文科物理-第3章 現(xiàn)代物理學(xué) 第3節(jié) 混沌與分形

混沌與分形“混沌是令人振奮的，它開辟了簡(jiǎn)化復(fù)雜問(wèn)題的途徑；混沌是令人憂慮的，它給科學(xué)中建立模型的傳統(tǒng)方法帶來(lái)疑問(wèn)；混沌是令人神往的，它把數(shù)學(xué)、科學(xué)和技術(shù)聯(lián)姻；但最重要的混沌是美的化身！”混沌是20世紀(jì)物理科學(xué)中第三次大革命1“南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的一只蝴蝶，偶爾扇動(dòng)幾下翅膀，可以在兩周以后引起美國(guó)德克薩斯州的一場(chǎng)龍卷風(fēng)?！?蝴蝶效應(yīng)

牛頓發(fā)現(xiàn)并總結(jié)了運(yùn)動(dòng)定律，創(chuàng)立了萬(wàn)有引力理論，這些定律既能用來(lái)計(jì)算行星的規(guī)律，預(yù)測(cè)彗星的行蹤，計(jì)算宇宙飛船的發(fā)射，又能用于各種機(jī)械的運(yùn)行，解決日常的各種力學(xué)題．牛頓的成就帶給了科學(xué)界哲學(xué)思想上的確定論，也就是認(rèn)為一個(gè)系統(tǒng)的行為都是有規(guī)則的．一個(gè)系統(tǒng)，只要弄清楚它所處的環(huán)境，立出它的運(yùn)動(dòng)方程式，知道它的初始條件，則以后的運(yùn)動(dòng)狀況都可以計(jì)算出來(lái)。列出大氣運(yùn)動(dòng)方程，根據(jù)初始條件，能準(zhǔn)確預(yù)報(bào)天氣?3美國(guó)數(shù)學(xué)家、氣象學(xué)家洛倫茲。他選擇了帶有12個(gè)變量的方程組，反映了天氣的最主要因素。洛倫茲在他簡(jiǎn)陋的計(jì)算機(jī)上，把天氣簡(jiǎn)化到只剩下骨頭架子。但是，隨著洛倫茲的打印機(jī)一行一行地輸出，那風(fēng)和溫度的行為看起來(lái)真有點(diǎn)像在地球上的樣子。它們與洛倫茲心目中對(duì)天氣的直覺是一致的，如他想象的那樣自我重復(fù)，隨著時(shí)間的變化顯示出似曾相識(shí)的模式，氣壓時(shí)升時(shí)降，氣流忽南忽北。4

1961年冬季的一天，為了考察一條更長(zhǎng)的序列，洛倫茲走了一條捷徑。他沒有令整個(gè)計(jì)算從頭運(yùn)行，而是從中途開始。作為計(jì)算的初值，他直接打入了上一次的輸出結(jié)果。然后他穿過(guò)大廳下樓，清靜地去喝一杯咖啡。一個(gè)小時(shí)之后他回來(lái)時(shí)，看到了出乎意料的事。就是這件事播下了一門新科學(xué)的種子。5用0.506代替0.506127得到的代表氣候的曲線和原曲線分布如下圖6洛侖茲認(rèn)為，這件事反映了在大氣運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，即使誤差和不確定性很小，但也有可能在過(guò)程中將其積累起來(lái)，經(jīng)過(guò)一連串的逐級(jí)放大，最終形成巨大的大氣運(yùn)動(dòng)。也就是說(shuō)初始條件的微小變化，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的演變后，會(huì)導(dǎo)致結(jié)果發(fā)生很大的變化——也就是對(duì)初始條件的敏感依賴性。長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)是不可能的！7丟失一個(gè)釘子，壞了一只蹄鐵；壞了一只蹄鐵，折了一匹戰(zhàn)馬；折了一匹戰(zhàn)馬，傷了一位騎士；傷了一位騎士，輸了一場(chǎng)戰(zhàn)斗；輸了一場(chǎng)戰(zhàn)斗，亡了一個(gè)帝國(guó)。反映對(duì)初始條件的敏感依賴性的諺語(yǔ)有：差之毫厘謬以千里8蟲口問(wèn)題—邏輯斯蒂方程生命具有多樣性，種類繁雜而又撲朔迷離。千萬(wàn)個(gè)物種共同生活在地球這個(gè)巨大的容器中，他們通過(guò)相互作用而構(gòu)成生態(tài)系統(tǒng)，以維持生命共同演化。為了研究種群數(shù)量的演變，我們建立種群變化的模型。為了敘述上的方便，我們以某種無(wú)世代交疊的昆蟲為例，就是每年夏天成蟲產(chǎn)卵后全部死亡，第二年春天每個(gè)蟲卵又孵化出一只蟲子。9的最大取值為1，代表昆蟲達(dá)到飽和；最小為0，代表此物種滅絕。一般情況只能是小數(shù)了，如果取值是0.5，代表昆蟲數(shù)只有飽和值的一半。為單位計(jì)數(shù)的話，則用和第n代和第n+1代的昆蟲數(shù)。

