人教A版(2019)高中數(shù)學必修第一冊2.2基本不等式教學設(shè)計

2．2基本不等式本單元主要學習基本不等式的定義、幾何解釋、證明方法與應用.相等關(guān)系、不等關(guān)系是數(shù)學中最基本的數(shù)量關(guān)系，是構(gòu)建方程、不等式的基礎(chǔ)．基本不等“等圓中，弦長不大于直徑”等，都是基本不等式的直觀理解.基本不等式的證明或推導方法很多，上面的分析也是基本不等式證明方法的來源．利用分析法，從數(shù)量關(guān)系的角度，利用不等式的性質(zhì)來推導基本不等式；從平面幾何圖形的角度，借助幾何直觀，通過數(shù)形結(jié)合來探究不等式的幾何解釋；從函數(shù)的角度，通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)來證明基本不等式；等等．這些方法也是代數(shù)證明和推導的典型方法.基本不等式是幾何平均數(shù)不大于算術(shù)平均數(shù)的最基本和最簡單的情形，可以推廣至n個正數(shù)的幾何平均值不大于算術(shù)平均值．基本不等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)也是數(shù)學模型思想的一個范例，借助這個模型可以求最大值和最小值．同時，在理解和應用基本不等式的過程中涉及變與不變、變量與常量，以及數(shù)形結(jié)合、數(shù)學模型等思想方法．因此，基本不等式的內(nèi)容可以培養(yǎng)學生的邏輯推理、數(shù)學運算和數(shù)學建模素養(yǎng).基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點：基本不等式的定義、幾何解釋和證明方法，用基本不等式解決簡單的最值問題.由于學生缺少代數(shù)式證明的經(jīng)驗，所以基本不等式的證明是本節(jié)課的一個難點．基本不等式的幾何解釋也是學生不容易想到的，需要數(shù)形結(jié)合地去理解，所以這也是本節(jié)課的一個難點．在進行基本不等式的集合解釋的教學時，為了幫助學生直觀地觀察圖形中幾何元素之間的動態(tài)關(guān)系，并將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)表示，可以利用信息技術(shù)制作一個動態(tài)圖形，以幫助學生直觀理解.此外，在利用基本不等式研究最值問題時，學生容易出現(xiàn)忽視使用條件，不驗證等號是否成立，甚至出現(xiàn)沒有確認和或積為定值就求“最值”等問題，這也是學生思維不夠嚴謹?shù)谋憩F(xiàn)，因此基本不等式的證明和利用基本不等式求最值也是本節(jié)課的難點.1.理解基本不等式，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).2.結(jié)合具體實例，用基本不等式解決簡單的求最大值或最小值的問題，發(fā)展數(shù)學運算和數(shù)學建模素養(yǎng).學科素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：基本不等式的形式以及推導過程.2.邏輯推理：基本不等式的證明.3.數(shù)學運算：利用基本不等式求最值.4.數(shù)據(jù)分析：利用基本不等式解決實際問題.5.數(shù)學建模：利用函數(shù)的思想和基本不等式解決實際問題，提升學生的邏輯推理能力.（一）基本不等式的定義導入語：我們知道，乘法公式在代數(shù)式的運算中有重要作用．那么，是否也有一些不等式，它們在解決不等式問題時有著與乘法公式類似的作用呢？下面就來研究這個問題.問題1：在上一節(jié)我們利用完全平方公式得出了一類重要不等式，請同學回憶是什么不等號成立.2最基本的運算，通常我們稱此不等式為基本不等式．其中──叫做正數(shù)a，bab叫做a，b的幾何平均數(shù)．基本不等式表明兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).ab≤—的定義，同時在兩個不等式之間建立聯(lián)系．通過分析基本不等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)特點，得到基本不等式的代數(shù)解釋，初步加深對基本不等式的認識.（二）基本不等式的證明問題2：上節(jié)課我們看到，證明不等關(guān)系，還可以運用不等式性質(zhì)，你能否利用不等式的師生活動：學生可能根據(jù)兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實，用作差比較證明上式．肯定并追問，是否還有其它證法？由于沒有已知條件，學生不知從何入手.追問1：你能否尋找一下此不等式成立的充分條件？也就是要證ab≤a+b，只需要明什2么，從而形成證明思路.來，就能用不等式的性質(zhì)直接推出基本不等式了.師生活動：學生分別回答教科書第44頁證明過程中，由②①,由③②,由④③,由④⑤④的依據(jù).師生活動：學生討論后回答．