不等式及其性質(zhì)(教師版)

1初二下冊第二章一元一次不等式及一元一次不等式組【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解不等式的意義，認識不等式和等式都刻畫了現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系；2.理解不等式的三條基本性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用；3．理解并掌握一元一次不等式的概念及性質(zhì)；【要點梳理】要點一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式.(1)不等號“＜”或“＞”表示不等關(guān)系，它們具有方向性，不等號的開口所對的數(shù)較大.它說明兩個量之間的關(guān)系是不相等的，但不能確定哪個大，哪個小表示左邊的量比右邊的量小表示左邊的量比右邊的量大即“不大于”，表示左邊的量不大于右邊的量“≤”即“不小于”，表示左邊的量不小于右邊的量“≥”讀法讀作“不等于”讀作“小于”讀作“大于”讀作“小于或等于”讀作“大于或等于”“≠”“<?“>?(3)有些不等式中不含未知數(shù)，如3＜4，-1＞-2；表示未知數(shù)，對于含有未知數(shù)的不等式，當(dāng)未知數(shù)取某些值時，不等式的左、右兩邊符合不等號所表示的大小關(guān)系，我們說不等式成立，否則，不等式不成立.類型一、不等式的概念例1.判斷下列各式哪些是等式，哪些是不等式.（1）4＜5；（2）x2+1＞0；（3）x＜2x-5；（4）x=2x+3；（5）3a2+a；（6）a2+2a≥4a-2.1.（2017春?城關(guān)區(qū)校級期末）貴陽市今年5月份的最高氣溫為27℃,最低氣溫為18℃,已知某一天的氣溫為t℃,則下面表示氣溫之間的不等關(guān)系正確的是()2.（2017春?未央?yún)^(qū)校級月考）下列式子：①a+b=b+a；②-2＞-2初二下冊第二章一元一次不等式及一元一次不等式組13y-4＜1；⑤2m≥n；⑥2x-3，其中不等式有()⑤x+2≤3；⑥2x≠0；其中不等式有()4.（2017春?太原期中）學(xué)校組織同學(xué)們春游，租用45座和30座兩種型號的客車，若租用45座客車x輛，租用30座客車y輛，則不等式“45x+30y≥500”表示的實際意義是()A．兩種客車總的載客量不少于500人B．兩種客車總的載客量不超過500人C．兩種客車總的載客量不足500人D．兩種客車總的載客量恰好等于500人5.已知有理數(shù)m，n的位置在數(shù)軸上如圖所示，用不等號填空.A.大于零B.小于零C.不大于零D.不小于零10不大于2”可表示為a2-10<12；③“x的倒數(shù)超過10”可表示為＞10；④“a，b兩數(shù)的平方和為正數(shù)”可表x只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，3(1)一元一次不等式滿足的條件：①左右兩邊都是整式(單項式或多項式)；3初二下冊第二章一元一次不等式及一元一次不等式組③未知數(shù)的最高次數(shù)為1.(2)一元一次不等式與一元一次方程既有區(qū)別又有聯(lián)系：不同點：一元一次不等式表示不等關(guān)系，由不等號“＜”、“≤”、“≥”或“＞”連接，不等號有方向；一元一次方程表示相等關(guān)系，由等號“＝”連接，等號沒有方向.5-B．2x＞1-x2Cx變式練習(xí)22017春?平川區(qū)校級期中）下列是一元一次不等式的是()1x4.若（m+1）x|m|+2＞0是關(guān)于x的5.下列不等式中，是一元一次不等式的有個.要點三、不等式的基本性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)1：不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或整式)，不等號的方向不變.不等式的基本性質(zhì)2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變.