2023-2024學年山東省濟寧市金鄉(xiāng)縣八年級（上）期中數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年山東省濟寧市金鄉(xiāng)縣八年級第一學期期中數(shù)學試卷一.選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．下列微信表情圖標屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．點M（﹣5，2）關(guān)于y軸對稱的點的坐標為（）A．（﹣5，﹣2） B．（5，﹣2） C．（5，2） D．（﹣5，2）3．將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則∠α的大小為（）A．85° B．75° C．65° D．55°4．具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C5．已知等腰三角形的一個內(nèi)角為40°，則這個等腰三角形的底角為（）A．40° B．70° C．40°或100° D．40°或70°6．如圖，點D，E分別在線段AB，AC上，CD與BE相交于O點，已知AB＝AC，現(xiàn)添加以下的哪個條件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AD＝AE7．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，將其折疊，使點A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠A′DB＝（）A．40° B．30° C．20° D．10°8．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交邊BC于點D，若CD＝4，AB＝15，則△ABD的面積是（）A．15 B．30 C．45 D．609．如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC的中點，P是AD上的一個動點，當PC與PE的和最小時，∠ECP的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．90°10．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過O點作直線EF交AB于點E，交AC于點F，過點O作OD⊥AC于D，有下列四個結(jié)論：①∠BOC＝90°﹣∠A；②∠BOC＝90°+∠A；③點O到△ABC各邊的距離相等；④設(shè)OD＝m，AE+AF＝n，則S△AEF＝mn，其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二.填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．三角形的三邊長分別為5，1+2x，8，則x的取值范圍是．12．在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝2∠B，則∠B＝．13．如圖所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，則∠3＝．14．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則它的頂角為．15．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以2厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．若點Q的運動速度為v厘米/秒，則當△BPD與△CQP全等時，v為厘米/秒．三.解答題（本大題共7個小題，滿分55分）16．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．（1）在圖中作出△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△A1B1C1；（2）求出△ABC的面積；（3）在y軸上找一點P，使得PB＝PC．（不寫作法，保留作圖痕跡）17．一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的2倍還大180°，求這個多邊形對角線的條數(shù)．18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC，其中點A，點B的對應(yīng)點分別是點D，點E，延長AB交DE于F，連接FC．（1）探究AF和DE的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求證：FC平分∠EFA．19．如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分線BE交AC于點E．點D為AB上一點，且AD＝AC，CD，BE交于點M．（1）求∠DMB的度數(shù)；（2）若CH⊥BE于點H，AB＝16，求MH的長．20．如圖所示，一輪船由西向東航行，在A處測得小島P在北偏東75°的方向上，輪船行駛40海里后到達B處，此時測得小島P在北偏東60°的方向上．（1）求BP的距離；（2）已知小島周圍22海里內(nèi)有暗礁，若輪船仍向前航行，有無觸礁的危險．21．如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E．（1）若BC＝10，求△ADE的周長．（2）若∠BAC＝115°，求∠DAE的度數(shù)．（3）設(shè)直線DM、EN交于點O，試判斷點O是否在BC的垂直平分線上，并說明理由．22．（1）某學習小組在探究三角形全等時，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線l經(jīng)過點A，BD⊥直線l，CE⊥直線l，垂足分別為點D、E．證明：DE＝BD+CE．（2）組員小劉想，如果三個角不是直角，那結(jié)論是否會成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE＝BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．（3）數(shù)學老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵他們運用這個知識來解決問題：如圖3，過△ABC的邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點I，求證：I是EG的中點．

