重難點(diǎn)03 方程組與不等式的應(yīng)用（原卷版）

重難點(diǎn)03方程組與不等式的應(yīng)用方程組與不等式的應(yīng)用：列方程組或不等式解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟）——（1）審題，（2）設(shè)元，（3）列式，（4）求解，（5）檢驗(yàn)，（6）作答；期末試卷中通常會(huì)考察1道小題和1道大題，大題難度中等，處于稍微靠后的位置，多考察二元一次方程組與一元一次不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用的拼接題；（1）對(duì)于方程組的實(shí)際應(yīng)用題，設(shè)元的方法通常有兩種——直接設(shè)元法與間接設(shè)元法，當(dāng)問(wèn)題較為復(fù)雜時(shí)，可能需要設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元法，無(wú)論怎樣設(shè)元，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就要列幾個(gè)方程；（2）對(duì)于不等式的實(shí)際應(yīng)用題，要善于從“至少”、“最多”、“不超過(guò)”、“不低于”等“關(guān)鍵詞”中挖掘問(wèn)題中的不等關(guān)系。【題型1二元一次方程的實(shí)際應(yīng)用】1．（2022·揚(yáng)州·期末）為迎接2022年北京冬奧會(huì)，某校開(kāi)展了以迎冬奧為主題的演講活動(dòng)，計(jì)劃拿出180元錢全部用于購(gòu)買甲、乙兩種獎(jiǎng)品（兩種獎(jiǎng)品都購(gòu)買），獎(jiǎng)勵(lì)表現(xiàn)突出的學(xué)生，已知甲種獎(jiǎng)品每件15元，乙種獎(jiǎng)品每件10元，則購(gòu)買方案有A．5種 B．6種 C．7種 D．8種2．（2022·泰興·期末）小明在勻速行駛的汽車?yán)铮骋粋€(gè)時(shí)刻看到公路里程碑上的數(shù)是一個(gè)兩位數(shù)；30分鐘后，里程碑上的數(shù)字與第一次看到的兩位數(shù)正好互換了兩個(gè)數(shù)字的位置；再過(guò)20分鐘，里程碑上的數(shù)是在第一次看到的兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字中間添加了一個(gè)“0”．則第一次看到的里程碑上的數(shù)字為．【題型2二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用】1．如圖，正方形由四個(gè)相同的大長(zhǎng)方形，四個(gè)相同的小長(zhǎng)方形以及一個(gè)小正方形組成，其中四個(gè)大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是小長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬的2倍，若中間小正方形的面積為1，則大正方形的面積是A．16 B．20 C．25 D．362．（2022·蘇州·期末）在的方格中，每行、每列及對(duì)角線上的3個(gè)代數(shù)式的和都相等，我們把這樣的方格圖叫做“等和格”，如圖1的“等和格”中，每行、每列及對(duì)角線上的3個(gè)代數(shù)式的和都等于15．（1）在圖2的“等和格”方格圖中，可得（用含的代數(shù)式表示）（2）在圖3的“等和格”方格圖中，可得，；（3）在圖4的“等和格”方格圖中，可得．3．（2022·徐州·期末）《九章算術(shù)》記載：“今有牛五、羊二，值金十九兩；牛二、羊五，值金十六兩．問(wèn)牛、羊各值金幾何？”譯文如下：“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子．問(wèn)每頭牛、每只羊分別值多少兩銀子？”根據(jù)以上譯文，解決下列問(wèn)題：（1）求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？（2）某人計(jì)劃用17兩銀子買牛和羊（要求既有牛也有羊，且銀兩須全部用完），共有幾種不同的購(gòu)買方案？