專題01 空間向量的線性運算（考點清單）（原卷版）

專題01空間向量的線性運算（考點清單）（考點串講）目錄TOC\o"13"\h\u一、思維導圖 3二、知識回歸 4三、典型例題講與練 6考點清單01：空間向量的有關概念 6【考試題型1】空間向量基本概念 6考點清單02空間向量的共線定理 8【考試題型1】空間向量共線判斷 8【考試題型2】由空間向量共線求參數或值 10考點清單03空間向量共面 12【考試題型1】判斷空間向量共面 12【考試題型2】由空間向量共面求參數 14考點清單04用基底表示向量 15【考試題型1】用基底表示向量 15考點清單05空間向量數量積 17【考試題型1】空間向量數量積運算 17【考試題型2】求空間向量數量積的最值（范圍） 20考點清單06空間向量的模 23【考試題型1】求空間向量模 23【考試題型2】求空間向量模的最值（范圍） 25考點清單07空間向量夾角 28【考試題型1】求空間向量夾角 28【考試題型2】空間向量夾角為銳角（鈍角） 31考點清單08空間向量投影 33【考試題型1】求投影向量 33考點清單09空間向量平行，垂直關系 35【考試題型1】空間向量平行與垂直關系 35考點清單10用向量證明空間中的平行，垂直關系 37【考試題型1】證明線面平行 37【考試題型2】證明面面平行 41【考試題型3】證明線面垂直 45【考試題型4】證明面面垂直 49一、思維導圖二、知識回歸知識點01：幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量知識點02：空間向量的數乘運算1、定義：與平面向量一樣，實數與空間向量的乘積仍然是一個向量，稱為向量的數乘運算．2：數乘向量與向量的關系的范圍的方向的模與向量的方向相同，其方向是任意的與向量的方向相反知識點03：共面向量定理：如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序實數對，使拓展:對于空間任意一點，四點共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．知識點04：空間向量的數量積1、定義：已知兩個非零向量，，則叫做，的數量積，記作；即．規(guī)定：零向量與任何向量的數量積都為0.知識點05：空間向量運算的坐標表示設，空間向量的坐標運算法則如下表所示：運算坐標表示加法減法數乘數量積知識點06：空間向量平行與垂直的條件，幾何計算的坐標表示1、兩個向量的平行與垂直平行（）垂直（）（均非零向量）2、向量長度的坐標計算公式若，則，即3、兩個向量夾角的坐標計算公式設，則知識點07：空間中直線、平面的平行設直線,的方向向量分別為，，平面，的法向量分別為，，則線線平行??()線面平行??面面平行??知識點08：空間中直線、平面的垂直設直線的方向向量為，直線的方向向量為，平面的法向量，平面的法向量為，則線線垂直??線面垂直???面面垂直???三、典型例題講與練01：空間向量的有關概念【考試題型1】空間向量基本概念【解題方法】向量的基本概念【典例1】（2023上·高二課時練習）給出下列命題：①零向量沒有方向；②若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；③若空間向量滿足，則；④若空間向量滿足，則；⑤空間中任意兩個單位向量必相等．其中正確命題的個數為（

）A．4 B．3C．2 D．1【典例2】（2023上·福建泉州·高二統(tǒng)考期中）在正方體中，與向量相反的向量是（

）A． B． C． D．【專訓11】（2023上·山西臨汾·高二校考階段練習）如圖，在長方體中，，，，以長方體的八個頂點中的兩點為起點和終點的向量中．(1)試寫出與相等的所有向量．(2)試寫出的相反向量．02空間向量的共線定理【考試題型1】空間向量共線判斷【解題方法】共線定理【典例1】（2023上·重慶九龍坡·高二重慶市楊家坪中學?？茧A段練習）如圖，已知分別為四面體的面與面的重心，為上一點，且.設.(1)請用表示；(2)求證：三點共線.【典例2】（2023上·北京·高二北京鐵路二中?？计谥校┮阎强臻g兩個不共線的向量，，那么必有（

）A．共線 B．共線C．共面 D．不共面【專訓11】（2023上·全國·高二階段練習）四棱柱的六個面都是平行四邊形，點在對角線上，且，點在對角線上，且．(1)設向量，，，用、、表示向量、；(2)求證：、、三點共線．【考試題型2】由空間向量共線求參數或值【解題方法】共線定理【典例1】（2023上·福建莆田·高二莆田第四中學?？计谥校┮阎蛄?，，若，則實數．【典例2】（2023下·江蘇鹽城·高二校聯考階段練習）已知向量，若與平行，則實數k的值為（