參考答案一.選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．下列微信表情圖標屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】結(jié)合軸對稱圖形的概念求解即可．解：A、不是軸對稱圖形，本選項不合題意；B、不是軸對稱圖形，本選項不合題意；C、是軸對稱圖形，本選項符合題意；D、不是軸對稱圖形，本選項不合題意．故選：C．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．點M（﹣5，2）關(guān)于y軸對稱的點的坐標為（）A．（﹣5，﹣2） B．（5，﹣2） C．（5，2） D．（﹣5，2）【分析】直接利用關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)得出答案．解：點M（﹣5，2）關(guān)于y軸對稱的點的坐標是：（5，2）．故選：C．【點評】此題主要考查了關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)，正確記憶橫縱坐標的關(guān)系是解題關(guān)鍵．3．將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則∠α的大小為（）A．85° B．75° C．65° D．55°【分析】由題意可得∠A＝30°，∠ABC＝45°，直接利用三角形的外角性質(zhì)即可求解．解：如圖，由題意得：∠A＝30°，∠ABC＝45°，∴∠α＝∠A+∠ABC＝75°．故選：B．【點評】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是明確三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角之和．4．具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C【分析】由三角形內(nèi)角和為180°求得三角形的每一個角，再判斷形狀．解：A選項，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，為直角三角形，不符合題意；B選項，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，為直角三角形，不符合題意；C選項，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A選項，不符合題意；D選項，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三個角沒有90°角，故不是直角三角形，符合題意．故選：D．【點評】注意直角三角形中有一個內(nèi)角為90°．5．已知等腰三角形的一個內(nèi)角為40°，則這個等腰三角形的底角為（）A．40° B．70° C．40°或100° D．40°或70°【分析】由于不明確40°的角是等腰三角形的底角還是頂角，故應(yīng)分40°的角是頂角和底角兩種情況討論．解：當40°的角為等腰三角形的頂角時，底角的度數(shù)＝＝70°；當40°的角為等腰三角形的底角時，其底角為40°，故它的底角的度數(shù)是70°或40°．故選：D．【點評】此題主要考查學生對等腰三角形的性質(zhì)這一知識點的理解和掌握，由于不明確40°的角是等腰三角形的底角還是頂角，所以要采用分類討論的思想．6．如圖，點D，E分別在線段AB，AC上，CD與BE相交于O點，已知AB＝AC，現(xiàn)添加以下的哪個條件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AD＝AE【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根據(jù)全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加條件，逐一證明即可．解：∵AB＝AC，∠A為公共角，A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可證明△ABE≌△ACD；B、如添BE＝CD，因為SSA，不能證明△ABE≌△ACD，所以此選項不能作為添加的條件；C、如添BD＝CE，等量關(guān)系可得AD＝AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD；D、如添AD＝AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD．故選：B．【點評】此題主要考查學生對全等三角形判定定理的理解和掌握，此類添加條件題，要求學生應(yīng)熟練掌握全等三角形的判定定理．7．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，將其折疊，使點A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠A′DB＝（）A．40° B．30° C．20° D．10°【分析】在直角三角形ABC中，由∠ACB與∠A的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠B的度數(shù)，再由折疊的性質(zhì)得到∠CA′D＝∠A，而∠CA′D為三角形A′BD的外角，利用三角形的外角性質(zhì)即可求出∠A′DB的度數(shù)．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，∴∠B＝180°﹣90°﹣55°＝35°，由折疊可得：∠CA′D＝∠A＝55°，又∵∠CA′D為△A′BD的外角，∴∠CA′D＝∠B+∠A′DB，則∠A′DB＝55°﹣35°＝20°．故選：C．【點評】此題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，以及折疊的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．8．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交邊BC于點D，若CD＝4，AB＝15，則△ABD的面積是（）A．15 B．30 C．45 D．60【分析】判斷出AP是∠BAC的平分線，過點D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE＝CD，然后根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解．解：由題意得AP是∠BAC的平分線，過點D作DE⊥AB于E，又∵∠C＝90°，∴DE＝CD，∴△ABD的面積＝AB?DE＝×15×4＝30．故選：B．【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)以及角平分線的畫法，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC的中點，P是AD上的一個動點，當PC與PE的和最小時，∠ECP的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】連接BE，則BE的長度即為PE與PC和的最小值．再利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠PBC＝∠PCB＝30°，即可解決問題．解：如圖，連接BE，與AD交于點P，此時PE+PC最小，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE≥BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BCE＝60°，∵BA＝BC，AE＝EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝30°，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝30°，∴∠ECP＝30°，故選：A．【點評】本題考查的是最短線路問題及等邊三角形的性質(zhì)，熟知兩點之間線段最短的知識是解答此題的關(guān)鍵．10．