第52講 隨機(jī)事件的概率與古典概型（精講）高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）原卷版

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第52講隨機(jī)事件的概率與古典概型（精講）題型目錄一覽①隨機(jī)事件關(guān)系與運(yùn)算②頻率與概率③互斥事件與對(duì)立事件④古典概型Ⅰ簡(jiǎn)單的古典概型問(wèn)題⑤古典概型Ⅱ與排列組合結(jié)合一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、隨機(jī)試驗(yàn)我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，常用字母表示．我們感興趣的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)：1.試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；2.試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；3.每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．二、樣本空間我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)的樣本空間，一般地，用．．表示樣本空間，用表示樣本點(diǎn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有個(gè)可能結(jié)果，，…，，則稱樣本空間為有限樣本空間．三、隨機(jī)事件和確定事件1.一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來(lái)表示，為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件．當(dāng)且僅當(dāng)中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件發(fā)生．2.作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以總會(huì)發(fā)生，我們稱為必然事件．3.空集不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱為為不可能事件．4.確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對(duì)隨機(jī)事件的確定事件．四、事件的關(guān)系與運(yùn)算①包含關(guān)系：一般地，對(duì)于事件和事件，如果事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，這時(shí)稱事件包含事件（或者稱事件包含于事件），記作或者．與兩個(gè)集合的包含關(guān)系類比，可用下圖表示：不可能事件記作，任何事件都包含不可能事件．②相等關(guān)系：一般地，若且，稱事件與事件相等．與兩個(gè)集合的并集類比，可用下圖表示：③并事件（和事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生或事件發(fā)生，則稱此事件為事件與事件的并事件（或和事件），記作（或）．與兩個(gè)集合的并集類比，可用下圖表示：④交事件（積事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生且事件發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作（或）．與兩個(gè)集合的交集類比，可用下圖表示：五、互斥事件與對(duì)立事件1.互斥事件：在一次試驗(yàn)中，事件和事件不能同時(shí)發(fā)生，即，則稱事件與事件互斥，可用下圖表示：如果，，…，中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說(shuō)事件，．．，…，彼此互斥．2.對(duì)立事件：若事件和事件在任何一次實(shí)驗(yàn)中有且只有一個(gè)發(fā)生，即不發(fā)生，則稱事件和事件互為對(duì)立事件，事件的對(duì)立事件記為．3.互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系①互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生．②對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分不必要條件．六、概率與頻率1.頻率：在次重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的次數(shù)稱為事件發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)與總次數(shù)的比值，叫做事件發(fā)生的頻率．2.概率：在大量重復(fù)盡心同一試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，并且在它附近擺動(dòng)，這時(shí)，就把這個(gè)常數(shù)叫做事件的概率，記作．3.概率與頻率的關(guān)系：對(duì)于給定的隨機(jī)事件，由于事件發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來(lái)估計(jì)概率．七、隨機(jī)事件的概率對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件的概率用表示.八、古典概型1.定義：一般地，若試驗(yàn)具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.2.古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)是古典概型，樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn)，事件包含其中的個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件的概率.注：（1）解決古典概型的問(wèn)題要注意清楚以下三個(gè)方面①本試驗(yàn)是否具有等可能性；②本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；③事件是什么．（2）一般解題步驟：①仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；②判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件；③分別求出基本事件的個(gè)數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個(gè)數(shù)；④利用公式求出事件的概率．九、概率的基本性質(zhì)1.對(duì)于任意事件都有：．2.必然事件的概率為，即；不可能事概率為，即．3.概率的加法公式：若事件與事件互斥，則．推廣：一般地，若事件，，…，彼此互斥，則事件發(fā)生（即，，…，中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：．4.對(duì)立事件的概率：若事件與事件互為對(duì)立事件，則，，且．5.若，是一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則．二、題型分類精講二、題型分類精講題型一隨機(jī)事件關(guān)系與運(yùn)算【典例1】{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)相同}，事件{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為4}，事件{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為4}，事件{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為6}.(1)用樣本點(diǎn)表示事件，；(2)若事件，則事件E與已知事件是什么運(yùn)算關(guān)系？【題型訓(xùn)練】一、單選題1．已知，，如果，那么（

