2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與測試第一部分專題五解析幾何微專題2圓錐曲線的方程與幾何性質(zhì)小題考法2圓錐曲線的幾何性質(zhì)

小題考法2圓錐曲線的幾何性質(zhì)(1)(2023·浙江模擬)人教A版必修第一冊第92頁上“探究與發(fā)現(xiàn)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容是“探究函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)的圖象與性質(zhì)”，經(jīng)探究它的圖象實(shí)際上是雙曲線．現(xiàn)將函數(shù)y＝2x＋eq\f(1,x)的圖象繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到焦點(diǎn)位于x軸上的雙曲線C，則該雙曲線C的離心率是()A．eq\f(\r(10－2\r(5)),2)B．eq\f(5－\r(5),2)C．10－4eq\r(5)D．eq\r(10－4\r(5))(2)(多選題)(2023·廣州天河區(qū)三模)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線C：y2＝x上不同于原點(diǎn)O的兩點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，則()A．C的準(zhǔn)線為y＝－eq\f(1,4)B．當(dāng)直線AB的斜率k存在時(shí)，k＝eq\f(1,y1＋y2)C．當(dāng)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，|AB|＝x1＋x2＋eq\f(1,2)D．當(dāng)直線AB過點(diǎn)(1，0)時(shí)，|OM|＝eq\f(1,2)|AB|解析：(1)由y＝2x＋eq\f(1,x)的兩條漸近線分別為y＝2x，x＝0，所以該函數(shù)對(duì)應(yīng)的雙曲線焦點(diǎn)在y＝2x，x＝0夾角(銳角)的角平分線l上，設(shè)l：y＝kx且k>2，若α，β分別是y＝kx，y＝2x的傾斜角，故tanα＝k，tanβ＝2，故α－β為雙曲線旋轉(zhuǎn)后其中一條漸近線的傾斜角，由tan(α－β)＝tan(eq\f(π,2)－α)＝eq\f(1,tanα)，即tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(k－2,1＋2k)＝eq\f(1,k)，整理得k2－4k－1＝0，可得k＝2＋eq\r(5)(負(fù)值舍去)，所以繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到焦點(diǎn)位于x軸上的雙曲線C一條漸近線斜率為eq\f(b,a)＝eq\f(1,2＋\r(5))＝eq\r(5)－2，故e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋（9－4\r(5)）)＝eq\r(10－4\r(5)).故選D.(2)拋物線C：y2＝x的焦點(diǎn)F(eq\f(1,4)，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(1,4)，故A錯(cuò)誤；A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線C：y2＝x的點(diǎn)，可得yeq\o\al(2,1)＝x1，yeq\o\al(2,2)＝x2，可得yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝x1－x2，可得k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(1,y1＋y2)，所以B正確；由拋物線的定義可得，過焦點(diǎn)F的弦AB的長為x1＋x2＋p＝x1＋x2＋eq\f(1,2)，故C正確；設(shè)直線AB的方程為x＝my＋1，與拋物線的方程聯(lián)立可得y2－my－1＝0，可得m2＋4>0，y1＋y2＝m，y1y2＝－1，x1x2＝(y1y2)2＝1，可得x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝m2＋2，|AB|＝eq\r(1＋\f(1,m2))·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(\f(1＋m2,m2))·eq\r(（m2＋2）2－4)＝eq\r(（m2＋1）（m2＋4）)，|OM|＝eq\r(（\f(x1＋x2,2)）2＋（\f(y1＋y2,2)）2)＝eq\f(1,2)eq\r(（m2＋2）2＋m2)≠eq\f(1,2)|AB|，故D不正確．故選BC.答案：(1)D(2)BC1．分析圓錐曲線參數(shù)之間的關(guān)系是求解圓錐曲線性質(zhì)問題的關(guān)鍵．2．確定橢圓和雙曲線的離心率的值或者范圍，其關(guān)鍵就是建立一個(gè)參數(shù)之間的方程或不等式，然后利用參數(shù)之間的確定關(guān)系化簡求解．3．熟練記憶圓錐曲線中的常見二級(jí)結(jié)論常常事半功倍，但需要注意這些結(jié)論的適用條件．1．