由于食物有限和其他種群的捕殺等因素，昆蟲(實(shí)際上任何物種)是不可能無(wú)限增長(zhǎng)的，在一定的生存環(huán)境中都有一個(gè)所能允許的極限值(或稱飽和值)如果我們用飽和值10考慮食物有限和其他種群的捕殺等因素我們建立模型：一旦知道初始條件即可得到一系列的值：這個(gè)數(shù)值系列叫數(shù)值流，形成一條狀態(tài)演化的“軌道”。11種群數(shù)隨參數(shù)的變化：2穩(wěn)定值的交替4穩(wěn)定值的交替8穩(wěn)定值的交替16穩(wěn)定值的交替12倍周期分岔自相似的幾何結(jié)構(gòu)當(dāng)時(shí)，計(jì)算結(jié)果變得一片混亂，完全不可預(yù)測(cè)。這就叫做混沌。13混沌學(xué)的意義混沌的發(fā)現(xiàn)和混沌學(xué)的建立，同相對(duì)論和量子論一樣，是對(duì)牛頓確定性經(jīng)典理論的重大突破，為人類觀察物質(zhì)世界打開了一個(gè)新的窗口。所以，許多科學(xué)家認(rèn)為，20世紀(jì)物理學(xué)永放光芒的三件事是：相對(duì)論、量子論和混沌學(xué)的創(chuàng)立。14混沌現(xiàn)象的基本特征1、確定論系統(tǒng)的內(nèi)稟隨機(jī)性2、對(duì)初始條件的極度敏感性3、平庸吸引子4、奇怪吸引子5、混沌運(yùn)動(dòng)中的普適常數(shù)15分形“明天誰(shuí)不熟悉分形，誰(shuí)就不能被認(rèn)為是科學(xué)上的文化人”——美國(guó)物理學(xué)家惠勒161幾何圖形的維數(shù)我們從幾何中知道：直線的維數(shù)是1，方形、圓、橢圓等平面圖形的維數(shù)是2，立方體、球等立體圖形的維數(shù)是3。一般將維數(shù)理解為在圖形中確定一個(gè)點(diǎn)的位置需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。17是測(cè)度單位圖形得到的測(cè)量單元(線段、方形和立方體)數(shù)圖形的維數(shù)D定義為：這里的ε是測(cè)量單元的尺寸（測(cè)量光滑曲線用尺子、測(cè)量規(guī)則平面圖形用正方形或圓、測(cè)量規(guī)則立體圖形用立方體或球，測(cè)量的方法是用這些單元連續(xù)地覆蓋圖形)182規(guī)則分形和它們的分維2.1Cantor（康托爾）集三等分直線段，挖去中段，再把剩下的二段各三等分挖去中段，如此無(wú)限的進(jìn)行下去(圖2.1)得到由無(wú)窮多離散的點(diǎn)組成的cantor集(圖中為了醒目，將線段畫成有一定厚度)。19

