2023年高考數(shù)學(xué)第37講 繞來繞去向量法

第37講繞來繞去向量法，牽來牽去巧解題

一、知識聚焦

向量是近代數(shù)學(xué)中最重要和最基本的數(shù)學(xué)概念之一，它既是代數(shù)的對象，又是幾何的對

象，作為代數(shù)對象，向量可以運算；作為幾何對象，向量有方向，可以刻畫直線、平面、切

線等幾何對象，向量有長度，可以刻畫長度、面積，體積等幾何度量問題，向量由大小和方

向這兩個要素確定，大小反映了向量在“數(shù)”方面的特征，方向反映了向量在“形”方面的

特征，因此是數(shù)形集于一身的數(shù)學(xué)概念，是數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，向量具有很強的靈

活性，使高中數(shù)學(xué)各知識點之間的距離大大地縮短了，從而成為溝通數(shù)學(xué)各分支（平面幾何、

解析幾何、立體幾何、三角函數(shù)、不等式等）的橋梁和紐帶，給傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)帶來了無限生機

和活力，向量法蘊涵著濃厚的數(shù)學(xué)思想，處處閃爍著數(shù)學(xué)美的光輝.

向量作為數(shù)學(xué)語言是簡潔的，同時又具有豐富的表現(xiàn)能力.幾個向量首尾銜接構(gòu)成一個

圈，即它們的和等于零向量,在解題過程中利用這個等式或與它等價的等式，就叫做回路法，

回路解題是向量解題特有的方法，向量回路法解題的要點是：結(jié)合條件，靈活選擇回路，將

我們所關(guān)心的兩個向量列出比例式，利用共線線段成比例性質(zhì)和向量基本定理，將向量分解

成共線形式，問題就迎刃而解了，其中回路的選擇往往是關(guān)鍵，我們把它比喻為繞來繞去向

量法，其余只是代數(shù)運算而已，向量解題并不排斥和坐標(biāo)法合作，從而形成了向量運算與向

量坐標(biāo)運算兩大解題系統(tǒng)，在解題中各有妙用，向量法是聯(lián)系中學(xué)數(shù)學(xué)很多知識點的紐帶,

具有強勁的親和力，許多知識與方法在向量這里結(jié)集，解題方法當(dāng)然多種多樣，解題時不必

過分拘束于單純的向量方法，可結(jié)合圖形性質(zhì)，多種方法并用，而向量法解題也確實能夠做

到把多種解題方法集于一身，我比喻為牽來牽去巧解題.

二、精講與訓(xùn)練

核心例題1⑴在AA5C中，AM:AB=1:3,4V:AC=1:4,8N與CM交于點

E,AB-a,AC-b,用a,匕表示AB.

⑵如圖37—1所示，在A4BC中，。為邊BC中點，經(jīng)過AD中點E的直線

分別交線段

于點M,N,若AB=AC=,貝1Jm+n=；該直

線將原三角形分成兩部分，則AAAW與四邊形BCNM面積之比的最小值

BD

[B37-I

解題策略第Q）問中的M,E,C共線與N,E,B共線與第⑵問中的￡,N共線是解

題的核心條件，抓住這一條件結(jié)合題設(shè)其他向量共線條件，解之并不因難.必須指出的是證

明三點共線，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系.當(dāng)兩向量

共線且有公共點時，才能得到三點共線，因此還必頻加強對向量基本定理的理解，即

0A=；108+〃0C(/1,〃GR),若AB,C三點共線，則4+〃=1；若。與人不共線，且

而=血則X=〃=0.解答此類題還要注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.

解：⑴如圖37-2所示，由已知得AM=gA3,AN=；AC,設(shè)=,

1(1A

AE=AM+2(AC-AM)=-+/IAC--AB

3I3)

整理得=(g-(JAB+AAC.

同理，設(shè)NE=tNB,twR,則

111(1

AE^AN+NE=-AC+tNB=-AC+t(<AB-AN)=-AC+t\AB--AC

整理得AE|———|/4C+/AB.

