第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)2.如圖,AD⊥AB,CB⊥AB,DM=CM=a,AD=h,CB=k,∠AMD=75°,∠BMC=45°,則AB的長(zhǎng)為<>A.aB.kC.D.h3.已知:如圖,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求證:BD=CE。4.如圖已知：ΔABC和ΔBDE是等邊三角形,D在AE延長(zhǎng)線上。求證：BD+DC=AD。5.已知：如圖,BE、CF是△ABC的高,分別在射線BE與CF上取點(diǎn)P與Q,使BP=AC,CQ=AB。求證：〔1AQ=AP；〔2AP⊥AQ6.如圖,△ABC為等邊三角形,點(diǎn)M,N分別在BC,AC上,且BM=CN,AM與BN交于Q點(diǎn)。求∠AQN的度數(shù)。7.已知C為AB上一點(diǎn),△ACN和△BCM是正三角形.<1>求證:AM=BN；<2>求∠AFN的度數(shù).8.如圖,已知△ABC的邊長(zhǎng)為1的正三角形,△BDC是頂角∠BDC=1200的等腰三角形,以D為頂點(diǎn)作一個(gè)600角,角的兩邊分別交AB于M,交AC于N,連MN形成△AMN,求證：△AMN的周長(zhǎng)等于2。9.已知在中,,AD平分交BC于D點(diǎn),求證：AC=AB+BD。10.如圖,△ABC是等腰直角三角形,其中CA=CB,四邊形CDEF是正方形,連接AF、BD.<1>觀察圖形,猜想AF與BD之間有怎樣的關(guān)系,并證明你的猜想；<2>若將正方形CDEF繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),使正方形CDEF的一邊落在△ABC的內(nèi)部,請(qǐng)你畫(huà)出一個(gè)變換后的圖形,并對(duì)照已知圖形標(biāo)記字母,題<1>中猜想的結(jié)論是否仍然成立？若成立,直接寫(xiě)出結(jié)論,不必證明；若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.11.五邊形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°,求證：AD平分∠CDE.三角形全等的條件三、四〔ASA,AAS定義：如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形全等．簡(jiǎn)記為"角邊角"或簡(jiǎn)記為<A.S.A.>。如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角及其其中一角的對(duì)邊分別對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形全等,簡(jiǎn)記為"角角邊"或簡(jiǎn)記為〔A.A.S兩角一邊對(duì)應(yīng)相等結(jié)論：?jiǎn)栴}：一塊三角形玻璃碎成如圖形狀4塊,配一塊與原來(lái)一樣的三角形玻璃DBDBCA〔2帶哪一塊呢？〔3帶D塊,帶去了三角形的幾個(gè)元素？另外幾快呢？例1.如圖,∠BDA=∠CEA,AE=AD．求證:AB=AC．例2.如圖,∠ACB=900,AC=BC,D為AB上一點(diǎn),AE⊥CD,BF⊥CD,交CD延長(zhǎng)線于F點(diǎn).求證：BF=CE.例3.如圖在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC的中線,過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AE于F,過(guò)B作BD⊥CB交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D?！?求證：AE=CD,〔2若BD=5㎝,求AC的長(zhǎng)。例4.如圖：在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB上一點(diǎn),AE⊥GD于E,BF⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于F。求證：AE=EF+BF。例5.如圖,已知在中,AD是角平分線,CF⊥AD交AB于F,垂足為M,CE∥AD交BA的延長(zhǎng)線于E,求證：AC=AE=AF。例6.如圖,△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,BD是∠ABC的平分線,BD的延長(zhǎng)線垂直于過(guò)C點(diǎn)的直線于E,直線CE交BA的延長(zhǎng)線于F．求證：BD=2CE．課堂練習(xí)1.