專訓(xùn)11.2.1.3與折疊有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題-簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)之2021-2022學(xué)年八年級(jí)上冊(cè)考點(diǎn)專訓(xùn)（解析版）（人教版）

專訓(xùn)11.2.3與折疊有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題一、單選題1．如圖，，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在內(nèi)，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，故可得出∠3+∠4的度數(shù)，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵△ABC中，∠A=60°，∠B=70°，∠2=80°，

∴∠C=180°-60°-70°=50°，

∴∠3+∠4=∠A+∠B=60°+70°=130°，

∴∠1=360°-（∠A+∠B）-（∠3+∠4）-∠2=360°-130°-130°-80°=20°．

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．2．如圖，ABC中，∠ACB=90°，沿CD折疊CBD，使點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)E處．若∠A=24°，則∠EDC等于（）A．42° B．66° C．69° D．77°【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B的度數(shù)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)求出∠BCD的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BDC可得答案．【詳解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=24°，∴∠B=90°-∠A=66°．由折疊的性質(zhì)可得：∠BCD=∠ACB=45°，∴∠BDC=∠EDC=180°-∠BCD-∠B=69°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換和三角形內(nèi)角和定理，理解翻折變換的性質(zhì)、熟記三角形內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在中，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿著直線對(duì)折．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】依據(jù)角的和差關(guān)系即可得到∠DBC的度數(shù)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到∠ABE的度數(shù)．【詳解】∵∠ABD=18°，∠ABC=90°，

∴∠DBC=∠ABC-∠DBC=90°-18°=72°，

由折疊可得∠DBE=∠DBC=72°，

∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=72°-18°=54°，

故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題，折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．4．如圖，在ABC中，∠B+∠C＝α，按圖進(jìn)行翻折，使，則∠FE的度數(shù)是（）A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180°【答案】D【分析】設(shè)∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y(tǒng)，∠C′FE＝x，利用平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程組即可解決問題．【詳解】解：設(shè)∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y(tǒng)，∠C′FE＝x，∵，∴，，∴γ+β＝∠B+∠C＝α，∵EB′∥FG，∴∠CFG＝∠CEB′＝y(tǒng)，∴x+2y＝180°①，根據(jù)平行線的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)可得：，，∴，∵γ+y＝2∠B，同理可得出：β+x＝2∠C，∴γ+y+β+x＝2α，∴x+y＝α②，②×2﹣①可得x＝2α﹣180°，∴∠C′FE＝2α﹣180°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，翻折變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考常考題型．二、填空題5．如圖，將紙片沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，若，則__________．【答案】【分析】利用折疊性質(zhì)得到，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)求解．【詳解】解：紙片沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，，．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是．也考查了折疊的性質(zhì)．6．如圖，在中，，，將三角形沿對(duì)折，使點(diǎn)與邊上的點(diǎn)重合．若，則的度數(shù)為____________．【答案】40°【分析】設(shè)∠EFD=2∠AED=2x，由折疊性質(zhì)可知，∠EDF=∠C=90°-∠A=90°-60°=30°，∠DEF=∠CEF，由三角形內(nèi)角和定理得出∠CEF=150°-2x，再由∠DEF+∠CEF+∠AED=180°，列出方程即可求出∠AED=40°．【詳解】解：設(shè)∠EFD=2∠AED=2x．