(2023·湖北模擬)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線Γ：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，eq\o(CB,\s\up6(→))＝3eq\o(F2A,\s\up6(→))，BF2平分∠F1BC，則雙曲線Γ的離心率為()A.eq\r(7)B.eq\r(5)C.eq\r(3)D.eq\r(2)解析：因?yàn)閑q\o(CB,\s\up6(→))＝3eq\o(F2A,\s\up6(→))，所以△F1AF2∽△F1BC，設(shè)|F1F2|＝2c，則|F2C|＝4c，設(shè)|AF1|＝t，則|BF1|＝3t，|AB|＝2t，因?yàn)锽F2平分∠F1BC，由角平分線定理可知，eq\f(|BF1|,|BC|)＝eq\f(|F1F2|,|F2C|)＝eq\f(2c,4c)＝eq\f(1,2)，所以|BC|＝2|BF1|＝6t，所以|AF2|＝eq\f(1,3)|BC|＝2t，由雙曲線定義知|AF2|－|AF1|＝2a，即2t－t＝2a，t＝2a，①又由|BF1|－|BF2|＝2a得|BF2|＝3t－2a＝2t，所以|BF2|＝|AB|＝|AF2|＝2t，即△ABF2是等邊三角形，所以∠F2BC＝∠ABF2＝60°，在△F1BF2中，由余弦定理知cos∠F1BF2＝eq\f(|BF1|2＋|BF2|2－|F1F2|2,2·|BF1|·|BF2|)，即eq\f(1,2)＝eq\f(4t2＋9t2－4c2,2·2t·3t)，化簡得7t2＝4c2，把①代入上式得e＝eq\f(c,a)＝eq\r(7)，所以離心率為eq\r(7).故選A.答案：A2．(多選題)(2023·湛江一模)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A(x1，y1)為雙曲線C在第一象限的右支上一點(diǎn)，以A為切點(diǎn)作雙曲線C的切線交x軸于點(diǎn)B(x2，0)，則下列結(jié)論正確的有()A．0<x2<aB．∠F1AB＝∠F2ABC．x1x2＝abD．若cos∠F1AF2＝eq\f(1,3)，且eq\o(F1B,\s\up6(→))＝3eq\o(BF2,\s\up6(→))，則雙曲線C的離心率e＝2解析：對(duì)于C，eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，則y＝eq\r(\f(b2,a2)x2－b2)(x>a)，則y′＝eq\f(\f(b2,a2)x,\r(\f(b2,a2)x2－b2))，則在點(diǎn)A(x1，y1)處的切線斜率為y′＝eq\f(\f(b2,a2)x1,\r(\f(b2,a2)xeq\o\al(2,1)－b2))＝eq\f(b2x1,a2y1)，所以在點(diǎn)A(x1，y1)處的切線方程為y－y1＝eq\f(b2x1,a2y1)(x－x1)，又eq\f(xeq\o\al(2,1),a2)－eq\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，則切線方程為eq\f(x1x,a2)－eq\f(y1y,b2)＝1，所以eq\f(x1x2,a2)－eq\f(y1×0,b2)＝1，即x1x2＝a2，故C錯(cuò)誤；對(duì)于A，由x1x2＝a2得x2＝eq\f(a2,x1)，又x1>a，則0<x2<a，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)镕1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，B(eq\f(a2,x1)，0)，所以|F1B|＝eq\f(a2,x1)＋c，|BF2|＝c－eq\f(a2,x1)，所以eq\f(|F1B|,|BF2|)＝eq\f(\f(a2,x1)＋c,c－\f(a2,x1))＝eq\f(cx1＋a2,cx1－a2)，由eq\f(xeq\o\al(2,1),a2)－eq\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1得yeq\o\al(2,1)＝eq\f(b2xeq\o\al(2,1),a2)－b2，所以|AF1|＝eq\r(（x1＋c）2＋yeq\o\al(2,1))＝eq\r(（x1＋c）2＋\f(b2xeq\o\al(2,1),a2)－b2)＝eq\r(\f(c2,a2)xeq\o\al(2,1)＋2cx1＋a2)＝eq\f(c,a)x1＋a，所以|AF2|＝|AF1|－2a＝eq\f(c,a)x1－a，所以eq\f(|AF1|,|AF2|)＝eq\f(\f(c,a)x1＋a,\f(c,a)x1－a)＝eq\f(cx1＋a2,cx1－a2)＝eq\f(|F1B|,|BF2|)，設(shè)點(diǎn)A到x軸的距離為h，則S△AF1B＝eq\f(1,2)|F1B|h＝eq\f(1,2)|AF1||AB|sin∠F1AB，S△AF2B＝eq\f(1,2)|F2B|h＝eq\f(1,2)|AF2||AB|sin∠F2AB，eq\f(S△AF1B,S△AF2B)＝eq\f(|F1B|,|F2B|)＝eq\f(|AF1|sin∠F1AB,|AF2|sin∠F2AB)，又eq\f(|AF1|,|AF2|)＝eq\f(|F1B|,|BF2|)，則∠F1AB＝∠F2AB，故B正確；對(duì)于D，eq\o(F1B,\s\up6(→))＝(eq\f(a2,x1)＋c，0)，eq\o(BF2,\s\up6(→))＝(c－eq\f(a2,x1)，0)，因?yàn)閑q\o(F1B,\s\up6(→))＝3eq\o(BF2,\s\up6(→))，即eq\f(a2,x1)＋c＝3(c－eq\f(a2,x1))，所以x1＝eq\f(2a2,c)，|AF1|＝eq\f(c,a)x1＋a＝eq\f(c,a)