山東省青島市即墨區(qū)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年山東省青島市即墨區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題滿分30分，共有10道小題，每小題3分）1．下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x+1＝0 B． C．x2﹣1＝0 D．2．已知四條線段a，3，a+1，4是成比例線段，則a的值為（）A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3或﹣43．如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O是位似中心，若OE＝3OB，S△ABC＝4，則S△DEF＝（）A．9 B．12 C．16 D．364．近幾年，二維碼逐漸進(jìn)入了人們的生活，成為廣大民眾生活中不可或缺的一部分．小剛將二維碼打印在面積為16的正方形紙片上，如圖，為了估計(jì)黑色陰影部分的面積，他在紙內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在黑色陰影的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則據(jù)此估計(jì)此二維碼中黑色陰影的面積為（）A．9.6 B．0.6 C．6.4 D．0.45．若一元二次方程ax2+2x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜1 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)≤1且a≠0 D．a(chǎn)＜1且a≠06．有一個(gè)人患了流行性感冒，經(jīng)過兩輪傳染后共有144人患了流行性感冒，則每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)是（）A．14 B．11 C．10 D．97．ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，△BPC是等邊三角形，則△BPD的面積為（）A． B． C． D．8．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，DE：EC＝2：3，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，則DF：BF等于（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：29．如圖，D是△ABC邊AB上一點(diǎn)，添加一個(gè)條件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD?AB10．如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長(zhǎng)線分別交AD于點(diǎn)E、F，連接BD、DP，BD與CF相交于點(diǎn)H．給出下列結(jié)論：①；②∠PDE＝15°；③；④DE2＝PF?FC．其中正確的為（）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④二、填空題（本題滿分18分，共有6道小題，每小題3分）11．方程x2＝3x的解為：．12．一個(gè)口袋中有紅球，白球共20個(gè)，這些球除顏色外都相同．將口袋中的球攪拌均勻，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下它的顏色后再放回口袋中．不斷重復(fù)這一過程，共摸了100次球，發(fā)現(xiàn)有60次摸到紅球，估計(jì)這個(gè)口袋中紅球的數(shù)量為個(gè)．13．如圖，在某校的2022年新年晚會(huì)中，舞臺(tái)AB的長(zhǎng)為20米，主持人站在點(diǎn)C處自然得體，已知點(diǎn)C是線段AB上靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，則此時(shí)主持人與點(diǎn)A的距離為米．14．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是任意四邊形ABCD中AD，BD，BC，CA的中點(diǎn)．當(dāng)四邊形ABCD的邊至少滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F．連接EF，則線段EF的最小值是．16．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，F(xiàn)；②作直線EF；③以點(diǎn)B為圓心，以BA為半徑畫弧交直線EF于點(diǎn)G；④連接BG交AC于點(diǎn)P．則∠APB＝．三、作圖題（4分，用圓規(guī)和直尺作圖，不寫作法，保留痕跡）17．（4分）如圖所示，一塊兒三角形空地ABC，要在其內(nèi)部建一個(gè)菱形花園，使得B為菱形花園的一個(gè)頂點(diǎn)，其余3個(gè)頂點(diǎn)分別在△ABC的3條邊上．你能設(shè)計(jì)出此菱形花園嗎？四、解答題（本題滿分68分）18．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）2（x﹣1）2﹣＝0；（2）x2﹣2x＝4；（3）2x（x﹣3）＝3﹣x；（4）（3x﹣2）2＝4x2﹣4x+1．19．（6分）如圖，在△ABC中，CD∥EF，AF＝1，AD＝3，AE＝2．（1）求AC的長(zhǎng)；（2）若AB＝9，求證：△ABC∽△ADE．20．（6分）九年級(jí)1班近期為參加學(xué)校舉辦的海洋知識(shí)競(jìng)賽，決定要從A、B、C、D四名同學(xué)中隨機(jī)選出2名同學(xué)參賽．