由折疊性質(zhì)可知，∠EDF=∠C=90°-∠A=90°-60°=30°，

∠DEF=∠CEF，在△DEF中，∠DEF=180°-∠EDF-∠EFD=180°-30°-2x=150°-2x，

∴∠CEF=150°-2x，

∵∠DEF+∠CEF+∠AED=180°，

∴150°-2x+150°-2x+x=180°，

解得x=40°，

即∠AED=40°，故答案為40°．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題，熟練利用三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．7．如圖，中，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)O，將沿折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)O重合，若，則__________．【答案】90【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)角相等，推出，根據(jù)垂直的定義得到，利用平角的定義得到，即可求出結(jié)果．【詳解】解：由折疊性質(zhì)可知，，，，∴，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，∵，即，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平角的定義，互余的定義，解題的關(guān)鍵是利用相應(yīng)的定義得到角之間的關(guān)系．8．如圖，把三角形紙片ABC沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE的內(nèi)部時(shí)，∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是________．【答案】∠1+∠2=2∠A【分析】延長(zhǎng)BE與CD相交于點(diǎn)A′，設(shè)∠AED=x，∠ADE=y，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠A′ED=x，∠A′DE=y，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及平角的定義，得出∠A與∠1+∠2的關(guān)系．【詳解】解：延長(zhǎng)BE與CD相交于點(diǎn)A′，如圖，設(shè)∠AED=x，∠ADE=y，∵△ABC紙片沿DE折疊，∴∠A′ED=x，∠A′DE=y，∵∠A+x+y=180，∠1+2x=180，∠2+2y=180，∴∠1+∠2+2（180∠A）=2×180，∴∠1+∠22∠A=0，∴2∠A=∠1+∠2，故答案為：∠1+∠2=2∠A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，以及翻折變換，解題的關(guān)鍵是得出折疊前后不變的角．9．如圖，將△ABC沿著平行于BC的直線折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′，若∠B＝40°，則∠A′DB的大小為_____．【答案】100°．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ADE＝∠B＝40°，繼而得∠A′DE＝∠ADE＝40°，最后由平角的定義得出答案．【詳解】解：∵∠B＝40°，△ABC沿著平行于BC的直線折疊，點(diǎn)A落到點(diǎn)A′，∴∠ADE＝∠B＝40°，∴∠A′DE＝∠ADE＝40°，∴∠A′DB＝180°﹣40°﹣40°＝100°．故答案為：100°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的翻折問題，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，∠B＝60°，∠C＝80°，則∠1+∠2等于_______．【答案】80°【分析】根據(jù)平角定義和折疊的性質(zhì)，得∠1+∠2＝360°﹣2（∠3+∠4），再利用三角形的內(nèi)角和定理得∠3+∠4＝∠B+∠C，即可解決問題．【詳解】解：根據(jù)平角的定義和折疊的性質(zhì)，得∠1+∠2＝360°﹣2（∠3+∠4）．又∵∠3+∠4＝180°﹣∠A，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠3+∠4＝∠B+∠C，∵∠B＝60°，∠C＝80°，∴∠3+∠4＝∠B+∠C＝140°，∴∠1+∠2＝80°．故答案為：80°．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．11．如圖，在中，，，是上一點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的處，則等于_______．【答案】【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠ACD=∠BCD，∠CDB=∠CDB′，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理得出∠BDC=∠B′DC，再利用平角的定義，即可得出答案．【詳解】解：∵將Rt△ABC沿CD折疊，使點(diǎn)B落在AC邊上的B′處，

∴∠ACD=∠BCD，∠CDB=∠CDB′，

∵∠ACB=90°，∠A=25°，

∴∠ACD=∠BCD=45°，∠B=90°-25°=65°，

∴∠BDC=∠B′DC=180°-45°-65°=70°，

∴∠ADB′=180°-70°-70°=40°．

故答案為：40°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，得出∠BDC和∠B′DC的度數(shù)是解題關(guān)鍵．12．如圖，把沿線段折疊，使點(diǎn)A落在線段上的點(diǎn)F處，，若，則__________度．【答案】32【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)即可求出結(jié)果．【詳解】解：由折疊可知：∠AEF=2∠AED=2∠FED，∵∠A+∠B=106°，∴∠C=180°-106°=74°，∵BC∥DE，∴∠AED=∠C=74°，∴∠AEF=2∠AED=148°，∴∠FEC=180°-∠AEF=32°．故答案為：32．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)．13．如圖，已知中，，現(xiàn)將進(jìn)行折疊，使頂點(diǎn)、均與頂點(diǎn)重合，則的度數(shù)為______．【答案】86°【分析】由三角形內(nèi)角和定理求出∠B+∠C=47°；證明∠ADE+∠AED=2(∠B+∠C)=94°，即可解決問題．【詳解】∵∴∠B+∠C=180°-133°=47°由折疊的性質(zhì)得：∠B=∠BAD，∠C=∠CAE∴∠ADE=2∠B，∠AED=2∠C∴=180°-（2(∠B+∠C)）=180°-94°=86°故答案為：86°【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握翻折變換的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理．14．如圖，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB、AC邊翻折180形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，則∠的度數(shù)為____度．【答案】80°【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理易計(jì)算出∠1=140°，∠2=25°，∠3=15°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠1=∠BAE=140°，∠E=∠3=15°，∠ACD=∠E=15°，可計(jì)算出∠EAC，然后根據(jù)+∠E=∠EAC+∠ACD，即可得到=∠EAC．【詳解】設(shè)∠3=3x，則∠1=28x，∠2=5x，∵∠1+∠2+∠3=180°，∴28x+5x+3x=180°，解得x=5°，∴∠1=140°，∠2=25°，∠3=15°，∵△ABE是△ABC沿著AB邊翻折180°形成的，∴∠1=∠BAE=140°，∠E=∠3=15°，∴∠EAC=360°-∠BAE-∠BAC=360°-140°-140°=80°，又∵△ADC是△ABC沿著AC邊翻折180°形成的，∴∠ACD=∠E=15°，而+∠E=∠EAC+∠ACD，∴∠α=∠EAC=80°．故答案為80°．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等．也考查了三角形的內(nèi)角和定理以及周角的定義．15．如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCED外點(diǎn)A1的位置，若∠1+∠2=260°，則∠A=_________°．【答案】40【分析】先根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)和平角、周角的定義得出∠ADE+∠AED，再根據(jù)三角形三角形內(nèi)角和為180°進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵∠1+∠2=260°，∴∠ADE+∠A1DE+∠AED+∠A1ED=180°+360°-260°=280°，由折疊的性質(zhì)可得∠ADE+∠AED=140°，∴∠A=180°-140°=40°．故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和為180°，熟知以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．16．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC上的點(diǎn)，AD＝BD，∠B＝40°，將△ABD沿著AD翻折得到△AED，則∠CDE＝__．【答案】20o【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和和翻折的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵△ABD沿著AD翻折得到△AED，∠BAD=∠ABC=40°，