已知：如圖,AC=CD,∠B=∠E=90°,AC⊥CD,則不正確的結(jié)論是<>A.∠A與∠D互為余角B.∠A=∠2C.△ABC≌△CEDD.∠1=∠22.在△ABC中,AC=5,中線AD=4,則邊AB的取值范圍是<>A.1<AB<9B.3<AB<13C.5<AB<13D.9<AB<133.如圖,點(diǎn)D,E,F,B在同一條直線上,AB∥CD,AE∥CF,且BF=DE,若BD=10,BF=2,則EF=_______4.已知：如圖,四邊形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC．求證：△ABD≌△CDB.5.如圖,,,試說(shuō)明△ABC≌△DCB.6.如圖,∠1＝∠2,∠B＝∠C.求證：AB＝AC.7.如圖：在△ABC中,AB=AC,AD和BE都是高,它們相交于點(diǎn)H,且AH=2BD.求證：AE=BE.8.已知:如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,F是AB的中點(diǎn),DF交CB延長(zhǎng)線于E,CE=CD.求證：∠ADE=∠EDC．9.如圖,ΔABC中,D是AC上一點(diǎn),BE∥AC,BE=AD,AE分別交BD、BC于點(diǎn)F、G．⑴圖中有全等三角形嗎？請(qǐng)找出來(lái),并證明你的結(jié)論．⑵若連結(jié)DE,則DE與AB有什么關(guān)系？并說(shuō)明理由．10.如圖,在△ABC中,∠C=2∠B,AD是△ABC的角平分線,∠1=∠B,求證AB=AC+AD.課后練習(xí)：1.如圖,∠A=∠D,OA=OD,∠DOC=50°,求∠DBC的度數(shù)為<>A.50°B.30°C.45°D.25°2.如圖,AB∥CD,AD∥BC,AC、BD相交于點(diǎn)O?！?由AD∥BC,可得=,由AB∥CD,可得=,又由,于是△ABD≌△CDB；〔2由,可得AD=CB,由,可得△AOD≌△COB；〔3圖中全等三角形共有對(duì)。3.如圖在ΔABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD交BE于F,若BF=AC,那么∠ABC的大小是4.已知：如圖,∠1=∠2,AB⊥BC,AD⊥DC,垂足分別為B、D.求證：AB=AD．5.如圖,∠1＝∠2,∠B＝∠D,求證:△ABC≌△ADC．6.如圖,∠C＝∠D,CE＝DE．求證:∠BAD＝∠ABC．7.如圖,四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于O點(diǎn),∠1=∠2,∠3=∠4．求證：〔1；〔2BO=DO．8.如圖,已知點(diǎn)B、C、E在一條直線上,AB=CD,AC=BD,DE∥AC,試說(shuō)明∠E=∠DBC。9.如圖,,,AC、BD交于點(diǎn),圖中共有幾對(duì)長(zhǎng)度相等的線段,你是通過(guò)什么辦法找到的？10.已知:如圖,AB∥CD,∠1=∠2,O是AD的中點(diǎn),EF、AD交于O．求證：O也是EF的中點(diǎn)．11.如圖,AD=BE,AC∥DF,BC∥EF,求證:△ABC≌△DEF．8.已知：如圖,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,F、C在直線BE上．求證：AB=DE,AC=DF．9.已知：在△ABC中,AD為BC邊上的中線,CE⊥AD,BF⊥AD。求證：CE=BF。10.已知：如圖AC⊥CD于C,BD⊥CD于D,M是AB的中點(diǎn),連結(jié)CM并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)F．求證：AC=BF．11.已知：如圖,E、D、B、F在同一條直線上,AD∥CB,∠BAD=∠BCD,DE=BF.求證：AE∥CF.12.已知：如圖,AE=BF,AD∥BC,AD=BC.AB、CD交于O點(diǎn)．求證：OE=OF．能力提高：1.已知:如圖,AD=DC,∠ADC=∠DEB=∠B=90°,四邊形ABCD的面積為16,則DE的長(zhǎng)為〔A.5B.4C.3D.22.三角形ABC中,AB=AC,在AB上取一點(diǎn)D,在AC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,使CE=BD,連結(jié)DE交BC于G,求證：DG=GE.3.已知：如圖,在△ABC中,AD是∠BAC的角平分線,E、F分別是AB、AC上的點(diǎn),且∠EDF+∠EAF=180°。求證：DE＝DF。4.在等邊三角形ABC中,AE=CD,AD,BE交于P點(diǎn),BQ⊥AD于Q．求證：BP=2PQ．5.