請(qǐng)列出所有可能的方案．4．（2022·連云港·期末）甲、乙兩公司全體員工踴躍參與“攜手防疫，共渡難關(guān)”捐款活動(dòng)，兩公司共捐款21600元，已知甲公司的人數(shù)比乙公司少30人，甲公司的人均捐款數(shù)是60元，乙公司的人均捐款數(shù)是70元．（1）甲、乙兩公司各有多少人？（2）現(xiàn)甲、乙兩公司共同使用這筆捐款購(gòu)買、兩種防疫物資，種防疫物資每箱1350元，種防疫物資每箱1080元．若購(gòu)買種防疫物資不少于10箱，并恰好將捐款用完，有幾種購(gòu)買方案？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出來(lái)（注、兩種防疫物資均需購(gòu)買，并按整箱配送）．5．（2022·南京·期末）某汽車租賃公司有、兩種型號(hào)的汽車．如果租賃型車5輛和型車7輛，一天共花費(fèi)3900元：如果租賃型車8輛和型車14輛，一天共花費(fèi)6800元．（1）求租賃、兩種型號(hào)的汽車各一輛，一天的花費(fèi)一共需多少元？（2）某單位在該公司租車一天的花費(fèi)為2500元，請(qǐng)直接寫出所有可能的租車方案．【題型3三元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用】1．（2022·連云港·期末）購(gòu)買鉛筆7支，作業(yè)本3個(gè)，中性筆1支共需18元；購(gòu)買鉛筆10支，作業(yè)本4個(gè)，中性筆1支共需24元；則購(gòu)買鉛筆11支，作業(yè)本5個(gè)，中性筆2支共需A．33元 B．32元 C．31元 D．30元2．（2022·連云港·期末）一個(gè)賓館有二人間、三人間、四人間三種客房供游客租住，某旅行團(tuán)25人準(zhǔn)備同時(shí)租用這三種客房共9間，如果每個(gè)房間都住滿，則租房方案共有A．4種 B．3種 C．2種 D．1種【題型4一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用】1．（2022·連云港·期末）商店購(gòu)進(jìn)每個(gè)10元的某種商品共200個(gè)，郵寄費(fèi)和優(yōu)惠率如下表：郵購(gòu)個(gè)數(shù)100以上（含郵寄費(fèi)用商品價(jià)格的免費(fèi)郵寄價(jià)格優(yōu)惠不優(yōu)惠優(yōu)惠（1）如果商店分兩次購(gòu)進(jìn)，總計(jì)金額1875元，兩次郵購(gòu)商品各多少個(gè)？（列方程解答）（2）如果商店一次性購(gòu)進(jìn)該批商品，然后再售出，已知該商品每個(gè)標(biāo)價(jià)16.2元，若商店每個(gè)以折出售且利潤(rùn)不低于，那么最低可以打幾折出售這批商品？2．（2022·淮安·期末）2020年初，由于新冠病毒的蔓延，口罩市場(chǎng)出現(xiàn)熱銷，小明的爸爸用18000元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)的口罩，在自家藥店銷售，銷售完后共獲利3900元，進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表所示：價(jià)格型號(hào)甲種型號(hào)口罩乙種型號(hào)口罩進(jìn)價(jià)（元袋）2030售價(jià)（元袋）2536（1）小明爸爸的藥店購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)的口罩各多少袋？（2）由于需求量大，口罩很快售完，小明的爸爸決定再一次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)的口罩共800袋．如果要使這800袋口罩全部售完后所得利潤(rùn)不低于4500元，那么至少需購(gòu)進(jìn)多少袋乙種型號(hào)的口罩？3．（2022·溧陽(yáng)·期末）疫情當(dāng)前，每一個(gè)中國(guó)人都應(yīng)該挺身而出，為戰(zhàn)勝疫情而努力付出．