不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變.例1.判斷以下各題的結(jié)論是否正確（對的打“√”,錯的打“×”).（2）如果﹣5x＞20，那么x4；【答案與解析】4初二下冊第二章一元一次不等式及一元一次不等式組改變.例4.（2017?青浦區(qū)一模）已知a＞b，下列關(guān)系式中一定正確的是()【思路點撥】根據(jù)不等式的性質(zhì)分析判斷.【答案】D.【解析】D、若a＞b，則﹣a<﹣b，故本選項正確.【總結(jié)升華】不等式的性質(zhì)是不等式變形的重要依據(jù)．關(guān)鍵要注意不等號的方向．性質(zhì)1方向要改變.3m3解：∵將“mx＜3”變形為“x＞-”，m【鞏固練習(xí)】一、選擇題有()2．下列不等式表示正確的是().A．a(chǎn)不是負數(shù)表示為a＞0B．x不大于5可表示為x＞5C．x與1的和是非負數(shù)可表示為x+1＞0D．m與4的差是負數(shù)可表示為m-4＜0A．2個B．3個C．4個D．5個5初二下冊第二章一元一次不等式及一元一次不等式組4．已知a＜b，則下列不等式一定成立的是()A．a(chǎn)+3＞b+3B．2a＞2bC．-a＜-bD．a(chǎn)-b＜05．若5．若圖示的兩架天平都保持平衡，則對a、b、c三種物體的重量判斷正確的是.A.a>cB.a<cC.a<b6．下列變形中，錯誤的是(D.b<cB．若23二、填空題8．用不等式表示“x與a的平方差不是正數(shù)”為.9．在-l，1223是不等式-x＞0的解.10．假設(shè)a＞b，請用“＞”或“＜”填空11．已知a＞b，且c≠0，用“＞”或“＜”填空.(1)2aa+b(2)--12.k的值大于-1且不大于3，則用不等式表示k的取值范圍是使用形如a≤x≤b的類似式子填空.)三、解答題①在不等式的兩邊都加上（或減去）同一個整式，不等號的方向不變；乘的數(shù)（或整式）為負時不等式的方向改變.）；②當(dāng)a=-3，b=5時用不等式表示a2+b2與2ab的大小是；③當(dāng)a=1，b=1時用不等式表示a2+b2與2ab的大小是；④根據(jù)上述數(shù)學(xué)實驗?zāi)悴孪隺2+b2與2ab的大小關(guān)系；6初二下冊第二章一元一次不等式及一元一次不等式組⑤用a、b的其他值檢驗?zāi)愕牟孪?15．已知x＜y，比較下列各對數(shù)的大小.(1)8x-3和8y-3；(2)-x+1和-y+1；(3)x-2和【答案與解析】一、選擇題【解析】從不等式a＜b入手，由不等式的性質(zhì)1，不等式a＜b的兩邊都加上3后，不等號的方向不變，得a+3＜b+3，故選項A不成立；由不等式的性質(zhì)2，不等式a＜b的兩邊都乘以2后，不等號的方向不變，得2a＜2b，故選項B不成立；由不等式的性質(zhì)3，不等式a質(zhì)1，不等式a＜b的兩邊都減去b后，不等號的方向不變，得a-b＜0．故應(yīng)選D.二、填空題【解析】在a＜b的兩邊同時乘以﹣3，得3a3b，兩邊同12【解析】一一代入驗證.＞；【解析】利用不等式的性質(zhì)進行判斷。三、解答題7初二下冊第二章一元一次不等式及一元一次不等式組a2+b2=34，2ab=30，2+b2＞2ab；②當(dāng)a=-3，b=5時，a2+b2=34，2ab=-30，2+b2＞2ab；a2+b2=2，2ab=2，2+b2=2ab；），2+b2-2ab≥0，2+b2≥2ab.⑤設(shè)a=2，b=2，則a2+b2=2ab=8，上述結(jié)論正確；設(shè)a=5，b=3，則a2+b2=34，2ab=30，所以a2+b2＞2ab，∴-x+1>-y+1.∴x-2＜y-1.類型一、不等式的概念1．有數(shù)顆等重的糖果和數(shù)個大、小砝碼，其中大砝碼皆為5克、小砝碼皆為1克，且下圖是將糖果與砝碼放在等臂天平上的兩種情形．判斷下列正確的情形是().8初二下冊第二章一元一次不等式及一元一次不等式組糖果的質(zhì)量取值范圍，再在4個選項中找出情形正確的.【答案】D.【解析】每一個糖果的重量小于克．