∴∠ADC=40°+40°=80°，∴∠ADE=∠ADB=180°-40°-40°=100°，

∴∠CDE=100°-80°=20°，

故答案為：20o【點(diǎn)睛】此題考查翻折的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和和翻折的性質(zhì)解答．17．如圖，樂樂將分別沿，翻折，頂點(diǎn)，均落在點(diǎn)處，且與重合于線段，若，則的度數(shù)為________．【答案】41°【分析】根據(jù)折疊得∠DOE=∠A，∠EOF=∠B，利用求出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出的度數(shù).【詳解】由折疊得∠DOE=∠A，∠EOF=∠B，∵,∴，∴=，故答案為：41°.【點(diǎn)睛】此題考查折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，正確理解折疊的性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵.18．如圖a，已知長(zhǎng)方形紙帶ABCD，將紙帶沿EF折疊后，點(diǎn)C、D分別落在H、G的位置，再沿BC折疊成圖b，若∠DEF＝72°，則∠GMN＝_____°．【答案】72【分析】由平行線的性質(zhì)得∠DEF＝∠BFE＝72°，然后結(jié)合折疊的性質(zhì)求得∠EFC=∠EFH=108°，∠H=∠N=∠C=90°，然后求得∠HFM=∠MFN=36°，∠HMF=∠NMF=54°，從而求解．【詳解】解：∵AD∥BC∴∠DEF＝∠BFE＝72°∴∠EFC=180°-72°=108°由折疊性質(zhì)可得：∠EFC=∠EFH=108°，∠H=∠N=∠C=90°∴∠HFM=∠MFN=∠EFH-∠BFE=108°-72°=36°∴∠HMF=∠NMF=90°-36°=54°∴∠GMN＝180°-54°×2=72°故答案為：72．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．也考查了折疊的性質(zhì)．三、解答題19．已知，在直角三角形中，，是上一點(diǎn)，且．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，將沿所在直線翻折，點(diǎn)落在邊上，記為點(diǎn)．①若，求的度數(shù)；②試求與的關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）①22°；②∠A′CB=90°-2∠B【分析】（1）根據(jù)直角三角形中兩銳角互余得∠A+∠B=90°，而∠ACD=∠B，則∠A+∠ACD=90°，所以∠ADC=90°，然后根據(jù)垂直的定義得CD⊥AB；（2）①先得到∠ACD=34°，∠BCD=56°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠A′CD=∠ACD=34°，然后利用∠A′CB=∠BCD-∠A′CD求解；②同①的方法，進(jìn)行分類討論即可．【詳解】解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB；（2）①∵∠B=34°，∴∠ACD=34°，∴∠BCD=90°-34°=56°，∵△ADC沿CD所在直線翻折，A點(diǎn)落在BD邊上，記為A′點(diǎn)，∴∠A′CD=∠ACD=34°，∴∠A′CB=∠BCD-∠A′CD=56°-34°=22°；②∵∠B=∠ACD，則∠BCD=90°-∠ACD，∵△ADC沿CD所在直線翻折，A點(diǎn)落在BD邊上，記為A′點(diǎn)，∴∠A′CD=∠ACD=∠B，∠A′CB=∠BCD-∠A′CD=90°-∠B-∠B=90°-2∠B．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．20．如圖，將一張三角形紙片的一角折疊，使得點(diǎn)A落在四邊形的外部的位置且與點(diǎn)C在直線的異側(cè)，折痕為，已知，．

（1）求的度數(shù)；（2）若保持的一邊與平行，求的度數(shù)．【答案】（1）60°；（2）45°