疫情期間，某口罩生產(chǎn)企業(yè)為戰(zhàn)勝疫情盡一份力，決定在原有生產(chǎn)機(jī)器的基礎(chǔ)上，增加生產(chǎn)力度，再購(gòu)進(jìn)6臺(tái)機(jī)器用于擴(kuò)大生產(chǎn)某種型號(hào)口罩．現(xiàn)有甲、乙兩種機(jī)器供選擇，其中每種機(jī)器的價(jià)格和每臺(tái)機(jī)器日生產(chǎn)該型號(hào)口罩的數(shù)量如表所示．經(jīng)過(guò)預(yù)算，本次購(gòu)買機(jī)器所耗資金不能超過(guò)34萬(wàn)元．甲乙價(jià)格（萬(wàn)元臺(tái)）75每臺(tái)日產(chǎn)量（萬(wàn)個(gè)）10060（1）按照企業(yè)要求可以有幾種購(gòu)買方案？（2）如果該企業(yè)共購(gòu)進(jìn)了6臺(tái)機(jī)器，同時(shí)要求日生產(chǎn)能力不能低于400萬(wàn)個(gè)，那么為了節(jié)約資金應(yīng)選擇哪種購(gòu)買方案？4．（2022·泰興·期末）某核酸檢測(cè)點(diǎn)開(kāi)始檢測(cè)時(shí)，已有名居民在等候檢測(cè)．檢測(cè)開(kāi)始后，仍有居民繼續(xù)前來(lái)排隊(duì)檢測(cè)，設(shè)居民按人分鐘的速度增加，每個(gè)窗口的檢測(cè)速度為人分鐘．若開(kāi)放一個(gè)檢測(cè)窗口，則需要25分鐘將排隊(duì)等候檢測(cè)的居民全部檢測(cè)完畢；若同時(shí)開(kāi)放兩個(gè)檢測(cè)窗口，則需要10分鐘將排隊(duì)等候檢測(cè)的居民全部檢測(cè)完畢．（1）若，求和的值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如果要在8分鐘內(nèi)將排隊(duì)等候檢測(cè)的居民全部檢票完畢，以便后來(lái)的居民能隨到隨檢，則至少要同時(shí)開(kāi)放幾個(gè)檢測(cè)窗口？5．（2022·揚(yáng)州·期末）某扶貧小組實(shí)施產(chǎn)業(yè)扶貧，幫助貧困農(nóng)戶進(jìn)行盆景的培植和銷售，在第一期培植銷售完成后，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，若2盆種盆景和1盆種盆景共獲利潤(rùn)340元；如果3盆種盆景和2盆種盆景共獲利潤(rùn)560元．（1）每盆種盆景、種盆景的利潤(rùn)各是多少元？（2）為更好服務(wù)于農(nóng)戶，扶貧小組決定進(jìn)行二期盆景培植，培植種、種盆景的總數(shù)量100盆，若要求第二期種盆景的數(shù)量不超過(guò)種盆景數(shù)量的3倍，當(dāng)種、種盆景各多少盆時(shí)，總利潤(rùn)最高，最高利潤(rùn)是多少？【題型5一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用】1．（2022·蘇州·期末）某商場(chǎng)有、兩種商品，每件的進(jìn)價(jià)分別為15元、35元．商場(chǎng)銷售5件商品和2件商品，可獲得利潤(rùn)45元；銷售8件商品和4件商品，可獲得利潤(rùn)80元．（1）求、兩種商品的銷售單價(jià)；（2）如果該商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)、兩種商品共80件，用于進(jìn)貨資金最多投入2000元，但又要確保獲利至少590元，請(qǐng)問(wèn)有哪幾種進(jìn)貨方案？2．（2022·淮安·期末）某貨運(yùn)公司有大小兩種貨車，3輛大貨車與4輛小貨車一次可以運(yùn)貨29噸，2輛大貨車與6輛小貨車一次可以運(yùn)貨31噸．請(qǐng)問(wèn)1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運(yùn)貨多少噸；目前有46.4噸貨物需要運(yùn)輸，貨運(yùn)公司擬安排大小貨車共10輛，全部貨物一次運(yùn)完，其中每輛大貨車一次運(yùn)貨花費(fèi)500元，每輛小貨車一次運(yùn)貨花費(fèi)300元，請(qǐng)問(wèn)貨運(yùn)公司應(yīng)如何安排車輛最節(jié)省費(fèi)用？3．