2023年高考數(shù)學(xué)大招18拋物線的結(jié)論

大招18拋物線的結(jié)論

大招總結(jié)

如圖,拋物線方程為y=2px（p〉0）,準(zhǔn)線x=—§與x軸相交于點(diǎn)P,過焦點(diǎn)的

直線I與拋物線相交于A（x,y）,3（w，%）兩點(diǎn)，。為原點(diǎn)，直線/的傾斜角為a.

P2

］中2=彳'

=-

2.焦半徑:AF=%+,BF=x2+~~,AB=%+x2+p.

AF=—2—,BF=-2—

1-cosa1+COS6Z

3.焦點(diǎn)弦：48=3-.（通徑最短）

sirra

1102

4.的數(shù)量關(guān)系：——+——=—,AFBF=^-

AFBFpsm~a

2

5.三角形AOB的面積SA0B=—^―.

2sina

6.三個(gè)相切:

(1)以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.

(2)過拋物線焦點(diǎn)弦的兩端點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，以兩垂足為直徑端點(diǎn)的圓與焦點(diǎn)弦相切.

(3)以拋物線焦半徑為直徑的圓與一條坐標(biāo)軸相切.

7.直線PAPB的斜率之和為零&+kPB=0),即ZAPF=尸E(用相似證明，很爽)

8.點(diǎn)A,O,N三點(diǎn)共線；點(diǎn)B,O,M三點(diǎn)共線.

9.如圖，點(diǎn)A,8是拋物線y=2px(p>0),O為原點(diǎn)，若ZAOB=90,則直線AB過定點(diǎn)

(2p,0).拋物線中的常用結(jié)論證明

結(jié)論一:若AB是拋物線/=2Px(p>0)的焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦)，且4(%,y),3(孫y2),

P22

則:西巧=[-，乂%=一口?

證明：因?yàn)榻裹c(diǎn)坐標(biāo)為F々,0,當(dāng)A8不垂直于x軸時(shí)，可設(shè)直線AB的方程為:

y^k{x-^\,由，,=左|無一得:ky2-2py-kp2=0

y-2Px

2242

"1'y%=~P'>x[x2=~—~=02=3—?當(dāng)AB_Lx軸時(shí)，直線AB方程為x='，則

2PIp4P242

2P2

=-〃，；?-p：同上也有

y=p，%y%=：^x2=—

典型例題

例1.(2021-太原一模)已知拋物線V=4x的焦點(diǎn)為F,過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B

兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|蜴=6,則.AQB的面積為()

A.

B.272

C.273

D.4

解:方法1：根據(jù)題意，拋物線V=4x的焦點(diǎn)為尸(1,0).設(shè)直線AB的斜率為可得直線

A8的方程為丁=%(％—1),設(shè)A(玉,%)、8(々,%)，

由P「M"一0,消去x,得y2.&y-4=0,

[y2=4xk

44nly+必八4c

X+%=工，y%=-4.則％+x2=12+2=^+2,

AvK.K.

\AB\=x}+%2+〃=9+2+2=6,則攵=±五,|凹-%|=5/(%+%)2-44%=2A，

SAOB=SAOF+S.B0F一%|=gxlx2遙=#),.AOB的面積指,

選4

方法2：

P~

AP=2…4,M包SAO6=一=上=任

sirra332sinaJ6_

—x2

3

例2.(2021-晉中二模)已知拋物線/=4x的焦點(diǎn)為F,過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于4B

兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若Z.A08的面積為2庭，則［A@=()

A.24

B.8

C.12

D.16

解：方法1：拋物線f=4x焦點(diǎn)為/(1,0),設(shè)過焦，點(diǎn)廠的直線為：y=A:(x—1),由

y=攵(1_1)24

可得y~~~y~4=0n,

y2=4x

%+%=工，%力=-4,|%一%|=AOB的面積為2遙，可得：

K

gxlx?-詞=2c，解得公=：,|AB|=

l+-^-x|yA-yfi|=24.故選A.方法

p2r\瓜

2:SAOB=------=-----=25/6,sina=—

2sinasina6

AABC=—2P—=—2P—=—4=2?4

sinasina，

6

例3.過拋物線〉=0?(。＞0)的焦點(diǎn)尸作一直線交拋物線于p、。兩點(diǎn)，若線段尸尸與

廠Q的長分別是〃、q,則,等于()

pq

A.2a

1

B.—

2a

C.4a

4

D..

a

解:方法1：如圖:

設(shè)PQ直線方程是y-」-二

4a

則看是方程以2=丘+—的兩根,

4。

其中r=\ll+k2.同理4二工2廣

從而

______________L41

j_+j__p+q_（々―西），_X|-*2_J（X|+一）--4.工2_kJ+4a2

2

pqpq-xyx2rx{x^rxtx2r1

彳

故選c.

方法2:

ii21

一匚+—匚=W，題目條件轉(zhuǎn)化為拋物線f=-y

PFFQPa-

自我檢測

1.設(shè)拋物線C.y2=2Px（p>0）的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)M在。上，目=5,若以Mb為直徑的

圓過點(diǎn)（0,2）,則。的方程為

A.J=?或y1-8x

B.y2=2x或V=Sx

C.丁=?或y=]6x

D.y2=2x或V=16x

解:方法1:?「拋物線C方程為y=2PMp>0）,

???焦點(diǎn)/坐標(biāo)為（導(dǎo)o）,可得|?？?，，

以M尸為直徑的圓過點(diǎn)（0,2）,

.??設(shè)A（0,2）,可得AFJ_AM,

根據(jù)拋物線的定義得直線AO切以ME為直徑的圓于A點(diǎn),

.?.104尸=/AAg，可得RtAM尸中,sin/AME=^~

\MF\

MFAF，整理得4+亡=2_，解之可得p=2

■.■||=5,||=4-2

或p=8

因此拋物線C的方程為V=4x或V=16x.

故選C.

方法2:一拋物線C方程為J/=2Px（p>0）,.-.焦點(diǎn)尸（§0）,設(shè)M（x,y）,由拋物線性質(zhì)

⑼=x+^=5,可得x=5_3

5-25

因?yàn)閳A心是ME的中點(diǎn)，所以根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,圓心橫坐標(biāo)為一用2=二，由已知圓

22

半徑也為|■，據(jù)此可知該圓與y軸相切于點(diǎn)（0,2）,故圓心縱坐標(biāo)為2,則M點(diǎn)縱坐標(biāo)為4,即

加（5-5,41代人拋物線方程得。2-10「+16=0,所以〃=2或〃=8.

所以拋物線C的方程為V=4x或產(chǎn)=i6x.故選c.

2.過拋物線V=飄的焦點(diǎn)F的直線與其交于A,6兩點(diǎn)，|A尸|〉|M|,如果用=5,那么

網(wǎng)=

375

A.------

2

5

B.-

4

5

C.一

2

3

D.-

2

解:拋物線的焦點(diǎn)廠(1,0),準(zhǔn)線方程為x=—l,

設(shè)A(x,y)，則|Aq=x+1=5,故x=4，此時(shí)y=4,即A(4,4),

則直線A尸的方程為了=口,即y=g(x—1)代人V=4x得4/—