（1）請(qǐng)問選中B同學(xué)的概率是多少？（2）請(qǐng)利用樹狀圖或表格求出同時(shí)選中A、C兩名同學(xué)的概率．21．（6分）如圖，要利用一面墻（墻長(zhǎng)為25米）建一個(gè)矩形場(chǎng)地，用100米的圍欄圍成三個(gè)大小相同的矩形，設(shè)矩形的邊長(zhǎng)AB為x米，矩形場(chǎng)地的總面積為y平方米．（1）請(qǐng)用含有x的式子表示y（不要求寫出x的取值范圍）；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，矩形場(chǎng)地的總面積為400平方米？22．（8分）已知：如圖，在?ABCD中，AB＝BD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)．（1）求證：△ABF≌△CDE；（2）當(dāng)∠A＝°時(shí)，四邊形BEDF是正方形？請(qǐng)證明你的結(jié)論．23．（6分）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．梅涅勞斯（Menelaus）是公元一世紀(jì)時(shí)的希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，著有幾何學(xué)和三角學(xué)方面的許多書籍．梅涅勞斯發(fā)現(xiàn)，三角形各邊（或其延長(zhǎng)線）被一條不過任何一個(gè)頂點(diǎn)也不與任何一條邊平行的直線所截，這條直線可能與三角形的兩條邊相交（一定還會(huì)與一條邊的延長(zhǎng)線相交），也可能與三條邊都不相交（與三條邊的延長(zhǎng)線都相交）．他進(jìn)行了深入研究并證明了著名的梅涅勞斯定理（簡(jiǎn)稱梅氏定理）：設(shè)D，E，F(xiàn)依次是△ABC的三邊AB、AC、BC或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且這三點(diǎn)共線，則滿足．這個(gè)定理的證明步驟如下：情況①：如圖1，直線DE交△ABC的邊AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E，交邊BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．過點(diǎn)C作CG∥DF交AB于點(diǎn)G，則．（依據(jù)）∴．∴BF?AD?EC＝BD?AE?FC，即．情況②：如圖2，直線DE分別交△ABC的邊AB，AC，BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，E，F(xiàn)…（1）情況①中的依據(jù)指：．（2）請(qǐng)你根據(jù)情況①的證明思路完成情況②的證明．（3）如圖3，D、E分別是△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且AD：DB＝CE：EA＝4：5，連接DE并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，那么BF：CF＝．24．因粵港澳大灣區(qū)和中國(guó)特色社會(huì)主義先行示范區(qū)的雙重利好，深圳已成為國(guó)內(nèi)外游客最喜歡的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“網(wǎng)紅打卡地”東部華僑城景區(qū)在2020年春節(jié)長(zhǎng)假期間，共接待游客達(dá)20萬人次，預(yù)計(jì)在2022年春節(jié)長(zhǎng)假期間將接待游客達(dá)28.8萬人次．（1）求東部華僑城景區(qū)2020至2022年春節(jié)長(zhǎng)假期間接待游客人次的平均增長(zhǎng)率；（2）東部華僑城景區(qū)一奶茶店銷售一款奶茶，每杯成本價(jià)為6元，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，在旅游旺季，若每杯定價(jià)25元，則平均每天可銷售300杯，若每杯價(jià)格降低1元，則平均每天可多銷售30杯，2022年春節(jié)期間，店家決定進(jìn)行降價(jià)促銷活動(dòng)，則當(dāng)每杯售價(jià)定為多少元時(shí)，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可讓店家在此款奶茶實(shí)現(xiàn)平均每天6300元的利潤(rùn)額？25．（12分）矩形ABCD中，AC，BD為對(duì)角線，AB＝6cm，BC＝8cm，E為DC中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向，向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)以相同速度，從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，P、Q的速度都是1cm/秒，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．（0＜t＜6）（1）PQ∥AC時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；（2）PQ⊥BD時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)P，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△QCE相似？（4）連接PE，△PQE的面積能否達(dá)到矩形ABCD面積的三分之一，若能求出t的值；若不能，說明理由．2023-2024學(xué)年山東省青島市即墨區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題滿分30分，共有10道小題，每小題3分）1．