（2022·揚(yáng)州·期末）接種新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是戰(zhàn)勝病毒的重要手段．北京科興中維需運(yùn)輸一批疫苗到我市疾控中心，據(jù)調(diào)查得知，2輛型冷鏈運(yùn)輸車與3輛型冷鏈運(yùn)輸車一次可以運(yùn)輸600盒；5輛型冷鏈運(yùn)輸車與6輛型冷鏈運(yùn)輸車一次可以運(yùn)輸1350盒．（1）求每輛型車和每輛型車一次可以分別運(yùn)輸多少盒疫苗．（2）計(jì)劃用兩種冷鏈運(yùn)輸車共12輛運(yùn)輸這批疫苗，型車一次需費(fèi)用5000元，型車一次需費(fèi)用3000元．若運(yùn)輸物資不少于1500盒，且總費(fèi)用小于54000元．請(qǐng)你列出所有運(yùn)輸方案，并指出哪種方案所需費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是多少？【題型6二元一次方程組或一元一次不等式（組）的綜合題】1．（2022·泰州·期末）對(duì)于未知數(shù)為，的二元一次方程組，如果方程組的解，滿足，我們就說(shuō)方程組的解與具有“鄰好關(guān)系”，（1）方程組的解與是否具有“鄰好關(guān)系”？說(shuō)明你的理由；（2）若方程組的解與具有“鄰好關(guān)系”，求的值：（3）未知數(shù)為，的方程，其中與、都是正整數(shù)，該方程組的解與是否具有“鄰好關(guān)系”？如果具有，請(qǐng)求出的值及方程組的解；如果不具有，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2022·鹽城·期末）【閱讀感悟】不等式可等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式線或，不等式也可等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式組或，我們把不等式與稱為同解不等式．【概念理解】（1）下列屬于同解不等式的是；①與；②與；③與；④與．【問(wèn)題解決】（2）解不等式：；【拓展延伸】（3）不等式的解是．3．（2022·鎮(zhèn)江·期末）小明的數(shù)學(xué)研學(xué)作業(yè)單上有這樣一道題：已知，且，，設(shè)，那么的取值范圍是什么？【回顧】小明回顧做過(guò)的一道簡(jiǎn)單的類似題目：已知：，設(shè)，那么的取值范圍是．（請(qǐng)你直接寫出答案）【探究】小明想：可以將研學(xué)單上的復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為上面回顧的類似題目．由得，則，由，，得關(guān)于的一元一次不等式組，解該不等式組得到的取值范圍為，則的取值范圍是．【應(yīng)用】（1）已知，且，，設(shè)，求的取值范圍；（2）已知是大于0的常數(shù)），且，，的最大值為（用含的代數(shù)式表示）；【拓展】若，且，，，設(shè)，且為整數(shù)，那么所有可能的值的和為．1．（2022·揚(yáng)州·期末）班級(jí)要用40元錢買、兩種型號(hào)的口罩，兩種型號(hào)口罩必須都買，已知型口罩每個(gè)6元，型口罩每個(gè)4元，在錢全部用盡的情況下，購(gòu)買方案有A．2種 B．3種 C．4種 D．5種2．（2022·連云港·期末）如圖，用8塊相同的長(zhǎng)方形地磚拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形圖案（地磚間的縫隙忽略不計(jì)），則每塊地磚的長(zhǎng)為．3．（2022·徐州）《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，該書(shū)第三卷記載：“今有獸六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，問(wèn)禽、獸各幾何？”譯文：今有一種6頭4腳的獸與一種4頭2腳的鳥(niǎo)，若獸與鳥(niǎo)共有76個(gè)頭與46只腳．問(wèn)獸、鳥(niǎo)各有多少？根據(jù)譯文，解決下列問(wèn)題：（1）設(shè)獸有個(gè)，鳥(niǎo)有只，可列方程組為；（2）求獸、鳥(niǎo)各有多少．