教師總結(jié)：分析法是一種“執(zhí)果索因”的證明方法證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.師生活動：學生思考后回答．教師總結(jié)：由于分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐它成立的充分條件，所以分析法在書寫過程中必須有相應的文字說明：一般每一步的推理都用“要證……只要證……”的格式，當推導到一個明顯成立的條件之后，指出“顯然立．教師指出基本不等式的定義要求a，b均為正數(shù).設(shè)計意圖：根據(jù)不等式的性質(zhì)，用分析法證明基本不等式，同時引導學生認識分析法的證明過程和證明格式，為學生高中階段的推理和證明提供了更豐富的策略.（三）基本不等式的幾何解釋直于AB的弦DE，連接AD，BD．你能利用這個圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？師生活動：學生思考后回答，教師引導學生總結(jié)：從條件和基本不等式出發(fā)，發(fā)徑長等于a+b，CD=ab，教師操作課件，也就是基本不等式可以利用“圓中直徑不小于任2意一條弦”得到解釋．當且僅當弦DE過圓心時，二者相等.設(shè)計意圖：讓學生自己尋找基本不等式的幾何解釋是非常困難的，因此這里給出了幾何圖2的大小關(guān)系的規(guī)律，從而獲得基本不等式的幾何解釋.（四）基本不等式的簡單應用xx0追問2：本題中要求最小值的代數(shù)式有什么結(jié)構(gòu)特點？是否可以利用基本不等式求x+-1的xx--x1x的算術(shù)平均數(shù)的2倍，而后者的幾何平均數(shù)x1x是一個定值，所以可以利用基本不等式求解．教師展示教科書第45頁例1的解答過程.x立”?x師生活動：學生討論后回答．教師總結(jié)：代數(shù)式能轉(zhuǎn)化為兩個正數(shù)的和或積的形的和或者積是一個定值，不等式中的等號能取到，通俗的說，就是“一正、二定、三相等”強調(diào)代數(shù)式的最值必須是代數(shù)式能取到的值，為學生求解代數(shù)式的最值問題提供示范．同時，在本題之后，引導學生總結(jié)能應用基本不等式求最值的代數(shù)式滿足的條件.（1）如果積xy等于定值P那么當x=y時，和x+y有最小值2P；師生活動：師生一起分析后，由學生思考并書寫證明過程后展示，師生共同補充完善.值時，求它們的和的最小值或者“兩個正數(shù)的和為定值，當這兩個數(shù)取什么值時，求它們的積的最大值”的問題，能夠用基本不等式解決.時借此題的題干指出用基本不等式能夠解決的兩類問題，為用基本不等式解決實際問題創(chuàng)造了條件.（五）利用不等式解決生活問題導入語：運用數(shù)學知識解決生活中的最值問題，也就是最優(yōu)化的問題，特別能體現(xiàn)數(shù)學應用價值．基本不等式是求最值的工具，特別是對求代數(shù)式的最值問題有重要的意義.例3:（1）用籬笆圍一個面積為100m2的矩形菜園，當這個矩形的邊長為多少時，所用籬（2）用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，當這個矩形的邊長為多少時，菜園的面積追問1：前面我們總結(jié)了能用基本不等式解決的兩類最值問題，本例的兩個問題分別屬于多大時周長最短，實際上是已知兩個正數(shù)的積為定值，求當這兩個數(shù)取什么值時，它們的和有最小值的問題：第（2）題可以轉(zhuǎn)化為：矩形的鄰邊之和為定值，邊長多大時面積最大，實際上是已知兩個正數(shù)的和為定值，求當這兩個數(shù)取什么值時，它們的積有最大值的問題.追問2：例2給出了用基本不等式解決問題的數(shù)學模型：4化為數(shù)學模型（2）求解.學生進一步回答解答過程，教師予以規(guī)范，并板書.設(shè)計意圖：本例是典型而較簡單的能夠用基本不等式求解的問題．通過本例的教學，可以幫助學生理解如何用基本不等式模型理解和識別實際問題，從而用基本不等式解決問題，進一步發(fā)展學生的模型思想.例4：某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m．如果池（1）水池的總造價由什么來確定？（答案：由池底的邊長確定）（2）如何求水池的總造價？（答案：設(shè)貯水池池底相鄰兩條邊的邊長分別為xm（3）此問題可以用基本不等式的數(shù)學模型求解嗎？為什么？(答案：本例實際上是已知兩個正數(shù)的積為定值，求當這兩個數(shù)取什么值時，它們的和有最小值，以及最小值是多少，可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型（1）解決．)學生回答解答過程，教師板書.設(shè)計意圖：本題的背景更加復雜，需引導學生簡化問題，再用基本不等式模型求解．本例在例3的基礎(chǔ)上，進一步培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光看問題的能力，提升他們的數(shù)學模型素養(yǎng).（六）歸納小結(jié)教師引導學生回顧本單元的內(nèi)容，并回答下面的問題：（2）