下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x+1＝0 B． C．x2﹣1＝0 D．【分析】一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個(gè)未知數(shù)．由這四個(gè)條件對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個(gè)條件者為正確答案．解：A、方程2x+1＝0未知數(shù)的最高次數(shù)是1，屬于一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；B、是分式方程，故本選項(xiàng)不符合題意；C、x2﹣1＝0符合一元二次方程的定義；故本選項(xiàng)正確；D、是分式方程；故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡(jiǎn)后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．2．已知四條線段a，3，a+1，4是成比例線段，則a的值為（）A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3或﹣4【分析】根據(jù)比例線段的定義可得a：3＝（a+1）：4，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．解：∵四條線段a，3，a+1，4是成比例線段，∴a：3＝（a+1）：4，即3（a+1）＝4a，解得a＝3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段，解決本題的關(guān)鍵是掌握比例線段的定義．3．如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O是位似中心，若OE＝3OB，S△ABC＝4，則S△DEF＝（）A．9 B．12 C．16 D．36【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)得到BC∥EF，得到△OBC∽△OEF，求出，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算即可．解：∵△ABC與△DEF位似，∴BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴＝＝，∴＝（）2＝，∵S△ABC＝4，∴S△DEF＝36，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．4．近幾年，二維碼逐漸進(jìn)入了人們的生活，成為廣大民眾生活中不可或缺的一部分．小剛將二維碼打印在面積為16的正方形紙片上，如圖，為了估計(jì)黑色陰影部分的面積，他在紙內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落在黑色陰影的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則據(jù)此估計(jì)此二維碼中黑色陰影的面積為（）A．9.6 B．0.6 C．6.4 D．0.4【分析】用總面積乘以落入黑色部分的頻率穩(wěn)定值即可．解：經(jīng)過大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，據(jù)此可以估計(jì)黑色部分的面積為16×0.6＝9.6．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．5．若一元二次方程ax2+2x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜1 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)≤1且a≠0 D．a(chǎn)＜1且a≠0【分析】由一元二次方程ax2+2x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即可得判別式Δ＞0，a≠0，繼而可求得a的范圍．解：∵一元二次方程ax2+2x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴a≠0，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×a×1＝4﹣4a＞0，解得：a＜1且a≠0，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程判別式的知識(shí)．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即可得Δ＞0．6．有一個(gè)人患了流行性感冒，經(jīng)過兩輪傳染后共有144人患了流行性感冒，則每輪傳染中平均一個(gè)人傳染的人數(shù)是（）A．14 B．11 C．10 D．9【分析】患流行性感冒的人傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數(shù)中．設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，則第一輪傳染了x個(gè)人，第二輪作為傳染源的是（x+1）人，則傳染x（x+1）人，依題意列方程：1+x+x（1+x）＝144，解方程即可求解．解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，依題意得1+x+x（1+x）＝144，即（1+x）2＝144，解方程得x1＝11，x2＝﹣13（舍去），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】考查了一元二次方程的應(yīng)用，本題要注意的是，患流行性感冒的人把病毒傳染給別人，自己仍然是患者，人數(shù)應(yīng)該累加，這個(gè)問題和細(xì)胞分裂是不同的．