如圖,點(diǎn)M為正△ABD的邊AB所在直線上的任意一點(diǎn)<點(diǎn)B除外>,作,射線MN與∠DBA外角的平分線交于點(diǎn)N,DM與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系?三角形全等的條件五定義：如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)直角三角形全等．簡(jiǎn)記為H．L定理．〔或斜邊直角邊．例1.如圖,有一個(gè)直角△ABC,∠C=90°,AC=10,BC=5,一條線段PQ=AB,P.Q兩點(diǎn)分別在AC和過(guò)點(diǎn)A且垂直于AC的射線AX上運(yùn)動(dòng),當(dāng)AP=時(shí),才能使ΔABC與ΔPQA全等.例2.已知：如圖,AB=CD,AE=DF,且AEBC于E,DFBC于F.求證：∠B=∠C。例3.已知：如圖,E,B,F,C四點(diǎn)在同一直線上,∠A=∠D=90°,BE=FC,AB=DF．求證：∠E=∠C例4.如圖,ABBC于B,ADDC于D,且CB=CD．求證：∠ABD=∠ADB.例5.證明:在直角三角形中,300所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。例6.已知：如圖,AD為△ABC的高,E為AC上一點(diǎn),BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD,求證：BE⊥AC。例7.已知：Rt△ABC中,∠ACB是直角,D是AB上一點(diǎn),BD=BC,過(guò)D作AB的垂線交AC于E,求證：CD⊥BE.課堂練習(xí)：1.能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是<>A.兩直角邊對(duì)應(yīng)相等 B.一銳角對(duì)應(yīng)相等 C.兩銳角對(duì)應(yīng)相等 D.斜邊相等2.兩個(gè)三角形有以下三對(duì)元素相等,則不能判定全等的是<>A.一邊和兩個(gè)角B.兩邊和它們的夾角C.三邊D.兩邊和一對(duì)角3.下列說(shuō)法中,錯(cuò)誤的是〔A.三角形全等的判定方法對(duì)判定直角三角形全等也適用B.已知兩個(gè)銳角不能確定一個(gè)直角三角形C.已知一個(gè)銳角和一條邊不能確定一個(gè)直角三角形D.已知一個(gè)銳角和一條邊可以確定一個(gè)直角三角形3.已知：如圖,AD=BC,AE,CF分別垂直BD于E、F,AE=CF,則圖中有____對(duì)相等的角<除直角外>．〔A.3B.4C.5D.64.已知：如圖,AC是∠BAD和∠BCD的角平分線,則△ABC≌△ADC用____判定．<>A.AAAB.ASA或AASC.SSSD.SAS5.如圖,Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=60°,延長(zhǎng)BC到D,使CD=AC則AC：BD=〔A．1：1B．3：1C．4：1D．2：36.如圖,在下列給出的四組條件下,不一定能推導(dǎo)出△ABD≌△EBC的條件是<>A.BE=BA,BD=BC,∠1=∠2B.∠3=∠4,∠1=∠2,AB=EBC.AB=EB,∠1=∠2,AD=ECD.AB=EB,∠1=∠2,∠C=∠D7.如圖,已知AB⊥AC,AC⊥CD,垂足分別是A,C,AD=BC。由此可判定全等的兩個(gè)三角形是△和△8.已知：如圖,AE,FC都垂直于BD,垂足為E、F,AD=BC,BE=DF．求證：OA=OC.9.已知：如圖,DN=EM,且DNAB于D,EMAC于E,BM=CN．求證：∠B=∠C.10.已知：如圖,BC是△ABC和△DCB的公共邊,AB=DC,AC=DB,AE、DF分別垂直BC于E,F．求證：AE=DF．11.已知：如圖,AB=CD,D、B到AC的距離DE=BF．求證：AB∥CD．12.已知：如圖,OC=OD,ADOB于D,BCOA于C.求證：EA=EB．13.如圖,已知：∠ACB和∠ADB都是直角,BC=BD,E是AB上任一點(diǎn),求證：CE=DE．14.已知：如圖,∠A=∠D=90°,AC,BD交于O,AC=BD.求證：OB=OC．15.如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90O,直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,AD⊥l,BE⊥l,垂足分別為D、E.求證：AD=CE。課后練習(xí)：1.下列條件中,不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是〔A.一條直角邊和一個(gè)銳角分別相等B.兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等C.斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等D.斜邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等2.在下列定理中假命題是〔A．一個(gè)等腰三角形必能分成兩個(gè)全等的直角三角形B．一個(gè)直角三角形必能分成兩個(gè)等腰三角形C．兩個(gè)全等的直角三角形必能拼成一個(gè)等腰三角形D．兩個(gè)等腰三角形必能拼成一個(gè)直角三角形3.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD、CE,分別是斜邊AB上的高與中線,CF是∠ACB的平分線。則∠1與∠2的關(guān)系是〔A．∠1<∠2B．∠1=∠2C．∠1>∠2D．不能確定4.在直角三角形ABC中,若∠C=900,D是BC邊上的一點(diǎn),且AD=2CD,則∠ADB的度數(shù)是〔A.30°B.60°C.120°D.150°5.如圖,已知BD⊥AE于B,C是BD上一點(diǎn),且BC=BE,要使Rt△ABC≌Rt△DBE,應(yīng)補(bǔ)充的條件是∠A=∠D或或或。6.如圖,在△ABC中,AD⊥BC于D,AD與BE相交于H,且BH=AC,DH=DC,那么∠ABC=度。7.如圖,AD∥BC,∠A=900,E是AB上一點(diǎn),∠1=∠2,AE=BC,求證：∠DEC=90°8.如圖所示,已知AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且BD＝CD．求證：BE=CF．9.已知BD＝CD,BF⊥AC,CE⊥AB．求證：D在∠BAC的平分線上．10.如圖,在△ABE和△ACD中,給出以下四個(gè)論斷：①AB=AC；②AD=AE③AM=AN④AD⊥DC,AE⊥BE．以其中三個(gè)論斷為題設(shè),填入下面的"已知"欄中,一個(gè)論斷為結(jié)論,填入下面的"求證"欄中,使之組成一個(gè)真命題,并寫(xiě)出證明過(guò)程已知：求證：11.已知在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝BC,AD為∠BAC的平分線,DE⊥AB,垂足為C．求證：△DBE的周長(zhǎng)等于AB．12.如圖,△ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB于E,AD=AC,AF平分∠CAE交CE于F．求證:FD∥CB。13.如圖,A、E、F、C在一條直線上,AE=CF,過(guò)E、F分別作DE⊥AC,BF⊥AC,若AB=CD。請(qǐng)回答下列問(wèn)題：〔1BD平分EF；〔2若將DEC的邊EC沿AC方向移動(dòng)變?yōu)閳D2時(shí)其余條件不變,上述結(jié)論是否成立,請(qǐng)說(shuō)明理由。能力提高：1.已知：∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分線,將三角板的直角頂P在射線OM上滑動(dòng),兩直角邊分別與OA、OB交于C、D．PC和PD有怎樣的數(shù)量關(guān)系,證明你的結(jié)論．2.如圖,已知在△ABC中,∠ACB=900,∠CAB=300,△ACD、△ABE都是等邊△,DE交AB于F,求證：DF=EF。3.已知BD、CE是△ABC的高,點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線上,BP=AC,點(diǎn)Q在CE上,CQ=AB。判斷線段AP和AQ的關(guān)系,并證明.4.如圖,點(diǎn)C在線段AB上,DA⊥AB,EB⊥AB,FC⊥AB,且DA=BC,EB=AC,FC=AB,∠AFB=51°,求∠DFE的度數(shù).角的平分線的性質(zhì)角平分線性質(zhì)：角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等。到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。角平分線的畫(huà)法：例1.已知O是△ABC三條角平分線的交點(diǎn),OD⊥BC于D,若OD＝5,△ABC的周長(zhǎng)等于20,則△ABC的面積等于S△ABC＝例2.如圖,ΔABD的三邊AB、BC、CA的長(zhǎng)分別是20、30、40、其中三條角平分線將ΔABD分為三個(gè)三角形,則S：S：S等于______.例3.如圖：在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABD=∠ABC,BC⊥DF,垂足為F,AF交BD于E。求證：AE=EF.例4.