）A． B． C． D．2【專訓11】（2023上·河北·高二統(tǒng)考階段練習）已知是空間的一個基底，，，若，則（

）A． B．0 C．5 D．6．【專訓12】6．（2023下·高二單元測試）已知向量，，若，則的值可能為（

）A． B．C． D．203空間向量共面【考試題型1】判斷空間向量共面【解題方法】空間向量共面定理【典例1】（2021上·遼寧大連·高二大連八中?？计谥校┮阎?，，三點不共線，對空間任意一點，若，則可以得到結論是四點（

）A．共面 B．不一定共面C．無法判斷是否共面 D．不共面【典例2】（2023上·陜西·高二校聯考階段練習）如圖，在直四棱柱中，，，，E，F，G分別為棱，，的中點．(1)求的值；(2)證明：C，E，F，G四點共面．【專訓11】（多選）（2023上·安徽亳州·高二?？茧A段練習）下列條件中，使與一定共面的是（

）A． B．C． D．【專訓12】（2023下·高二課時練習）設空間任意一點和不共線的三點，，，若點滿足向量關系（其中），試問：，，，四點是否共面？【考試題型2】由空間向量共面求參數【解題方法】空間向量共面定理【典例1】（2023上·遼寧大連·高二大連二十四中?？计谥校┮阎?，若共面，則實數的值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【典例2】（2023上·貴州·高二校聯考期中）已知點為所在平面內一點，為平面外一點，若，則的值為（

）A． B． C． D．【專訓11】（2023上·安徽六安·高二六安市裕安區(qū)新安中學校考期中）已知點在平面內，且對空間任意一點，若，則的值為（

）A． B． C． D．【專訓12】（2023上·山東·高二校聯考期中），，，若共面，則實數.04用基底表示向量【考試題型1】用基底表示向量【解題方法】空間向量的加減數乘運算【典例1】（2023上·浙江·高二路橋中學?？计谥校┤鐖D三棱柱中，是棱的中點，若，，，則（

）A． B．C． D．【典例2】（2023上·山東臨沂·高二統(tǒng)考期中）已知空間四邊形，其對角線、，、分別是邊、的中點，點在線段上，且使，用向量，，表示向量的是（

）A． B．C． D．【專訓11】（2023上·廣東珠海·高二?？计谥校┤鐖D，空間四邊形中，，，.點在上，且，為的中點，則（

）A． B．C． D．05空間向量數量積【考試題型1】空間向量數量積運算【解題方法】【典例1】（2023上·吉林松原·高二前郭爾羅斯縣第五中學?？计谥校┪覈糯鷶祵W名著《九章算術》中，將底面為矩形且一側棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，平面，且，，則（

）A． B．3 C．2 D．5【典例2】（2023上·遼寧·高二校聯考階段練習）在長方體中，，，，則（）A． B． C．3 D．9【專訓11】（2023上·北京房山·高二北師大良鄉(xiāng)附中?？茧A段練習）已知長方體的底面是正方形，，，為棱的中點，則.【答案】8【詳解】解：以、、所在直線分別為軸,軸，軸建立空間坐標系，如圖所示：【專訓12】（2023上·寧夏石嘴山·高二平羅中學?？计谥校┮阎谡忮FP－ABC中，點M，N分別是線段AB，PC的中點，記，，.(1)分別用，，來表示向量，；(2)若，，是兩兩垂直的單位向量，求向量與的數量積.【考試題型2】求空間向量數量積的最值（范圍）【解題方法】坐標法，極化恒等式【典例1】（2023上·廣東深圳·高二?？茧A段練習）正四面體的棱長為，點，是它內切球球面上的兩點，為正四面體表面上的動點，當線段最長時，的最大值為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023上·北京朝陽·高二北京工業(yè)大學附屬中學校考階段練習）平行六面體中，，，，動點P在直線上運動，則的最小值為.【專訓11】（2023·河南開封·河南省杞縣高中?？寄M預測）正四面體的棱長為4，空間中的動點P滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【專訓12】（2023上·湖北十堰·高二十堰一中校聯考期中）如圖，已知正方體的棱長為4，M，N，G分別是棱，BC，的中點，設Q是該正方體表面上的一點，若．(1)求點Q的軌跡圍成圖形的面積；06空間向量的?！究荚囶}型1】求空間向量?！窘忸}方法】【典例1】（2023上·河南開封·高二河南省蘭考縣第一高級中學校聯考期中）設，，，，且，，則（