7．ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，△BPC是等邊三角形，則△BPD的面積為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形面積計(jì)算公式，找到△BPD的面積等于△BCP和△CDP面積和減去△BCD的面積的等量關(guān)系，并進(jìn)行求解．解：△BPD的面積等于△BCP和△CDP面積和減去△BCD的面積因此本題求解△BCP、△CDP面積和△BCD的面積即可，S△BCP＝＝，S△CDP＝＝，S△BCD＝×1×1＝，∴S△BPD＝+﹣＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形面積的計(jì)算，考查了正方形對(duì)角線平分正方形為2個(gè)全等的等腰直角三角形．解決本題的關(guān)鍵是找到△BPD的面積等于△BCP和△CDP面積和減去△BCD的面積的等量關(guān)系．8．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，DE：EC＝2：3，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，則DF：BF等于（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)可得出AB∥CD且AB＝CD，結(jié)合DE：EC＝2：3可得出＝，由AB∥CD可得出△DEF∽△BAF，再利用相似三角形的性質(zhì)即可求出DF：BF的值．解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，且AB＝CD．∵DE：EC＝2：3，∴＝＝＝．∵AB∥CD，∴△DEF∽△BAF，∴＝＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合DE：EC＝2：3找出DE：BA的值是解題的關(guān)鍵．9．如圖，D是△ABC邊AB上一點(diǎn)，添加一個(gè)條件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD?AB【分析】直接利用相似三角形的判定方法分別分析得出答案．解：A、當(dāng)∠ACD＝∠B時(shí)，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此選項(xiàng)不合題意；B、當(dāng)∠ADC＝∠ACB時(shí)，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此選項(xiàng)不合題意；C、當(dāng)時(shí)，無法得出△ACD∽△ABC，故此選項(xiàng)符合題意；D、當(dāng)AC2＝AD?AB時(shí)，即，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．10．如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長(zhǎng)線分別交AD于點(diǎn)E、F，連接BD、DP，BD與CF相交于點(diǎn)H．給出下列結(jié)論：①；②∠PDE＝15°；③；④DE2＝PF?FC．其中正確的為（）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④【分析】由△BPC是等邊三角形和相似三角形的性質(zhì)，得出PE＝PF，進(jìn)而得到FC＝EB，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，得到，而BE＝CF，故①正確；根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，得出∠PDC＝75°，可判定②正確；由△FDN∽△CHB，得，由△BHC與△DHC同高，可知，則判定③正確，由△PED∽△DEB，得，則ED2＝PE?BE，可判定④正確．解：∵△BPC為等邊三角形，∴PB＝PC，∠PBC＝∠PCB＝60°，∵FE∥BC，∴△FEP∽△CPB，∴，∴PE＝PF，∴FC＝EB，∵∠PBC＝60°，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝30°，∴，又∵BE＝FC，∴，故①正確；∵PC＝BC＝CD，∠PCD＝90°﹣60°＝30°，∴，∴∠PDE＝∠ADC﹣∠PDC＝90°﹣75°＝15°，故②正確；∵FD∥BC，∴△FDH∽△CBH，∴，又∵△BHC與△DHC同高，∴，又∵，∠FCD＝90°﹣60°＝30°，∴，∴，故③正確；∵∠EPD＝180°﹣∠EPF﹣∠DPC＝180°﹣60°﹣75°＝45°＝∠ADB，∠PED＝∠PED，∴△PED∽△DEB，∴，∴ED2＝PE?BE，又∵PE＝PF，BE＝FC，∴DE2＝PF?FC，故④正確，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題滿分18分，共有6道小題，每小題3分）11．方程x2＝3x的解為：x1＝0，x2＝3．【分析】首先把方程移項(xiàng)，把方程的右邊變成0，然后對(duì)方程左邊分解因式，根據(jù)幾個(gè)式子的積是0，則這幾個(gè)因式中至少有一個(gè)是0，即可把方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程，從而求解．解：移項(xiàng)得：x2﹣3x＝0，即x（x﹣3）＝0，于是得：x＝0或x﹣3＝0．則方程x2＝3x的解為：x1＝0，x2＝3．故答案為：x1＝0，x2＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解法解二元一次方程，理解因式分解法解方程的依據(jù)是關(guān)鍵．