）2．從10個(gè)事件中任取一個(gè)事件，若這個(gè)事件是必然事件的概率為0.3，是不可能事件的概率為0.1，則這10個(gè)事件中具有隨機(jī)性的事件的個(gè)數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．83．同時(shí)擲兩枚硬幣，“向上的面都是正面”為事件，“向上的面至少有一枚是正面”為事件，則有()A． B． C． D．與之間沒(méi)有關(guān)系4．拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件“點(diǎn)數(shù)為大于2小于5”，“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則表示的事件為（

）A．“點(diǎn)數(shù)為4” B．“點(diǎn)數(shù)為3或4”C．“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)” D．“點(diǎn)數(shù)為大于2小于5”5．從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)中，任取2個(gè)數(shù)求和，那么“這2個(gè)數(shù)的和大于4”為事件A，“這2個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)”為事件B，則A＋B和AB包含的樣本點(diǎn)數(shù)分別為（

）A．1；6 B．4；2 C．5；1 D．6；16．若某群體中的成員會(huì)用現(xiàn)金支付的概率為0.60，會(huì)用非現(xiàn)金支付的概率為0.55，則用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為（

）7．對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中飛機(jī)}，B＝{兩次都沒(méi)擊中飛機(jī)}，C＝{恰有一彈擊中飛機(jī)}，D＝{至少有一彈擊中飛機(jī)}，下列關(guān)系不正確的是（

）A． B．C． D．8．A,B“元件正?！?，“B元件正?！?，用分別表示A,B兩個(gè)元件的狀態(tài)，用表示這個(gè)串聯(lián)電路的狀態(tài).以1表示元件正常，0表示元件失效.下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）①樣本空間；

②事件；③事件“電路是斷路”可以用（或）表示；④事件“電路是通路”可以用（或）表示，共包含3樣本點(diǎn).A．0 B．2 C．3 D．4二、填空題9．從裝有個(gè)紅球和個(gè)白球的口袋內(nèi)任取個(gè)球觀察顏色．設(shè)事件為“所取兩個(gè)球至少有一個(gè)白球”，事件為“所取兩個(gè)恰有一個(gè)紅球”，則表示的事件為．10．打靶3次，事件“擊中發(fā)”，其中．那么表示．11．已知在一次隨機(jī)試驗(yàn)E中，定義兩個(gè)隨機(jī)事件A，B，且，，，則.12．、“元件正?！?，“元件正?！?，用、分別表示、兩個(gè)元件的狀態(tài)，用表示元件正常，.①樣本空間；②事件；③事件“電路是斷路”可以用（或）表示；④事件“電路是通路”可以用（或）表示，共包含個(gè)樣本點(diǎn).13．根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，小張每次考試語(yǔ)文成績(jī)及格的概率為0.8，數(shù)學(xué)成績(jī)及格的概率為0.9，語(yǔ)文和數(shù)學(xué)同時(shí)及格的概率為0.75，則至少有一科及格的概率為.題型二頻率與概率策略方法1．概率與頻率的關(guān)系頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值．通常用概率來(lái)反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來(lái)作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值．2．隨機(jī)事件概率的求法利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率．【典例1】（單選題）支付已經(jīng)成為人們常用的付費(fèi)方式，某大型超市為調(diào)查顧客付款方式的情況，隨機(jī)抽取了100名顧客進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果整理如下，顧客年齡（歲）20歲以下70歲及以上支付人數(shù)312149520其他支付方式人數(shù)0021327121從該超市顧客中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該顧客年齡在內(nèi)且未使用支付的概率為（

）A． B． C． D．【題型訓(xùn)練】一、單選題1．某制藥廠正在測(cè)試一種減肥藥的療效，有100名志愿者服用此藥．結(jié)果：體重減輕的人數(shù)為59人，體重不變的21人，體重增加的20人．如果另外有一人服用此藥，請(qǐng)你估計(jì)這個(gè)人體重減輕的概率為（

）A． B． C． D．2．經(jīng)過(guò)市場(chǎng)抽檢，質(zhì)檢部門得知市場(chǎng)上食用油合格率為，經(jīng)調(diào)查，某市市場(chǎng)上的食用油大約有個(gè)品牌，則不合格的食用油品牌大約有（