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過O點作直線EF交AB于點E，交AC于點F，過點O作OD⊥AC于D，有下列四個結(jié)論：①∠BOC＝90°﹣∠A；②∠BOC＝90°+∠A；③點O到△ABC各邊的距離相等；④設(shè)OD＝m，AE+AF＝n，則S△AEF＝mn，其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和與角平分線的性質(zhì)可得∠BOC＝90°+∠A；根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知OM＝ON＝OD；將△AEF的面積分成△AOE的面積加上△AOF的面積即可得出結(jié)論．解：在△ABC中，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，∴∠OBC＝，∠OCB＝，∴∠OBC+∠OCB＝+＝＝＝90°﹣，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣）＝90°+，∴①不正確，②正確；過點O作ON⊥BC于點N，過點O作OM⊥AB于點M，連接OA，∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴OM＝ON，又∵OD⊥AC，∴OD＝ON，∴OM＝ON＝OD，∴③正確，∵，，∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝，設(shè)OD＝m，AE+AF＝n，則，∴④正確．∴正確的有②③④，故選：C．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和，熟練掌握角平分線的性質(zhì)并且靈活運用是解決本題的關(guān)鍵．二.填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．三角形的三邊長分別為5，1+2x，8，則x的取值范圍是1＜x＜6．【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．解：由題意，有8﹣5＜1+2x＜8+5，解得：1＜x＜6．【點評】考查了三角形的三邊關(guān)系，還要熟練解不等式．12．在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝2∠B，則∠B＝30°．【分析】設(shè)∠B為x度，根據(jù)∠C＝2∠B，則∠C＝2x，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到關(guān)于x的方程，解出方程的解即可得到∠B．解：設(shè)∠B為x度，∵∠C＝2∠B，∴∠C為2x度，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得：90+x+2x＝180，即：3x＝90，解得：x＝30，則∠B＝30°．故答案為：30°．【點評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是要設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)內(nèi)角和定理列出正確的方程來求解．13．如圖所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，則∠3＝55°．【分析】求出∠BAD＝∠EAC，證△BAD≌△CAE，推出∠2＝∠ABD＝30°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出即可．解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠2＝∠ABD＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，故答案為：55°．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出△BAD≌△CAE．14．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則它的頂角為60°或120°．【分析】等腰三角形的高相對于三角形有三種位置關(guān)系，三角形內(nèi)部，三角形的外部，三角形的邊上．根據(jù)條件可知第三種高在三角形的邊上這種情況不成了，因而應(yīng)分兩種情況進行討論．解：當高在三角形內(nèi)部時，頂角是60°；當高在三角形外部時，頂角是120°．故答案為：60°或120°．【點評】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形的高相對于三角形的三種位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題易出現(xiàn)的錯誤是只是求出120°一種情況，把三角形簡單的認為是銳角三角形．因此此題屬于易錯題．15．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以2厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．若點Q的運動速度為v厘米/秒，則當△BPD與△CQP全等時，v為2或3厘米/秒．【分析】設(shè)運動時間是t秒，求出AD＝BD＝6厘米，BP＝2t厘米，CP＝（6﹣2t）厘米，CQ＝vt厘米，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出兩個情況：①BD＝CP，BP＝CQ，②BD＝CQ，CP＝BP，代入后先求出t，再求出v即可．解：設(shè)運動時間是t秒，∵點D為AB的中點，AB＝12厘米，∴AD＝BD＝6厘米，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，所以要使△BPD和△CQP全等，有兩種情況：①BD＝CP，BP＝CQ，即6＝8﹣2t，解得：t＝1，∵BP＝CQ，∴2×1＝1×v，解得：v＝2；②BD＝CQ，CP＝BP，∵BC＝8厘米，∴CP＝BP＝BC＝4厘米，即運動時間t＝＝2，∵BD＝CQ，∴6＝2v，解得：v＝3；所以v＝2或3，故答案為：2或3．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理和等腰三角形的性質(zhì)，能根據(jù)全等三角形的性質(zhì)定理得出兩種情況是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等．三.解答題（本大題共7個小題，滿分55分）16．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．（1）在圖中作出△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△A1B1C1；（2）求出△ABC的面積；（3）在y軸上找一點P，使得PB＝PC．（不寫作法，保留作圖痕跡）【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可寫出點A，B，C關(guān)于y軸的對稱點A′，B′，C′的坐標；（2）根據(jù)網(wǎng)格利用割補法即可求出△ABC的面積；（3）作線段BC的垂直平分線交y軸于一點，即為點P，因為到兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上，則PB＝PC，即可作答．解：（1）解：△A1B1C1如圖所示：（2）依題意，；（3）點P如圖所示：【點評】本題考查了作圖?