Cantor集的維數(shù)測(cè)個(gè)圖Cantor集的總長(zhǎng)度202.2Koch（科赫）曲線挖去直線1／3中段后，加上等邊三角形的二邊，形成四段等長(zhǎng)線段組成的折線，如此無(wú)限進(jìn)行下去，形成處處連續(xù)、但處處不可微的Koch曲線21Koch曲線的分維為：22海岸線的長(zhǎng)度是多少？1967年曼德布羅特在《科學(xué)》上發(fā)表題為《英國(guó)海岸線有多長(zhǎng)?統(tǒng)計(jì)自相似性與分?jǐn)?shù)維數(shù)》的著名論文。此文的緣由在于曼德布羅特發(fā)現(xiàn)許多國(guó)家公布的公共邊界線存在極大的誤差，即大國(guó)公布的公共邊界線小，而小國(guó)公布的公共邊界線大。原因在于邊界線是一個(gè)復(fù)雜的曲線，所用的測(cè)量尺度越小，測(cè)量的長(zhǎng)度越大。測(cè)量海岸線長(zhǎng)度時(shí)人們發(fā)現(xiàn)，所用尺子越短，海岸線長(zhǎng)度就越長(zhǎng)，并且海岸線長(zhǎng)度沒有限度。23科赫曲線可以很好地模擬海岸線。同理，一個(gè)國(guó)家的國(guó)土面積也沒有限度，測(cè)量所用的矩形塊面積越小，測(cè)得的國(guó)土面積就越大。矩形塊面積趨于零時(shí)，國(guó)土面積趨于無(wú)窮大。馮·科赫于1904年通過(guò)初等方法構(gòu)造了這種處處不可微的連續(xù)曲線，并且討論了該曲線的性質(zhì)。由于該曲線的構(gòu)造極為簡(jiǎn)單，從而改變了人們認(rèn)為連續(xù)而不可微曲線的構(gòu)造一定非常復(fù)雜的看法。24特別重要的是，該曲線是第一個(gè)人為構(gòu)造的具有局部與整體相似的結(jié)構(gòu)，被稱為自相似結(jié)構(gòu)。252.3Sierpinski(謝爾賓斯基)圖形正三角形四等分成四個(gè)小三角形，挖去中間的一個(gè)，把剩下的三個(gè)小三角形四等分挖去中間的一個(gè)，如此無(wú)限的進(jìn)行下去得到面積趨于零、由無(wú)窮多線段組成的Sierpinski三角毯26Sierpinski

圖形分維27Sierpinski-Menger(謝爾賓斯基-門格爾)海綿立方體27等分（三個(gè)方向均三等分)成27個(gè)小立方體，挖去1個(gè)體心和6個(gè)面心位置上的小立方體，留下20個(gè)小立方體，如此無(wú)限進(jìn)行下去，得到和Siepinski圖形密切有關(guān)的Sierpinski-Menger海綿(圖2.4)。28利用立方體為測(cè)量單元并不斷縮小其尺寸為

得到圖形有個(gè)單元。

Sierpinski-Menger

海綿分形維數(shù)29自相似性

分形具有“粗糙和自相似”的直觀特點(diǎn)。一個(gè)系統(tǒng)的自相似性是指某種結(jié)構(gòu)或過(guò)程的特征從不同的空間尺度或時(shí)間尺度來(lái)看都是相似的，或者某系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的局域性質(zhì)或局域結(jié)構(gòu)與整體類似。另外，在整體與整體之間或部分與部分之間，也會(huì)存在自相似性。一般情況下自相似性有比較復(fù)雜的表現(xiàn)形式，而不是局域放大一定倍數(shù)以后簡(jiǎn)單地和整體完全重合。