(44)

A=——

由A8與4c是不共線向量3解得.；

j__￡

2t=—.

4~4IH

32-3-2-

AE=—AB+—AC,^AE=—a+—b.

11111111

⑵在AABC中，；O為BC邊的中點，石為AO的中點，

11

/.AE=—AD=—(AB+AC).

11

AB=mAM,AC=nAN,:.AE=AMME=—AB-^-ME=-(ABAC),

m4

工]48+，4。.同理/7七=!48+(』-L]4。.

：.ME=\-

(4mJ44Un)

ME與NE共線，，存在實數(shù);l,使ME=2NE(/l<0),

fl1\11fl1A

即-----\AB+-AC=^—AB+-----AC

\4m)4414

_L__L_4

4m4'442

解得/.m+n=-----+-=-4--.--

421-A2-1

44n

cAM-A/VsinA.....

S^MNN=2=4MSN=J_

mn

SMBClABACsinA

2

//"+〃丫1

又m+〃=4,.,.m%,=4,當(dāng)且僅當(dāng)〃z=〃=2時取等號，此時——有最小

\L)mn

值?

變式訓(xùn)練(1)已知A8是直線/上任意兩點，。是/外的一點，對任意一點P,存在實數(shù)

s,f使0P關(guān)于基底｛0A,08｝的分解式為OP=sOA+tOB,當(dāng)且僅當(dāng)s,t

滿足什么條件，點P在直線/上？

⑵已知平面向量與。8的夾角。e|,y,且I。4|=|O8|=3,若0P=

12

-OA+-OB,貝ijIOP|的取值范圍是.

33-

核心例題2(1)如圖37-3所示，在等腰佛形ABCD中，已知

AB//DC,AB=2,BC=1,ZABC=60.動點E和尸分別在線段BC

和。C上，且BE=2BC,DF=LDC,

則AEAF的最小值為一

94

⑵如圖37-4所示，已知在等腰心AA3C中，ZC=90\AC=2,兩頂點

A,C分別在x軸，y軸正半軸（含原點。）上運動，P,Q分別是

的中點，求絲絲的取值范圍.

IOQI

解題策略平面向量的表示形式有兩種形態(tài)，對應(yīng)的向量法解題也有兩種基本方法，

即向量運算及向量的坐標(biāo)運算，其中坐標(biāo)表示是實數(shù)化的重要方法.第（1）問對應(yīng)的就是兩種

不同的解法.第⑵問涉及向量的投影問題：對于一個定向量、一個動向：（對于其中一

個向量的方向和模都確定，另一個向量的方向和模都是不確定的），可以通過作“投影”使

得變化的向量夾角和模合并統(tǒng)一成為一條直線上的投影大小.對于兩個動向量的題型，按"定”

與“動”的相對性，先固定一個向量，按“一定一動”向量的問題處理.

解：（1）解法一：如圖37—3所示，DF=^DC,DC=^AB,

I1-921-92

:.CF=DF-DC=—DC-DC=——DC=——AB.

9A9A18/1

AE=AB+BE=AB+ABC,

1-9；1+94

AF=AB+BC+CF=AB+BC+------AB=--------AB+BC,

18A182

"￡”=(.+海。.(富48+8。=債A/+Q+/貴+

_1+9/119+92171729

x4+x2xlxcos120°+4=—4H----1-——>2

18A18229218T?

21929

當(dāng)且僅當(dāng)；7T=彳/1,即4=7時，AEAF的最小值為一.

9A231o

解法二：建立如圖37-5所示平面直角坐標(biāo)系.則

￡.

40,0),8(2,0),。,D

2'V

加=（冷）-（界）=（1'。＞

BC

￡(2-^2,

DF=-DC=(—,0),.'.F(-+—,

9A92292

I2129

AE-AF=(2--A,

2+豆’189A2189A218

212

當(dāng)且僅當(dāng)-=-2,即2=彳時等號成立，符合題意.