）A． B． C．3 D．【典例2】（2023上·山東德州·高三統(tǒng)考期中）已知平行六面體的所有棱長都為1，且，，則的長為（

）A． B．C． D．【專訓11】（2023上·貴州銅仁·高二?？计谥校┮阎?，，且與垂直，則．【專訓12】（2023上·湖北咸寧·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在棱長均為的平行六面體中，，點為與的交點，則的長為．【考試題型2】求空間向量模的最值（范圍）【解題方法】坐標法【典例1】（2023上·上海普陀·高二曹楊二中?？茧A段練習）如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，為底面上的動點，若直線平面，則線段的長度的最小值為（）A． B． C．1 D．【典例2】（2023上·貴州黔南·高二?？茧A段練習）已知，是空間中相互垂直的兩個單位向量，且，，則的最小值是.【專訓11】（2023上·廣東東莞·高二?？茧A段練習）棱長為1的正方體中，點在棱上運動，點在側面上運動，若，分別為,中點，求；滿足平面，則線段的最小值為.【專訓12】（2023上·北京·高二北京市第三十五中學?？计谥校┰诳臻g直角坐標系中，已知，，其中，則的最大值為（

）A．3 B． C． D．407空間向量夾角【考試題型1】求空間向量夾角【解題方法】夾角公式【典例1】（2023上·新疆烏魯木齊·高二校考期末）已知，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【典例2】（2022上·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習）已知，，則最大值為【專訓11】（2023上·廣東廣州·高二廣州市第九十七中學?？茧A段練習）棱長為2的正方體中，E，F分別是，DB的中點，G在棱CD上，且，H是的中點.(1)證明：；(2)求；【專訓12】（2023上·廣西玉林·高二?？茧A段練習）已知．(1)求實數的值；(2)求與夾角的余弦值．【考試題型2】空間向量夾角為銳角（鈍角）【解題方法】向量點乘正負【典例1】（2022下·上?！じ叨y(tǒng)考期末）已知向量，，若向量、的夾角為鈍角，則實數的取值范圍是．【典例2】（多選）（2023下·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）若向量與的夾角為銳角，則實數x的值可能為（

）.A．4 B．5 C．6 D．7【專訓11】（2022上·山東聊城·高二山東聊城一中?？茧A段練習）已知空間中的三點，，，，．(1)當與的夾角為鈍角時，求的范圍；【專訓12】（2023下·上海·高二上海市行知中學?？茧A段練習）已知向量，若向量與的夾角為銳角，求實數的取值范圍.08空間向量投影【考試題型1】求投影向量【解題方法】【典例1】（2023上·河北·高二校聯考期中）如圖，在三棱錐中，平面，，且，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023上·浙江杭州·高二校聯考階段練習）已知向量，，則在上的投影向量為.（用坐標表示）【專訓11】（2023上·河南開封·高二統(tǒng)考期中）已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．【專訓12】（2023上·河南·高二校聯考期中）已知，，，則在上的投影向量為.09空間向量平行，垂直關系【考試題型1】空間向量平行與垂直關系【解題方法】；（均非零向量）【典例1】（2023上·浙江臺州·高二路橋中學?？茧A段練習）已知空間中三點，設．(1)若，且，求向量，(2)已知向量與互相垂直，求k的值．【典例2】（2021上·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中學?？奸_學考試）已知點(1)若，且，求；(2)若與垂直，求k；(3)求.【專訓11】（2023上·北京昌平·高二校考期中）已知，，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【專訓12】（2023上·陜西西安·高二?？茧A段練習）已知點、、，，．(1)若，且，求；(2)求；(3)若與垂直，求k．10用向量證明空間中的平行，垂直關系【考試題型1】證明線面平行【解題方法】??【典例1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四面體中，平面，，，．是的中點，是的中點，點在線段上，且．證明：平面；【典例2】（2023·全國·高二課堂例題）如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面相交于AD，點M，N分別在對角線BD，AE上，且，．求證：平面CDE．【專訓11】（2023下·高二課時練習）如圖，已知斜三棱柱，在和上分別取點，，使，，其中，求證：平面.【專訓12】（2023·全國·高二專題練習）如圖，在三棱錐中，底面，．點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，．求證：平面；【考試題型2】證明面面平行【解題方法】??【典例1】（2023·全國·高二隨堂練習）在正方體中，點E，F分別是底面和側面的中心．求證：(1)平面；(2)平面；(3)平面平面．【典例2】（2023·全國·高二專題練習）如圖所示，平面平面，四邊形為正方形，是直角三角形，且，，，分別是線段，，的中點，求證：