4．（2022·蘇州·期末）某汽車專賣店銷售，兩種型號(hào)的新能源汽車．第一周售出1輛型車和3輛型車，銷售額為96萬(wàn)元；第二周售出2輛型車和1輛型車，銷售額為62元．（1）求每輛型車和型車的售價(jià)各為多少萬(wàn)元？（2）某公司準(zhǔn)備花540萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)，兩種型號(hào)的新能源汽車不超過(guò)25臺(tái)，問(wèn)兩種型號(hào)的車各購(gòu)買多少臺(tái)？5．（2022·南京·期末）某水果經(jīng)營(yíng)戶從水果批發(fā)市場(chǎng)批發(fā)水果進(jìn)行零售，其中蘋果和梨的批發(fā)價(jià)格與零售價(jià)格如表：品種蘋果梨批發(fā)價(jià)（元43.5零售價(jià)（元65（1）若該經(jīng)營(yíng)戶批發(fā)蘋果和梨共，用去了1900元．求該經(jīng)營(yíng)戶批發(fā)蘋果和梨各多少？（2）若該經(jīng)營(yíng)戶批發(fā)蘋果和梨共，假設(shè)蘋果和梨可以全部售完，該經(jīng)營(yíng)戶要想利潤(rùn)不少于675元，則至少批發(fā)蘋果多少？（損耗和其他成本忽略不計(jì)）6．（2022·南京·期末）截至12月25日，全國(guó)累計(jì)報(bào)告接種新型冠狀病毒疫苗超過(guò)12億劑次．為了滿足市場(chǎng)需求，某公司計(jì)劃投入10個(gè)大、小兩種車間共同生產(chǎn)同一種新型冠狀病毒疫苗，已知1個(gè)大車間和2個(gè)小車間每周能生產(chǎn)疫苗共35萬(wàn)劑，2個(gè)大車間和1個(gè)小車間每周能生產(chǎn)疫苗共40萬(wàn)劑，每個(gè)大車間生產(chǎn)1萬(wàn)劑疫苗的平均成本為90萬(wàn)元，每個(gè)小車間生產(chǎn)1萬(wàn)劑疫苗的平均成本為80萬(wàn)元．（1）該公司每個(gè)大車間、小車間每周分別能生產(chǎn)疫苗多少萬(wàn)劑？（2）若投入的10個(gè)車間每周生產(chǎn)的疫苗不少于135萬(wàn)劑，請(qǐng)問(wèn)一共有幾種投入方案，并求出每周生產(chǎn)疫苗的總成本最小值？7．（2022·連云港·期末）某家電超市經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種品牌的洗衣機(jī)、經(jīng)投標(biāo)發(fā)現(xiàn)，1臺(tái)甲品牌洗衣機(jī)進(jìn)價(jià)比1臺(tái)乙品牌洗衣機(jī)進(jìn)價(jià)貴500元：購(gòu)進(jìn)2臺(tái)甲品牌洗衣機(jī)和3臺(tái)乙品牌洗衣機(jī)共需進(jìn)貨款13500元．（1）購(gòu)進(jìn)1臺(tái)甲品牌洗衣機(jī)和1臺(tái)乙品牌洗衣機(jī)進(jìn)價(jià)各需要多少元？（2）超市根據(jù)經(jīng)營(yíng)實(shí)際情況，需購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種品牌的洗衣機(jī)總數(shù)為50臺(tái)，其中甲品牌洗衣機(jī)購(gòu)進(jìn)的臺(tái)數(shù)不少于乙品牌洗衣機(jī)臺(tái)數(shù)的3倍，且購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種品牌的洗衣機(jī)的總費(fèi)用不超過(guò)145250元．問(wèn)該超市共有幾種購(gòu)進(jìn)方案？試寫出所有的購(gòu)進(jìn)方案．8．（2022·宿遷·期末）某零食店購(gòu)進(jìn)、兩種網(wǎng)紅零食共100件，種零食進(jìn)價(jià)為每件8元，種零食進(jìn)價(jià)為每件5元，在銷售過(guò)程中，顧客買了3件種零食和2件種零食共付款65元，顧客乙買了2件種零食和3件種零食共付款60元．（1）求、兩種零食每件的售價(jià)分別是多少元？（2）若該零食店計(jì)劃、兩種零食的進(jìn)貨總投入不超過(guò)656元，