9A23

29

AE-AE的最小值為百.

18

OPOQ

⑵解法一：（投影法）表示。P在。。上的投影.設(shè)NQ4C=6,則

\OQ\

A(2cos6,0),

C(0,2sin8)從而得P(cos8,sine)可算得

B(2sin2sin4-2cos0),

從而Q(sin。+cos0,sin6+cos0),發(fā)現(xiàn)點。在直線y=x上運動,

點P在以。為圓心，1為半徑的5圓弧上運動，如圖37—6所示.

當(dāng)點尸在點E時，投影最大為1,當(dāng)點P在點?；螯c尸時，投影最小

為方'

二絲絲」烏11

1021L2J

解法二：(三角換元法)設(shè)ZOAC=0,則

A(2cos6,()),C((),2sin9),P(cos仇sin0),

可算得5(2sin6,2sin8+2cos0),從而Q(sin0+cos0,sin0+cos0\

OPOQl+2sin6cos。1+sin20Jl+sin265/21

--------=~?———=-----------Q----j

\0Q\j2+4sin6cose72+2sin2^^[2，

解法三：(動靜轉(zhuǎn)換法)如圖37-7所示，固定三角形，讓點。變動，易知點。在以

AC為直徑的半圓上運動，則°P0Q^OP\cos0=cos0.

\0Q\

變式訓(xùn)練(1)如圖37-8所示，已知。(0,0),41,0),8(0,-1),尸是曲線丁=忘7上一

個動點，

則。P-BA的取值范圍是

(2)如圖37-9所示，給定兩個長度為1的平面向量Q4和。8,且

<04,08>120°,

點。在以。為圓心的圓弧AB上變動，若0C=x0A+）,08,其中x,yeR,

求x+y的最大值.

S37-S圖37-，

核心例題3點。為銳角A4BC的外心，若0C=xQA+），08（其中x,yeR）,且

則x+y的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,2]C.(-1,0)D.[-2,-1)

解題策略本例是的變式訓(xùn)練（2）的拓展，由扇形拓展為整圓，求x+y的最大值變?yōu)榍?/p>

x+y的取值范圍，可以聯(lián)系中學(xué)數(shù)學(xué)的許多知識點和解法，說明解向量題不應(yīng)過分拘束于

單純的向量方法，可以從多個方向發(fā)起攻擊，供讀者賞析.

解法一：（向量坐標(biāo)法，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域）

如圖37-10所示建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)三角形外接圓的半經(jīng)為1.

M37-I0

ZCOA=2ZB,ZAOB=2ZC=—,

3

A(cos2B,sin2B),B(cos2A,-sin2A),C(l,0),

,口f九cos23+ycos2A=l,

代入。。=%。4+丁。鰭<,解得

xsin2B-ysin2A=0,

x=—迪sin2A,y=—幽sin25.

33

從而

x+y=一^^(sin2A+sin28)=-~~~[sin2A+sin笑4%-2A2cos(2A+?).

3

（jrjr（2乃47r1

又AA5C為銳角三角形，則乙4c二二,從而2A+工￡—,＜，故

-2,,x+y<-1.故選D.

解法二：（由數(shù)量積求得結(jié)果代入x+y,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域）

設(shè)的外接圓半徑為/?,乙COA二24B、/AOB二22、乙BOC二2乙A.

3

21

由OCOA=xOA+丁0804得(：0528=1——y.

2

-21

由OC-OB=xOB-OA+y08得cos2A=--x+y

故x+y=2(cos2A+cos23)=2cos[2A+1]以下同解法一.

解法三(基本不等式法)由。。=xOA+yOB,平方后可得l=x2+y2-xy,

配方可得(x+y>-3盯=1,故(x+y)?=1+3孫，l+=(x+y)2

4

,.，x<0,y<0,故l<(x+y)2,,4,即一2<x+y<-l,故迭D.

解法四（三角換元法）同解法三得1=/+/-xy,配方可得x-2I+V2=L

x