軸對稱變換，軸對稱?最短路線問題，垂直平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．17．一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的2倍還大180°，求這個多邊形對角線的條數(shù)．【分析】由n邊形的對角線條數(shù)是，即可求解．解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，由題意得：（n﹣2）×180°＝360°×2+180°，∴n＝7，∴這個多邊形對角線的條數(shù)是＝＝14．【點評】本題考查多邊形的有關(guān)知識，關(guān)鍵是掌握n邊形的對角線條數(shù)是．18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC，其中點A，點B的對應(yīng)點分別是點D，點E，延長AB交DE于F，連接FC．（1）探究AF和DE的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求證：FC平分∠EFA．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠A＝∠D，再利用三角形內(nèi)角和定理得∠DFB＝∠ACB＝90°，即可得出結(jié)論；（2）過點C作CG⊥AF于G，CH⊥DE于H，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△ACB≌△DCE，則CG＝CH，再利用角平分線的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】（1）解：AF⊥DE，理由如下：∵將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC，∴∠A＝∠D，∵∠ABC＝∠DBF，∴∠DFB＝∠ACB＝90°，∴AF⊥DE；（2）證明：過點C作CG⊥AF于G，CH⊥DE于H，∵將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC，∴△ACB≌△DCE，∴CG＝CH，∵CH⊥DE，CG⊥AB，∴FC平分∠EFA．【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分線BE交AC于點E．點D為AB上一點，且AD＝AC，CD，BE交于點M．（1）求∠DMB的度數(shù)；（2）若CH⊥BE于點H，AB＝16，求MH的長．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可得∠ABC的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義可得∠ABE的度數(shù)，根據(jù)等邊對等角以及三角形的內(nèi)角和定理可得∠ADC的度數(shù)，進而根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠DMB的度數(shù)；（2）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，可得AB＝2BC，BC＝2CH，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得CH＝MH，進而即可得出AB＝4MH，即可得出答案．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BE是∠ABC的角平分線，∴∠ABE＝∠CBE＝30°，∵∠A＝30°，AC＝AD，∴，∴∠DMB＝∠ADC﹣∠ABE＝45°；（2）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∵CH⊥BE，∠CBE＝30°，∴BC＝2CH，∴AB＝4CH，∵∠CMH＝∠DMB＝45°，在Rt△CHM中，∠HCM＝90°﹣∠CMH＝45°，∴∠CMH＝∠HCM，∴CH＝MH，∴AB＝4MH．∵AB＝16，∴．【點評】本題主要考查了直角三角形的兩個銳角互余，角平分線的定義，等邊對等角以及三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．20．如圖所示，一輪船由西向東航行，在A處測得小島P在北偏東75°的方向上，輪船行駛40海里后到達B處，此時測得小島P在北偏東60°的方向上．（1）求BP的距離；（2）已知小島周圍22海里內(nèi)有暗礁，若輪船仍向前航行，有無觸礁的危險．【分析】（1）通過計算得到∠PAB＝∠APB＝15°，得到BP＝AB，從而得解；（2）作PD⊥AC于點D，解得PD＝PB＝40×＝20＜22，進而判定即可；解：（1）∵∠PAB＝90°﹣75°＝15°，∠PBC＝90°﹣60°＝30°，又∵∠PBC＝∠PAB+∠APB，∴∠PAB＝∠APB＝15°，∴BP＝AB＝40（海里），（2）作PD⊥AC于點D，在直角△PBC中，PD＝PB＝40×＝20＜22，答：若輪船仍向前航行有觸礁的危險．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方位角問題，掌握直角三角形中30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半是解決本題的關(guān)鍵．21．如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E．（1）若BC＝10，求△ADE的周長．（2）若∠BAC＝115°，求∠DAE的度數(shù)．（3）設(shè)直線DM、EN交于點O，試判斷點O是否在BC的垂直平分線上，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得DB＝DA，EA＝EC，然后利用三角形的周長公式以及等量代換可得△ADE的周長＝BC，即可解答；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠B+∠C＝65°，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，從而可得∠DAB+∠EAC＝65°，然后利用角的和差關(guān)系進行計算，即可解答；（3）連接OA，OB，OC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得OA＝OB，OA＝OC，從而可得OB＝OC，然后利用線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理即可解答．解：（1）∵DM是AB的垂直平分線，EN是AC的垂直平分線，∴DB＝DA，EA＝EC，∵BC＝10，∴△ADE的周長＝AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝10，∴△ADE的周長為10；（2）∵∠BAC＝115°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝65°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝65°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝50°，∴∠DAE的度數(shù)為50°；（3）點O在BC的垂直平分線上，理由：如圖：連接OA，OB，OC，∵OM是AB的垂直平分線，ON是AC的垂直平分線，∴OA＝OB，O