如圖：在△ABC中,∠B,∠C相鄰的外角的平分線交于點(diǎn)D。求證：點(diǎn)D在∠A的平分線上。例5.如圖所示,已知△ABC中,AD平分∠BAC,E、F分別在BD、AD上．DE=CD,EF=AC．求證：EF∥AB.例6.在△ABC中,AB>AC,AD是∠BAC的平分線．P是AD上任意一點(diǎn)．求證：AB-AC>PB-PC．例7.如圖,∠A+∠D=1800,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,點(diǎn)E在AD上．<1>探討線段AB、CD和BC之間的等量關(guān)系;<2>探討線段BE與CE之間的位置關(guān)系．例8.如圖,已知在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上一點(diǎn),延長(zhǎng)BE交AC于F,AF=EF,求證：AC=BE．課堂練習(xí)：1.如圖所示,在△ABC中,P為BC上一點(diǎn),PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,AQ＝PQ,PR＝PS,則下列三個(gè)結(jié)論中正確的是<>①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSPA．①和②B．②和③C．①和③D．全對(duì)2.如圖,AB=AC,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF交于點(diǎn)D,則①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③點(diǎn)D在∠BAC的平分線上,以上結(jié)論正確的是〔A.①②③ B.①② C.①③ D.②③3.在△ABC和△A'B'C'中,①AB=A'B';②BC=B'C';③AC=A'C;④∠A=∠A';⑤∠B=∠B';⑥∠C=∠C';則下列哪組條件不保證△ABC≌△A'B'C'．<>A.①②③B.①②⑤C.①⑤⑥D(zhuǎn).①②④4.如圖,已知點(diǎn)P到BE、BD、AC的距離恰好相等,則點(diǎn)P的位置：①在∠B的平分線上；②在∠DAC的平分線上；③在∠EAC的平分線上；④恰是∠B,∠DAC,∠EAC三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)。上述結(jié)論中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有〔A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)5.∠AOB的平分線上一點(diǎn)M,M到OA的距離為1.5cm,則M到OB的距離為_(kāi)_____6.如圖,AB∥CD,O是∠BAC、∠ACD的平分線的交點(diǎn),OE⊥AC于E,且OE＝2,則AB與CD間的距離等于7.已知ΔABC的周長(zhǎng)是15,∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC與點(diǎn)D,且OD=2,求ΔABC的面積。8.已知BD＝CD,BF⊥AC,CE⊥AB。求證：D在∠BAC的平分線上．9.如圖,在△ABC中,AD交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是BC中點(diǎn),EF∥AD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)G,若BG=CF,求證：AD為∠BAC的角平分線．10.已知△ABC,∠B=∠C,D,E分別是AB及AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),且BD=CE,連接DE交底BC于G,求證GD=GE．11.如圖,A,B兩點(diǎn)位于一個(gè)池塘的兩端,小麗想用繩子測(cè)量A、B間距離,但是繩不夠長(zhǎng)．你能幫她設(shè)計(jì)測(cè)量方案嗎?如不能,說(shuō)明困難在哪里；如果能,寫(xiě)出方案,并說(shuō)明其中的道理．課后練習(xí)：1.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD、CE,分別是斜邊AB上的高與中線,CF是∠ACB的平分線。則∠1與∠2的關(guān)系是〔A.∠1<∠2B.∠1=∠2C.∠1>∠2D.不能確定2.尺規(guī)作圖作∠AOB的平分線方法如下：以O(shè)為圓心,任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交OA、OB于C、D,再分別以點(diǎn)C、D為圓心,以大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線OP由作法得的根據(jù)是〔A．