）A．個(gè) B．個(gè)C．個(gè) D．個(gè)3．天氣預(yù)報(bào)說(shuō)，在今后的三天中，每天下雨的概率都為60%．現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生了10組隨機(jī)數(shù)180，792，454，417，165，809，798，386，196，206據(jù)此估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率近似為（

）A． B． C． D．4．某同學(xué)做立定投籃訓(xùn)練，共做3組，每組投籃次數(shù)和命中的次數(shù)如下表：第一組第二組第三組合計(jì)投籃次數(shù)100200300600命中的次數(shù)68124174366命中的頻率根據(jù)表中的數(shù)據(jù)信息，用頻率估計(jì)一次投籃命中的概率，則使誤差較小、可能性大的估計(jì)值是（

）5．對(duì)敏感性問(wèn)題調(diào)查的關(guān)鍵是要設(shè)法消除被調(diào)查者的顧慮，使他們能如實(shí)回答問(wèn)題．為調(diào)查學(xué)生是否有在校使用的情況時(shí)，某校設(shè)計(jì)如下調(diào)查方案：調(diào)查者在沒(méi)有旁人的情況下，獨(dú)自從一個(gè)箱子中隨機(jī)抽一只球，看過(guò)顏色后即放回，若抽到白球，則回答問(wèn)題：抽到紅球，則回答問(wèn)題，且箱子中只有白球和紅球．問(wèn)題：你的生日的月份是否為偶數(shù)?（假設(shè)生日的月份為偶數(shù)的概率為）問(wèn)題：你是否有在校使用?已知該校在一次實(shí)際調(diào)查中，箱子中放有白球個(gè)，紅球個(gè)，調(diào)查結(jié)束后共收到張有效答卷，其中有張回答“是”，如果以頻率估計(jì)概率，估計(jì)該校學(xué)生有在校使用的概率是（精確到）（

）A． B． C． D．6．支付已經(jīng)成為人們幾乎最常用的付費(fèi)方式.某大型超市為調(diào)查顧客付款方式的情況，隨機(jī)抽取了100名顧客進(jìn)行調(diào)查，記錄結(jié)果整理如下表.從這100名顧客中隨機(jī)抽取1人，則該顧客年齡在內(nèi)且未使用支付的概率為（

）.顧客年齡（歲）20歲以下70歲及以上支付人數(shù)31214132790其他支付方式人數(shù)0029551A． B． C． D．7．給出下列四個(gè)命題：①設(shè)有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，則從中任取200件，必有10件是次品；②做100次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果51次出現(xiàn)正面朝上，因此，出現(xiàn)正面朝上的概率是；③隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率；④拋擲骰子100次，得點(diǎn)數(shù)是1的結(jié)果有18次，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是.其中正確命題有（）A．① B．② C．③ D．④8．一個(gè)袋中裝有大小與質(zhì)地相同的3個(gè)白球和若干個(gè)紅球，某班分成20個(gè)小組進(jìn)行隨機(jī)摸球試驗(yàn)，每組各做50次，每次有放回地摸1個(gè)球并記錄顏色．統(tǒng)計(jì)共摸到紅球619次，則袋中紅球的個(gè)數(shù)最有可能為（

）A．3 B．5 C．7 D．99．用木塊制作的一個(gè)四面體，四個(gè)面上分別標(biāo)記1，2，3，4，重復(fù)拋擲這個(gè)四面體200次，記錄每個(gè)面落在地上的次數(shù)（如下表）．下列說(shuō)法正確的是（

）四面體的面1234頻數(shù)44364278A．該四面體一定不是均勻的 C．再拋擲一次，標(biāo)記4的面落地 二、多選題10．利用計(jì)算機(jī)模擬拋擲兩枚硬幣的試驗(yàn)，在重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)分別為20，100，500時(shí)各做5組試驗(yàn)，得到事件“一枚正面朝上，一枚反面朝上”發(fā)生的頻數(shù)和頻率情況如下表：序號(hào)頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率11256261295024131348250475525851252253根據(jù)以上信息，下面說(shuō)法正確的有（