12．一個(gè)口袋中有紅球，白球共20個(gè)，這些球除顏色外都相同．將口袋中的球攪拌均勻，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下它的顏色后再放回口袋中．不斷重復(fù)這一過程，共摸了100次球，發(fā)現(xiàn)有60次摸到紅球，估計(jì)這個(gè)口袋中紅球的數(shù)量為12個(gè)．【分析】用球的總個(gè)數(shù)乘以摸到紅球的頻率即可．解：估計(jì)這個(gè)口袋中紅球的數(shù)量為20×＝12（個(gè)），故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查用樣本估計(jì)總體，一般來說，用樣本去估計(jì)總體時(shí)，樣本越具有代表性、容量越大，這時(shí)對(duì)總體的估計(jì)也就越精確．13．如圖，在某校的2022年新年晚會(huì)中，舞臺(tái)AB的長(zhǎng)為20米，主持人站在點(diǎn)C處自然得體，已知點(diǎn)C是線段AB上靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，則此時(shí)主持人與點(diǎn)A的距離為（10﹣10）米．【分析】由黃金分割點(diǎn)的定義得AC＝AB，再代入AB的長(zhǎng)計(jì)算即可．解：∵點(diǎn)C是線段AB上靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，AB＝20米，∴AC＝AB＝×20＝（10﹣10）（米），故答案為：（10﹣10）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．14．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是任意四邊形ABCD中AD，BD，BC，CA的中點(diǎn)．當(dāng)四邊形ABCD的邊至少滿足AB＝CD條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形．【分析】首先利用三角形的中位線定理證出EF∥AB，EF＝AB，HG∥AB，HG＝AB，可得四邊形EFGH是平行四邊形，再根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，添加條件AB＝CD后，證明EF＝EH即可．解：需添加條件AB＝CD．∵E，F(xiàn)是AD，DB中點(diǎn)，∴EF∥AB，EF＝AB，∵H，G是AC，BC中點(diǎn)，∴HG∥AB，HG＝AB，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵E，H是AD，AC中點(diǎn)，∴EH＝CD，∵AB＝CD，∴EF＝EH，∴四邊形EFGH是菱形．故答案為：AB＝CD．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形中位線定理與菱性的判定方法，菱形的判別方法是說明一個(gè)四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：①定義；②四邊相等；③對(duì)角線互相垂直平分．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F．連接EF，則線段EF的最小值是．【分析】連接CD，利用勾股定理列式求出AB，判斷出四邊形CFDE是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等可得EF＝CD，再根據(jù)垂線段最短可得CD⊥AB時(shí)，線段EF的值最小，然后根據(jù)三角形的面積公式列出求解即可．解：如圖，連接CD．∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝＝13，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°，∴四邊形CFDE是矩形，∴EF＝CD，由垂線段最短可得CD⊥AB時(shí)，線段EF的值最小，此時(shí)，S△ABC＝BC?AC＝AB?CD，即×12×5＝×13?CD，解得：CD＝，∴EF＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，勾股定理，判斷出CD⊥AB時(shí)，線段EF的值最小是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于利用三角形的面積列出方程．16．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，F(xiàn)；②作直線EF；③以點(diǎn)B為圓心，以BA為半徑畫弧交直線EF于點(diǎn)G；④連接BG交AC于點(diǎn)P．則∠APB＝75°．【分析】連接AG，如圖，由作法得EF垂直平分AB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可證明△ABG為等邊三角形，則∠ABG＝60°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可計(jì)算出∠APB的度數(shù)．解：連接AG，如圖，由作法得EF垂直平分AB，∴GA＝GB，∵BG＝BA，∴AB＝BG＝AG，∴△ABG為等邊三角形，∴∠ABG＝60°，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAP＝45°，∴∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝180°﹣60°﹣45°＝75°．故答案為：75°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)．三、作圖題（4分，用圓規(guī)和直尺作圖，不寫作法，保留痕跡）17．