SASB．ASAC．AASD．SSS3.如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°．AD平分∠BAC,BE⊥AD交AC的延長(zhǎng)線于F,E為垂足．則結(jié)論：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是<>A．1B.2C．3D．44.如圖在RtΔABC中,∠C=90°,BD是∠ABC的平分線,交于點(diǎn)D,若CD=n,AB=m,則ΔABD的面積是_______5.已知：如圖,∠B=∠DEF,AB=DE,要說(shuō)明△ABC≌△DEF,〔1若以"ASA"為依據(jù),還缺條件.〔2若以"AAS"為依據(jù),還缺條件.〔3若以"SAS"為依據(jù),還缺條件.6.如圖,C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)〔不與點(diǎn)A,E重合,在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE、AD與BE交于點(diǎn)O,AD與BC交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)Q,連結(jié)PQ.以下五個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的結(jié)論有____________〔把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上。7.如圖,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B為垂足,AB交OM于點(diǎn)N．求證：∠OAB=∠OBA。8.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求證：AC-AB=2BE.9.已知,如圖,在四邊形ABCD中,BC＞AB,AD=DC,BD平分∠ABC.求證：∠BAD+∠BCD=180°.10.如圖：在△ABC中,∠A=60°,∠B,∠C的平分線BE,CF相交于點(diǎn)O。求證：OE=OF。11.已知AM為△ABC的中線,∠AMB,∠AMC的平分線分別交AB于E、交AC于F．求證：BE+CF>EF．能力提高：1.如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB于E,若AC=10cm,則△DBE的周長(zhǎng)等于<>A．10cmB．8cmC．6cmD．9cm2.如圖所示,表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有〔A.1處 B.2處 C.3處 D.4處3.如圖,已知AE平分∠BAC,BE上AE于E,ED∥AC,∠BAE=360,那么∠BED=4.已知在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝BC,AD為∠BAC的平分線,DE⊥AB,垂足為C．求證：△DBE的周長(zhǎng)等于AB．5.如圖,在△ABC中,D,E分別為AB,AC邊中點(diǎn),連接CD、BE并分別延長(zhǎng)至F、G,使BE=EG,CD=DF,連接FA,GA.求證：AF=AG.6.如圖：在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,D是AC上一點(diǎn),AE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于E,且AE=BD,DF⊥AB于F。求證：CD=DF。7.如圖,在四邊形ABCD中,AC平分∠BAD,過(guò)C作CE⊥AB于E,并且,求∠ABC+∠ADC的度數(shù)。8.如圖：AD是△ABC中∠BAC的平分線,過(guò)AD的中點(diǎn)E作EF⊥AD交BC的延長(zhǎng)線于F,連結(jié)AF。求證：∠B=∠CAF。9.已知△ABC中,AB=AC,BD為AB的延長(zhǎng)線,且BD=AB,CE為△ABC的AB邊上的中線．求證CD=2CE10.如圖,已知在△ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上一點(diǎn),且BE=AC,延長(zhǎng)BE交AC于F,AF與EF相等嗎？為什么？全等三角形復(fù)習(xí)一、選擇題：1.如圖,OA=OC,OB=OD,則圖中全等三角形共有〔A.2對(duì)B.3對(duì)C.4對(duì)D.5對(duì)2.下列各圖中,不一定全等的