）A．試驗(yàn)次數(shù)相同時(shí)，頻率可能不同，說(shuō)明隨機(jī)事件發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性B．試驗(yàn)次數(shù)較小時(shí)，頻率波動(dòng)較大；試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，頻率波動(dòng)較小，所以試驗(yàn)次數(shù)越多越好C．隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加而逐漸穩(wěn)定在一個(gè)固定值附近D．我們要想得到某事件發(fā)生的概率，只需要做一次隨機(jī)試驗(yàn)，得到事件發(fā)生的頻率即為概率11．某超市隨機(jī)選取1000位顧客，記錄了他們購(gòu)買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成下面的統(tǒng)計(jì)表，其中“√”表示購(gòu)買，“×”表示未購(gòu)買．顧客人數(shù)甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．顧客購(gòu)買乙商品的概率最大12．小明將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子連續(xù)拋擲了次，每次朝上的點(diǎn)數(shù)都是，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．朝上的點(diǎn)數(shù)是的概率和頻率均為B．若拋擲次，則朝上的點(diǎn)數(shù)是的頻率約為C．拋擲第次，朝上的點(diǎn)數(shù)一定不是D．拋擲次，朝上的點(diǎn)數(shù)為的次數(shù)大約為次三、填空題13．某同學(xué)做立定投籃訓(xùn)練，共做3組，每組投籃次數(shù)和命中的次數(shù)如下表所示．第一組第二組第三組合計(jì)投籃次數(shù)100200300600命中的次數(shù)68125176369命中的頻率根據(jù)表中的數(shù)據(jù)信息，用頻率估計(jì)一次投籃命中的概率，那么使誤差較小的可能性大的估計(jì)值是．14．在一次男子羽毛球單打比賽中，運(yùn)動(dòng)員甲和乙進(jìn)入了決賽（比賽采用3局2勝制），假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)甲獲得冠軍的概率，先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3表示一局比賽中甲勝，4，5表示一局比賽中乙勝?經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：334221433551454452315142331423212541121451231414312552324115據(jù)此估計(jì)甲獲得冠軍的概率為.15．“鍵盤俠”一詞描述了部分網(wǎng)民在現(xiàn)實(shí)生活中膽小怕事、自私自利，卻習(xí)慣在網(wǎng)絡(luò)上大放厥詞的一種現(xiàn)象．某地新聞欄目對(duì)該地區(qū)群眾對(duì)“鍵盤俠”的認(rèn)可程度進(jìn)行調(diào)查：在隨機(jī)抽取的50人中，有14人持認(rèn)可態(tài)度，其余持反對(duì)態(tài)度，若該地區(qū)有7600人，則可估計(jì)該地區(qū)對(duì)“鍵盤俠”持反對(duì)態(tài)度的有人．16．某事件的概率是，下列說(shuō)法正確的是．（1）發(fā)生的可能性是；（2）在10000個(gè)試驗(yàn)中，事件發(fā)生9700次；（3）隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增大，發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到，且在它附近擺動(dòng)．17．某制造商今年月份生產(chǎn)了一批乒乓球，隨機(jī)抽取個(gè)進(jìn)行檢查，測(cè)得每個(gè)乒乓球的直徑（單位：mm），將數(shù)據(jù)分組如下：分組頻數(shù)頻率10205020合計(jì)100若用上述頻率近似概率，已知標(biāo)準(zhǔn)乒乓球的直徑為，則這批乒乓球的直徑誤差不超過(guò)的概率是．18．為了解某中學(xué)生遵守《中華人民共和國(guó)交通安全法》的情況，調(diào)查部門在該校進(jìn)行了如下的隨機(jī)調(diào)查，向被調(diào)查者提出兩個(gè)問(wèn)題：（1）你的學(xué)號(hào)是奇數(shù)嗎?（2）在過(guò)路口時(shí)你是否闖過(guò)紅燈?要求被調(diào)查者背對(duì)著調(diào)查人員拋擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第一個(gè)問(wèn)題，否則就回答第二個(gè)問(wèn)題.被調(diào)查者不必告訴調(diào)查人員自己回答的是哪一個(gè)問(wèn)題，只需回答“是”或“不是”，因?yàn)橹挥姓{(diào)查者本人知道回答了哪一個(gè)問(wèn)題，所以都如實(shí)地作了回答.結(jié)果被調(diào)查的1200人（學(xué)號(hào)從1至1200）中有366人回答了“是”.由此可以估計(jì)這1200人中闖過(guò)紅燈的人數(shù)是.題型三互斥事件與對(duì)立事件策略方法1.判斷互斥、對(duì)立事件的兩種方法(1)定義法：判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．(2)集合法：①由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．②事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．2.復(fù)雜事件的概率的兩種求法(1)直接求法，將所求事件分解為一些彼此互斥的事件，運(yùn)用互斥事件的概率求和公式計(jì)算．(2)間接求法，先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)求解(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法就比較簡(jiǎn)便．【典例1】（單選題）2022年12月20日，聯(lián)合國(guó)世界旅游組織公布2022年“最佳旅游鄉(xiāng)村”名單，中國(guó)廣西大寨村和重慶荊竹村成功入選．遼寧綠江村也以景色別致的油菜花海吸引了眾多游客．小明準(zhǔn)備利用假期從中選一個(gè)鄉(xiāng)村游玩，記事件：小明選大寨村，事件：小明選荊竹村，事件：小明選綠江村．已知，，則＝（