故A選項錯；兩個糖果的重量小于=10克故B選項錯；故D選項對.x4=313合思想，解決問題的基本思路是根據(jù)圖示信息列出不等式.【變式】設(shè)“【變式】設(shè)“▲”、“●”、“■”分別表示三種不同的物體，現(xiàn)用天平秤兩次，【答案】C.類型二、不等式的基本性質(zhì)類型二、不等式的基本性質(zhì)ba【答案】B.22得c9初二下冊第二章一元一次不等式及一元一次不等式組慮這個數(shù)不等于0，而且先必須確定這個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù).【變式1】a、b是有理數(shù)，下列各式中成立的是().C．若a≠b，則｜a|≠|(zhì)b|D．若｜a|≠|(zhì)b|，則a≠b【答案】D.【答案】x<﹣1.解：∵點P（1﹣m，m）在第一象限，∴不等式（m﹣1）x＞1﹣m，∴（m﹣1）xm﹣1不等式兩邊同時除以m﹣1，得：x<﹣1，3.設(shè)a＞0＞b＞c，且a+b+c=-1，若M=b+caN=ba+b,P=,c∴M==?1?,∴>0∴?1?a<?1<?1?c<?1?b【總結(jié)升華】本題考查不等式的基本性質(zhì)，關(guān)鍵是M、N、P的等價變形，利用了4.（2016春唐河縣期中）【提出問題】已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，試確定x+y的取值范圍.【分析問題】先根據(jù)已知條件用一個量如y取表示另一個量如x，然后根據(jù)題中已知量x的初二下冊第二章一元一次不等式及一元一次不等式組取值范圍，構(gòu)建另一量y的不等式，從而確定該量y的取值范圍，同法再確定另一未知量x的取值范圍，最后利用不等式性質(zhì)即可獲解.【解決問題】解：∵x﹣y=2，∴x=y+2.又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y1.又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，?①【嘗試應(yīng)用】已知x﹣y=﹣3，且x<﹣1，y＞1，求x+y的取值范圍.【思路點撥】先根據(jù)已知條件用一個量如y取表示另一個量如x，然后根據(jù)題中已知量x的取值范圍，構(gòu)建另一量y的不等式，從而確定該量y的取值范圍，同法再確定另一未知量x的取值范圍，最后利用不等式性質(zhì)即可獲解.【答案與解析】解：∵x﹣y=﹣3，又∵x<﹣1，∴y﹣3<﹣1，∴1＜y＜2，?①同理得﹣2＜x<﹣1…②除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變；（3）不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變.初二下冊第二章一元一次不等式及一元一次不等式組【鞏固練習(xí)】一、選擇題A．4個B．3個C．2個D．1個2.若a+b＞0，且b＜0，則a，b，-a，-b的大小關(guān)系為.A．-a＜-b＜b＜aB．-a＜b＜-b＜aC．-a＜b＜a＜-bD．b＜-a＜-b＜aA．1個B．2個C．3個D．0個14．若0＜x＜1，則x，-，x2的大小關(guān)系是().x2其中不等式正確的是.a、b、c、<<<①62016春?豐臺區(qū)期末）下列不等式變形正確的是()二、填空題7．在行駛中的汽車上，我們會看到一些不同的交通標(biāo)志圖形，它們有著不同的意義，如圖所示，如果汽車的寬度為xm，則用不等式表示圖中標(biāo)志的意義為.2(2)若m＜0，ma＜mb，則ab.10．已知關(guān)于x的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是負數(shù)，則a的取值范圍是.112016春?濟南校級期末）下列判斷中，正確的序號為.初二下冊第二章一元一次不等式及一元一次不等式組12．如果不等式3x-m≤0的正整數(shù)解有且只有3個，那么m的取值范圍是.三、解答題(1)某工人5月份計劃生產(chǎn)零件198個，前16天平均每天生產(chǎn)6個，后來改進技術(shù)，提前3天，并超額完成任務(wù)，設(shè)他16天之