幾類基本不等式及其應(yīng)用

握情況的重要內(nèi)容.學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)過程中，掌握并能夠正確的運用基本不于不等式的研究，向著更加高深、復(fù)雜，并且多用，能夠為高數(shù)不等式教學(xué)提供參考和借鑒.當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)值相等時，即a=b，等號成立.2(a+b)2(a+b)2基本不等式可以用于比較實數(shù)大小或證明不等式、求最值、求取值范圍等.已知a>0，b>0，a+b=1，證明a++b+≤2.x.xx.x(1)(1)(1)(1)11x當(dāng)且僅當(dāng)x=─時，即x=8時，取等號.)取最小值，為36.xxx+yxx例3求取值范圍.x+yx+yx+yx+y2=x式之一.2n…a≤1++…+均值不等式主要應(yīng)用在極限的證明、求極限等.n<(.（n)（k)（n)（k)k（n)（k)（n)（k)k.（k+1)（n+1)（n)（k).n（n)（n)（n)（k)（k)（n)（n)（n)（k)成立.n（n)（n)（k)（k)（n)（n)（n)n（n)--n+2=(（n)（n)n+1（n)n-++-1?lnn為收斂，其極限值為Euler數(shù).例5求極限limnn.n則n在不等式的應(yīng)用中，在涉及到重量、面積、到原點之間的距離叫做數(shù)a的絕對值.性質(zhì).絕對值不等式主要應(yīng)用于最值的求解、求取值范圍等.21-b2l的最大值為M，若M≥k對任意的b、c恒成立，求k的最大值.解將函數(shù)f(x)進行化簡，得出f(x)=x－b+—1+b+c若1-b-1-b（1-b)（-1-b)43因此當(dāng)b<?2時，M≥-.3若||)(m>0,n>0)可以將c消除，得出2(m+n)M≥n+n+m+m-2(m+n)，l-1，因此k的最大值為2－1.例7求取值范圍.使得不等式f(x0)≥M成立，求實數(shù)M的取值范圍.運用絕對值不等式，將參數(shù)a,b將消除，則設(shè)再運用待定系數(shù)法，將m、n、k值求出，則為16M≥51-a-b+33-9a-b+82-4a-b8即M的最大值為，此時a=，b=80定理1設(shè)函數(shù)f(x)在a存在n階導(dǎo)數(shù)，則Vxnn)此式稱為麥克勞林公式.2f(n+1f()，0<θ<1.計算、判斷反常積分及級數(shù)斂散性.開時中，進行簡單計算驗證本題.22≤πM.4設(shè)f(x,y)在點(0,0)，運用泰勒公式展開到二階，并且已知f2+2f2+f2≤M，將記則2f2+2f2+f2≤M，22≤M，2+22+2)-例9求函數(shù)極限.2-x)才能夠計算出結(jié)果，計算量較為龐大，而運用泰勒公式，則運算過程較為簡單.--1--21--232-x(x)(x)(x)(x)((()2-x)limf(x)中，要運用泰勒公式，將非零因子項（乘或者除項）進行轉(zhuǎn)換，再通行這類題目的計算過程中，注意到這些原理有助于提高計算的準確度.(2(2解,，,，(,，,，((2(2((2(2(θ)((3(2(2xx行近似值計算，可以依據(jù)題目中精確度要求展開至合適的階數(shù).2xx-x2（x)(θ)sin|(θ)2(θ)1(θ)即當(dāng)x=501時，滿足題目中的假設(shè)條件解.并根據(jù)題目中對精確度的具體要求，來確定泰勒展開式的階數(shù).22=1+0.32+0.0352+0.001152+0.論.---1]-xx-極限值進行斂散性的判斷，在這種情況下，將在x=0處進行泰勒展開，是x一種簡單且十分快速有效的求解方法.--1]---1]--=(該式與-1x1-|0-|0則--1.（x2)--1]②設(shè)a=(|1-plnn)|n，判斷Σa的斂散性.n(~n-pn2)Σb2)).bnv向量a，β,則有(a，β)≤a·βI-3,2,,等式證明.1─a+b,證明++31bbaasin2a=—a=—b4+..2—++—aa==1a1a即11a1221—+…+—an+…+─—+…+—aaA2+B2+C20-平面a的距離.aaA220-22000A2+B2+C2在施瓦茨不等式的應(yīng)用中，可以在實數(shù)域、到應(yīng)用.式ΣΣ都收斂，則對vneN有不等·Σamam，)jf證明已知函數(shù)f(x)定義在區(qū)間[a,b]上，且連續(xù)（jeN將[a,b]區(qū)間ji