）【題型訓(xùn)練】一、單選題1．在試驗(yàn)“拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣”中，事件A=“至少有一枚硬幣正面朝上”，事件“兩枚硬幣正面均朝上”，事件“兩枚硬幣正面均朝下”，則（

）A．A與B互斥 B．A與C對(duì)立C．B與C不互斥 D．B與C對(duì)立2．某超市舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，活動(dòng)中設(shè)置一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、幸運(yùn)獎(jiǎng)三個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，其中中幸運(yùn)獎(jiǎng)的概率為0.3，中二等獎(jiǎng)的概率為0.2，不中獎(jiǎng)的概率為0.38，則中一等獎(jiǎng)的概率為（

）3．在10件產(chǎn)品中有3件次品，從中選3件．下列各種情況是互斥事件的有（

）①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件為次品”；②A：“所取3件中有一件為次品”，B：“所取3件中有二件為次品”；③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件為次品”；④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”；A．①③ B．②③ C．②④ D．③④4．下列敘述正確的是（

）A．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率一定越來(lái)越接近一個(gè)確定數(shù)值B．若隨機(jī)事件A發(fā)生的概率為，則C．若事件A與事件B互斥，則D．若事件A與事件B對(duì)立，則5．在一個(gè)不透明的盒子中，放有除顏色外完全相同的2個(gè)白球和3個(gè)紅球，搖勻后，從中任意取出兩個(gè)球，下列說(shuō)法與“取出的兩個(gè)球都是白球”是互斥但不是對(duì)立的事件是（

）A．取出兩球同色 B．取出的兩球異色C．取出的兩球至少有一個(gè)紅球 D．取出的兩球至少一個(gè)白球6．已知隨機(jī)事件A和B互斥，且，則等于（

）7．已知隨機(jī)事件和互斥，和對(duì)立，且，則（

）8．從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，記“件產(chǎn)品都是次品”為事件，“件產(chǎn)品都不是次品”為事件，“件產(chǎn)品不都是次品”為事件，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．任意兩個(gè)事件均互斥B．任意兩個(gè)事件均不互斥C．事件與事件對(duì)立D．事件與事件對(duì)立9．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（

）A．至少有一個(gè)黑球與都是黑球 B．至少有一個(gè)黑球與都是紅球C．恰有一個(gè)黑球與恰有兩個(gè)黑球 D．至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球10．已知事件A與B互斥，且，，則（

）A． B． C． D．11．設(shè)，為同一隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)隨機(jī)事件，，的對(duì)立事件分別為，，，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則事件與互斥B．若，則事件與一定互斥C．若，則D．若事件與相互獨(dú)立且同時(shí)發(fā)生的概率為0.4，則二、多選題12．一個(gè)盒子中裝有支鋼筆，其中支一等品，支二等品，從中不放回的依次隨機(jī)取出支，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．事件“至少有一支一等品”與“至少有一支二等品”是互斥事件B．事件“至少有一支一等品”與“都是二等品”是對(duì)立事件C．記事件“至多有一支一等品”，事件“兩支都是二等品”，則A．D．記事件“至多有一支一等品”，事件“至多有一支二等品”，則13．將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲一次，記下骰子面朝上的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件“記下的點(diǎn)數(shù)為3”，事件“記下的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件“記下的點(diǎn)數(shù)小于3”，事件“記下的點(diǎn)數(shù)大于2”，則（