30人們?cè)谟^察和研究自然界的過(guò)程中，認(rèn)識(shí)到自相似性可以存在于物理、化學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、材料科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)，以及社會(huì)科學(xué)等眾多的科學(xué)之中，可以存在于物質(zhì)系統(tǒng)的多個(gè)層次上，它是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)、發(fā)展的一種普遍的表現(xiàn)形式，即是自然界普遍的規(guī)律之一。下面舉幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明自相似性。太陽(yáng)系的構(gòu)造與原子的結(jié)構(gòu)作一對(duì)比，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)系統(tǒng)在某些方面具有驚人的相似。雖然這兩個(gè)系統(tǒng)在自然界中尺度相差如此懸殊，但它們物質(zhì)系統(tǒng)之間存在著自相似的性質(zhì)。31一棵大樹由許多樹枝和樹葉組成，若把一根樹枝與該棵大樹相比，在構(gòu)成形式上完全相似。又會(huì)發(fā)現(xiàn)該樹枝上分叉長(zhǎng)出來(lái)的更小的細(xì)枝條，仍具有大樹構(gòu)成的特點(diǎn)。當(dāng)然，這只能是在一定尺度上呈現(xiàn)相似性，不會(huì)無(wú)限擴(kuò)展下去。另外，樹枝與樹枝之間，樹葉與樹葉之間，也呈現(xiàn)出明顯的自相似性。再仔細(xì)觀察樹葉的葉脈，也可以發(fā)現(xiàn)類似的自相似結(jié)構(gòu)。32由上面我們可以看到，自然界的分形，其自相似性并不是嚴(yán)格的，而是，在統(tǒng)計(jì)意義下的自相似性，海岸線也是其中一個(gè)例子。凡是滿足統(tǒng)計(jì)自相似性的分形稱之為無(wú)規(guī)分形。另外，還有所謂有規(guī)分形,這類分形,由于它是按一定的數(shù)學(xué)法則呈現(xiàn)，因此具有嚴(yán)格的自相似性。所謂Koch曲線，就是屬于有規(guī)分形。33由部分是以自身同等的方式存在于整體之中的傳統(tǒng)看法，進(jìn)而認(rèn)識(shí)到部分以與整體相似的方式存在于整體之中。這是人類認(rèn)識(shí)史上的一大進(jìn)步，具有深遠(yuǎn)的哲學(xué)意義。自相似性為我們理解部分與整體的辯證關(guān)系提供了新的科學(xué)依據(jù)。分形理論已經(jīng)對(duì)方法論和自然觀產(chǎn)生強(qiáng)烈影響，從分形的觀點(diǎn)看世界，我們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)世界是以分形的方式存在和演化著的世界。343自然界的分形星系分布的分形特征及其分維35地表形態(tài)與地質(zhì)的分形構(gòu)造36美麗的分形藝術(shù)37圖10曼德勃羅集圖38圖10曼德勃羅集圖394041圖10a曼德勃羅集逐步放大圖42圖11曼德勃羅集逐步放大圖43圖12曼德勃羅集逐步放大圖44圖13曼德勃羅集“峽谷地帶”放大圖45圖16

廣義曼德勃羅集46圖17廣義曼德勃羅集47圖15對(duì)應(yīng)于曼德勃羅集的朱麗亞集48圖14朱麗亞集圖譜49朱麗亞集圖譜50515253圖18高維朱麗亞集54圖19高維朱麗亞集的投影圖55朱麗亞集圖譜56575859分形項(xiàng)鏈60616263東方龍6465666768分形樹69分形山70分形島71分形花72分形畫73分形畫74

結(jié)束語(yǔ)分形理論是一門重要的新學(xué)科，它的歷史很短，但是卷入分形狂潮的除數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家外，還有化學(xué)家、生物學(xué)家、地貌學(xué)與地震學(xué)家、材料學(xué)家等，在社會(huì)科學(xué)與人文科學(xué)方面，大批哲學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家、金融學(xué)家乃至作家畫家和電影制作家都蜂擁而入。著名的電影“星球大戰(zhàn)”就是利用分形技術(shù)創(chuàng)作的。75

由于分形的最重要