（4分）如圖所示，一塊兒三角形空地ABC，要在其內(nèi)部建一個(gè)菱形花園，使得B為菱形花園的一個(gè)頂點(diǎn)，其余3個(gè)頂點(diǎn)分別在△ABC的3條邊上．你能設(shè)計(jì)出此菱形花園嗎？【分析】首先作∠B的角平分線交AC于點(diǎn)D，再過點(diǎn)D分別作DE∥BC，DF∥AB，交BC于點(diǎn)F，AB于點(diǎn)E，則四邊形BEDF為所求菱形．解：如圖所示：四邊形BEDF為所求菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，用到的知識(shí)點(diǎn)有角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定，熟記菱形的各種判定方法是解題關(guān)鍵．四、解答題（本題滿分68分）18．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）2（x﹣1）2﹣＝0；（2）x2﹣2x＝4；（3）2x（x﹣3）＝3﹣x；（4）（3x﹣2）2＝4x2﹣4x+1．【分析】（1）利用直接開平方法求解即可；（2）利用配方法去即可；（3）整理后，利用因式分解法求解即可；（4）利用因式分解法求解即可．解：（1）2（x﹣1）2﹣＝0，（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，∴x1＝，x2＝﹣．（2）x2﹣2x＝4，x2﹣2x+1＝4+1，即（x﹣1）2＝5，∴x﹣1＝，∴x1＝1+，x2＝1﹣．（3）2x（x﹣3）＝3﹣x，2x（x﹣3）+（x﹣3）＝0，（x﹣3）（2x+1）＝0，∴x﹣3＝0或2x+1＝0，∴x1＝3，x2＝﹣．（4）（3x﹣2）2＝4x2﹣4x+1，（3x﹣2）2﹣（2x﹣1）2＝0，[（3x﹣2）+（2x﹣1）][（3x﹣2）﹣（2x﹣1）]＝0，∴5x﹣3＝0或x﹣1＝0，∴x1＝，x2＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．19．（6分）如圖，在△ABC中，CD∥EF，AF＝1，AD＝3，AE＝2．（1）求AC的長(zhǎng)；（2）若AB＝9，求證：△ABC∽△ADE．【分析】（1）由平行線分線段成比例定理得到AF：AD＝AE：AC，代入有關(guān)數(shù)據(jù)即可求出AC＝6；（2）兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，由此即可證明問題．【解答】（1）解：∵CD∥EF，∴AF：AD＝AE：AC，∵AF＝1，AD＝3，AE＝2，∴1：3＝2：AC，∴AC＝6；（2）證明：∵AD＝3，AB＝9，AE＝2，AC＝6，∴AD：AB＝AE：AC，∵∠DAE＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定，平行線分線段成比例定理，關(guān)鍵是由CD∥EF，得到AF：AD＝AE：AC；證明AD：AB＝AE：AC．20．（6分）九年級(jí)1班近期為參加學(xué)校舉辦的海洋知識(shí)競(jìng)賽，決定要從A、B、C、D四名同學(xué)中隨機(jī)選出2名同學(xué)參賽．（1）請(qǐng)問選中B同學(xué)的概率是多少？（2）請(qǐng)利用樹狀圖或表格求出同時(shí)選中A、C兩名同學(xué)的概率．【分析】（1）根據(jù)概率公式直接求解即可；（2）畫出樹狀圖，數(shù)出所有的情況數(shù)和符合題意的情況數(shù)，再根據(jù)概率公式，即可求解．解：畫樹狀圖如圖：共有12種等可能的結(jié)果，選中B同學(xué)的結(jié)果有6種，同時(shí)選中A、C兩名向?qū)W的結(jié)果有兩種，（1）選中B同學(xué)的概率是；（2）A、C兩名同學(xué)被選中的概率為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了用樹狀圖或列表法求概率、概率公式，熟練掌握樹狀圖或列表法是解題的關(guān)鍵．21．（6分）如圖，要利用一面墻（墻長(zhǎng)為25米）建一個(gè)矩形場(chǎng)地，用100米的圍欄圍成三個(gè)大小相同的矩形，設(shè)矩形的邊長(zhǎng)AB為x米，矩形場(chǎng)地的總面積為y平方米．（1）請(qǐng)用含有x的式子表示y（不要求寫出x的取值范圍）；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，矩形場(chǎng)地的總面積為400平方米？【分析】（1）設(shè)AB的長(zhǎng)度為x米，則BC的長(zhǎng)度為（100﹣4x）米；（2）根據(jù)矩形的面積公式列出方程．解：（1）依題意得，BC＝100﹣4x．則y＝（100﹣4x）x．（2）設(shè)AB的長(zhǎng)度為x，則BC的長(zhǎng)度為（100﹣4x）米．根據(jù)題意得（100﹣4x）x＝400，解得x1＝20，x2＝5．則100﹣4x＝20或100﹣4x＝80．∵80＞25，∴x2＝5，舍去．即AB＝20，BC＝20．答：當(dāng)x的值為20時(shí)，矩形場(chǎng)地的總面積為400平方米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．22．（8分）已知：如圖，在?ABCD中，AB＝BD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)．（1）求證：△ABF≌△CDE；（2）當(dāng)∠A＝45°時(shí)，四邊形BEDF是正方形？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到DF＝，推出四邊形BEDF是平行四邊形，得到四邊形BEDF是矩形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BF＝DF＝AD，于是得到四邊形BEDF是正方形．