）A．事件與互斥 B．事件與互斥C．事件與對(duì)立 D．事件與對(duì)立14．設(shè)為兩個(gè)互斥的事件，且，則（

）A． B．C． D．15．下列敘述正確的是（

）A．互斥事件不一定是對(duì)立事件，但是對(duì)立事件一定是互斥事件B．從裝有個(gè)紅球和個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取個(gè)球，至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球是兩個(gè)互斥而不對(duì)立的事件C．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率為，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿镈．在件產(chǎn)品中，有件一等品和件二等品，從中任取件，那么事件“至多一件一等品”的概率為三、填空題16．已知事件與事件互斥，若，，那么.17．已知事件，，兩兩互斥，若，，，則．18．一個(gè)盒子內(nèi)裝有若干個(gè)大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個(gè)球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么從盒中摸出1個(gè)球，摸出黑球或紅球的概率是．19．已知事件與事件互斥，如果，，那么.20．已知是隨機(jī)事件，則“”是“與互斥而不對(duì)立”的條件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）21．設(shè)為三個(gè)隨機(jī)事件，若A與是互斥事件，與是相互對(duì)立事件，且，則.22．社會(huì)實(shí)踐課上，老師讓甲、乙兩同學(xué)獨(dú)立地完成某項(xiàng)任務(wù)，已知兩人能完成該項(xiàng)任務(wù)的概率分別為，則此項(xiàng)任務(wù)被甲、乙兩人中至少一人完成的概率為．題型四古典概型策略方法用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件個(gè)數(shù)除以基本事件空間Ω所含的基本事件個(gè)數(shù)求解事件A發(fā)生的概率P(A)．解題的關(guān)鍵如下：①定型，即根據(jù)古典概型的特點(diǎn)——有限性與等可能性，確定所求概率模型為古典概型．②求量，利用列舉法、排列組合等方法求出基本事件空間Ω及事件A所含的基本事件數(shù)．③求值，代入公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個(gè)數(shù),基本事件的總數(shù))求值．【典例1】（單選題）從2名男生和3名女生中任選2人參加學(xué)校志愿服務(wù)，則選中的2人中恰有一名男生的概率為（

）【典例2】（單選題）書籍是人類進(jìn)步的階梯，數(shù)學(xué)名著更是如此，《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《周髀算經(jīng)》《海島算經(jīng)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)領(lǐng)域影響深遠(yuǎn)的四部著作，而《幾何原本》《阿基米德全集》《圓錐曲線論》被稱為“古希臘三大數(shù)學(xué)書”，代表了文藝復(fù)興之前歐洲數(shù)學(xué)的最高成就，這些著作對(duì)后世的數(shù)學(xué)發(fā)展有著深遠(yuǎn)而廣泛的影響．現(xiàn)從這七本名著中任選三本，則至少兩本是中國(guó)數(shù)學(xué)名著的概率為（

）A． B． C． D．【題型訓(xùn)練Ⅰ簡(jiǎn)單的古典概型問(wèn)題】一、單選題1．某學(xué)校舉辦作文比賽，共設(shè)6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文．則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到相同主題的概率為（

）A． B． C． D．2．某對(duì)新婚夫婦響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，計(jì)劃生育3個(gè)孩子，若每胎只有一個(gè)孩子，且每胎生男生女的概率相同，記事件A為“3個(gè)孩子中有男有女”，則（

）A． B． C． D．3．從長(zhǎng)度為1，3，5，7，9的5根木棒中任選3根，能構(gòu)成三角形的概率為（

）A． B． C． D．4．從2，3，5，7這四個(gè)數(shù)中隨機(jī)地取2個(gè)不同的數(shù)相乘，其結(jié)果能被10整除的概率是（

