專題01 截長(zhǎng)補(bǔ)短模型（原卷版）（人教版）

專題01截長(zhǎng)補(bǔ)短模型【基本模型】【例題精講】例1．（基本模型）(1)閱讀理解：?jiǎn)栴}：如圖1，在四邊形中，對(duì)角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對(duì)角互補(bǔ)”可以通過“截長(zhǎng)、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；方法2：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．(2)問題解決：如圖2，在(1)的條件下，連接，當(dāng)時(shí)，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，請(qǐng)寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．例2．（培優(yōu)1）如圖①，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB與BC上，且∠EDF=45°，易證：AE+CF=EF（不用證明）．（1）如圖②，在四邊形ABCD中，∠ADC=120°，DA=DC，∠DAB=∠BCD=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB與BC上，且∠EDF=60°．猜想AE，CF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）如圖③，在四邊形ABCD中，∠ADC=2α，DA=DC，∠DAB與∠BCD互補(bǔ)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB與BC上，且∠EDF=α，請(qǐng)直接寫出AE，CF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，不用證明．例3．（培優(yōu)2）思維探索：在正方形ABCD中，AB＝4，∠EAF的兩邊分別交射線CB，DC于點(diǎn)E，F(xiàn)，∠EAF＝45°．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段BC，CD上時(shí)，△CEF的周長(zhǎng)是；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CB，DC的延長(zhǎng)線上，CF＝2時(shí)，求△CEF的周長(zhǎng)；拓展提升：如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，過點(diǎn)B作BD⊥BC，連接AD，在BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使∠EDA＝30°，連接AE，當(dāng)BD＝2，∠EAD＝45°時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段CE的長(zhǎng)度．例4．（培優(yōu)3）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α，點(diǎn)D在邊AC上（不與點(diǎn)A，C重合）連接BD，點(diǎn)K為線段BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連結(jié)CK，EK，CE，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角小于90°）（1）如圖1，若α=45°，則△ECK的形狀為______；（2）在（1）的條件下，若將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得D，E，B三點(diǎn)共線，點(diǎn)K為線段BD的中點(diǎn)，如圖2所示，求證：BE-AE=2CK；【變式訓(xùn)練】1．在四邊形中，點(diǎn)C是邊的中點(diǎn)．(1)如圖①，平分，，寫出線段，，間的數(shù)量關(guān)系及理由；(2)如圖②，平分，平分，，寫出線段，，，間的數(shù)量關(guān)系及理由．2．如圖，在△ABC中，，D是三角形外一點(diǎn)，且，．求證：3．如圖，在△ABC中，，，P、Q分別在BC、CA上，并且AP、BQ分別是∠BAC、∠ABC的角平分線．求證：（1）；（2）．4．如圖1，在中，是直角，，、分別是、的平分線，、相交于點(diǎn)．（1）求出的度數(shù)；（2）判斷與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．（提示：在上截取，連接．）（3）如圖2，在△中，如果不是直角，而（1）中的其它條件不變，試判斷線段、與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【課后訓(xùn)練】1．如圖所示，，，分別是，的平分線，點(diǎn)E在上，求證：．

2．如圖，，，平分，且是中點(diǎn)試問：、和之間有何關(guān)系？并說明理由.3．如圖，在中，，、分別平分、，、交于點(diǎn)，求證：.4．如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠MDN=60°．試探BM，MN，CN之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．5．閱讀與理解：折紙，常常能為證明一個(gè)命題提供思路和方法．例如，在中，（如圖），怎樣證明呢？分析：把沿的角平分線翻折，因?yàn)?，所以，點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，即，據(jù)以上操作，易證明，所以，又因?yàn)椋裕形蚺c應(yīng)用：（1）如圖（a），在中，，，平分，試判斷和、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖（b），在四邊形中，平分，，，，①求證：；②求的長(zhǎng)．6．在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，數(shù)學(xué)老師出示了如下題目：如圖①，在四邊形中，是邊的中點(diǎn)，是的平分線，．求證：．小聰同學(xué)發(fā)現(xiàn)以下兩種方法：方法1：如圖②，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)．方法2：如圖③，在上取一點(diǎn)，使，連接、．（1）請(qǐng)你任選一種方法寫出這道題的完整的證明過程；（2）如圖④，在四邊形中，是的平分線，是邊的中點(diǎn)，，，求證：．7