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，∵AB＝BD，∴CD＝BD，∵E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，∴BF⊥AD，DE⊥BC，∴∠AFB＝∠CED＝90°，在△ABF與△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）解：當(dāng)∠A＝45°時(shí)，四邊形BEDF是正方形，證明：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，∴DF＝，∵AD＝BC，∴DF＝BE，∵DF∥BE，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∵BF⊥AD，∴∠BFD＝90°，∴四邊形BEDF是矩形，∵∠A＝45°，AB＝BD，∴∠A＝∠ADB＝45°，∴∠ABD＝90°，∴BF＝DF＝AD，∴四邊形BEDF是正方形，故答案為：45．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的判定，全等三角形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（6分）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．梅涅勞斯（Menelaus）是公元一世紀(jì)時(shí)的希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，著有幾何學(xué)和三角學(xué)方面的許多書籍．梅涅勞斯發(fā)現(xiàn)，三角形各邊（或其延長(zhǎng)線）被一條不過任何一個(gè)頂點(diǎn)也不與任何一條邊平行的直線所截，這條直線可能與三角形的兩條邊相交（一定還會(huì)與一條邊的延長(zhǎng)線相交），也可能與三條邊都不相交（與三條邊的延長(zhǎng)線都相交）．他進(jìn)行了深入研究并證明了著名的梅涅勞斯定理（簡(jiǎn)稱梅氏定理）：設(shè)D，E，F(xiàn)依次是△ABC的三邊AB、AC、BC或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且這三點(diǎn)共線，則滿足．這個(gè)定理的證明步驟如下：情況①：如圖1，直線DE交△ABC的邊AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E，交邊BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．過點(diǎn)C作CG∥DF交AB于點(diǎn)G，則．（依據(jù)）∴．∴BF?AD?EC＝BD?AE?FC，即．情況②：如圖2，直線DE分別交△ABC的邊AB，AC，BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，E，F(xiàn)…（1）情況①中的依據(jù)指：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．（2）請(qǐng)你根據(jù)情況①的證明思路完成情況②的證明．（3）如圖3，D、E分別是△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且AD：DB＝CE：EA＝4：5，連接DE并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，那么BF：CF＝25：16．【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理解決問題即可．（2）如圖2中，過點(diǎn)C作CG∥DF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．模仿情況①的方法解決問題即可．（3）利用結(jié)論解決問題即可．解：（1）情況①中的依據(jù)是：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．故答案為：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；（2）證明：過點(diǎn)C作CG∥DF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則，∴，∴BF?AD?EC＝BD?AE?FC，即；（3）如圖3中，∵，AD：DB＝CE：EA＝4：5，∴BF：CF＝25：16．故答案為：25：16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查梅涅勞斯定理與塞瓦定理，平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．24．因粵港澳大灣區(qū)和中國(guó)特色社會(huì)主義先行示范區(qū)的雙重利好，深圳已成為國(guó)內(nèi)外游客最喜歡的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“網(wǎng)紅打卡地”東部華僑城景區(qū)在2020年春節(jié)長(zhǎng)假期間，共接待游客達(dá)20萬人次，預(yù)計(jì)在2022年春節(jié)長(zhǎng)假期間將接待游客達(dá)28.8萬人次．（1）求東部華僑城景區(qū)2020至2022年春節(jié)長(zhǎng)假期間接待游客人次的平均增長(zhǎng)率；（2）東部華僑城景區(qū)一奶茶店銷售一款奶茶，每杯成本價(jià)為6元，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，在旅游旺季，若每杯定價(jià)25元，則平均每天可銷售300杯，若每杯價(jià)格降低1元，則平均