）A． B． C． D．5．為紀(jì)念12.9運(yùn)動(dòng)，高一（5）班需要從班級(jí)朗誦隊(duì)里的4名男生和2名女生中隨機(jī)選取兩名，代表班級(jí)參加朗誦比賽，則恰好選取一名男生和一名女生的概率為（

）A． B． C． D．6．“仁義禮智信”為儒家“五常”由孔子提出“仁、義、禮”，孟子延伸為“仁、義、禮、智”，董仲舒擴(kuò)充為“仁、義、禮、智、信”．將“仁、義、禮”排成一排，其中“義”不在首位的概率為（

）A． B． C． D．7．袋子中裝有4個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中1個(gè)紅球、1個(gè)黃球、2個(gè)藍(lán)球．從中任取2個(gè)小球，則這兩個(gè)小球的顏色不同的概率為（

）A． B． C． D．8．我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如.在不超過(guò)15的素?cái)?shù)（素?cái)?shù)是指在大于1的自然數(shù)中，除了1和自身外沒(méi)有其他因數(shù)的自然數(shù)）中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于16的概率是（

）A． B． C． D．9．甲、乙兩位同學(xué)將高一6次物理測(cè)試成績(jī)（成績(jī)?yōu)檎麛?shù)，滿分為100分）記錄如下表，其中乙的第5次成績(jī)的個(gè)位數(shù)被污損．第1次第2次第3次第4次第5次第6次甲958788929385乙85868699988則甲同學(xué)的平均成績(jī)高于乙同學(xué)平均成績(jī)的概率是（

）A． B． C． D．10．在一個(gè)不透明的袋子里裝有四個(gè)小球，球上分別標(biāo)有4，5，6，7四個(gè)數(shù)字，這些小球除數(shù)字外都相同．小紅、小明兩人玩“猜數(shù)字”游戲，小紅先從袋中任意摸出一個(gè)小球，將小球上的數(shù)字記為m，再由小明猜這個(gè)小球上的數(shù)字，記為n．如果m，n滿足，那么就稱小紅、小明兩人“心心相印”，則兩人“心心相印”的概率是（

）A． B． C． D．11．某大學(xué)為了了解學(xué)生課外圖書閱讀量的情況，從大二學(xué)生中抽取50名，統(tǒng)計(jì)他們今年上半年閱讀的書籍?dāng)?shù)量，發(fā)現(xiàn)讀書不低于6本的人數(shù)占，不低于8本的人數(shù)占.現(xiàn)從讀書不低于6本的學(xué)生中隨機(jī)地選取2名進(jìn)行座談，則這2名學(xué)生1名讀書低于8本且不低于6本，1名讀書不低于8本的概率為（

）A． B． C． D．12．某中學(xué)團(tuán)委為慶?！拔逅摹鼻嗄旯?jié)，舉行了以“弘‘五四’精神，揚(yáng)青春風(fēng)采”為主題的文藝匯演，初中部推薦了2位主持人，高中部推薦了4位主持人，現(xiàn)從這6位主持人中隨機(jī)選2位主持文藝匯演，則選中的2位主持人恰好是初中部和高中部各1人的概率為（

）A． B． C． D．13．若連續(xù)拋兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別是，，則點(diǎn)在直線上的概率是（

）A． B． C． D．14．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，設(shè)“第一次向上的點(diǎn)數(shù)是2”為事件A，“第二次向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”為事件B，“兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和能被3整除”為事件C，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．事件A與事件B互為對(duì)立事件 B．C． D．事件B與事件C相互不獨(dú)立二、多選題15．在甲、乙兩個(gè)盒子中分別裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3的三個(gè)小球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒子中各取出1個(gè)球，每個(gè)球被取出的可能性相等.下列說(shuō)法正確的是（

）A．取出的兩個(gè)球上標(biāo)號(hào)為不同數(shù)字的概率為B．取出的兩個(gè)球上標(biāo)號(hào)之積能被3整除的概率為C．取出的兩個(gè)球上標(biāo)號(hào)為相同數(shù)字的概率為D．甲盒中取出的球上標(biāo)號(hào)比乙盒中取出的球上標(biāo)號(hào)大的概率為16．一個(gè)盒子裝有標(biāo)號(hào)的5張標(biāo)簽，則（

）A．有放回的隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，標(biāo)號(hào)相等的概率為B．有放回的隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，第一次標(biāo)號(hào)大于第二次的概率為C．無(wú)放回的隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，標(biāo)號(hào)之和為5的概率為D．無(wú)放回的隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，第一次標(biāo)號(hào)大于第二次的概率為三、填空題17．從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選擇3名參加志愿者活動(dòng)，則甲、乙兩人中恰有一人參加的概率為．18．在用隨機(jī)數(shù)（整數(shù)）模擬“有5個(gè)男生和5個(gè)女生，從中抽選4人，求選出2個(gè)男生2個(gè)女生的概率”時(shí)，可讓計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)整數(shù)，并且代表男生，用代表女生．因?yàn)槭沁x出4個(gè)，所以每4個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組．通過(guò)模擬試驗(yàn)產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：68303215705664317840452378342604534609526837981657344725657859249768605191386754由此估計(jì)“選出2個(gè)男生2個(gè)女生”的概率為．19．某對(duì)新婚夫婦響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，計(jì)劃生育3個(gè)孩子．假設(shè)每胎只有一個(gè)小孩，且每胎生男生女的概率相等，記事件為“該夫婦兒女雙全”，則．20．根據(jù)歷史記載，早在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，我國(guó)勞動(dòng)人民就普遍使用算籌進(jìn)行計(jì)數(shù)．算籌計(jì)數(shù)法就是用一根根同樣長(zhǎng)短和粗細(xì)的小棍子以不同的排列方式來(lái)表示數(shù)字，如圖所示．如果用算籌隨機(jī)擺出一個(gè)不含數(shù)字0的兩位數(shù)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，則個(gè)位和十位上的算籌不一樣多的概率為．縱式：橫式：21．2023年10月國(guó)慶節(jié)旅游黃金周期間，自駕游愛(ài)好者甲?乙?丁3家組團(tuán)自駕去杭州旅游，3家人分別乘坐3輛車，滬昆高速杭州入口有共3個(gè)不同的窗口，則每個(gè)窗口恰好都有一位該團(tuán)的自駕車在等候的概率為．22．將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具）先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為6的概率是．【題型訓(xùn)練Ⅱ與排列組合結(jié)合】一、單選題1．口袋中有5個(gè)白球，3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，小球除顏色不同，大小形狀均完全相同，現(xiàn)從中隨機(jī)摸出2個(gè)小球，摸出的2個(gè)小球恰好顏色相同的概率為（

）A． B． C． D．2．江南的周莊、同里、用直、西塘、烏鎮(zhèn)、南潯古鎮(zhèn)，并稱為“江南六大古鎮(zhèn)”，是中國(guó)江南水鄉(xiāng)風(fēng)貌最具代表的城鎮(zhèn)，它們以其深邃的歷史文化底蘊(yùn)、清麗婉約的水鄉(xiāng)古鎮(zhèn)風(fēng)貌、古樸的吳儂軟語(yǔ)民俗風(fēng)情，在世界上獨(dú)樹(shù)一幟，馳名中外，這六大古鎮(zhèn)中，其中在蘇州境內(nèi)的有3處．某家庭計(jì)劃今年暑假?gòu)倪@6個(gè)古鎮(zhèn)中挑選2個(gè)去旅游，則至少選一個(gè)蘇州古鎮(zhèn)的概率為（

）A． B． C． D．3．第19屆亞運(yùn)會(huì)的樣物由“琮琮”“宸宸”和“蓮蓮”三類組成，現(xiàn)有印著三類吉祥物的掛件各2個(gè)同類吉舉物完全相同，無(wú)區(qū)別，若把這6個(gè)掛件分給3位同學(xué)，每人2個(gè)，則恰好有一位同學(xué)得到同類吉祥物掛件的概率是（

）A． B． C． D．4．我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“任何一個(gè)大于的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如.在不超過(guò)的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取個(gè)不同的數(shù)，其和等于的概率是(注：若一個(gè)大于的整數(shù)除了和它本身外無(wú)其他因數(shù)，則稱這個(gè)整數(shù)為素?cái)?shù))（

）A． B． C． D．5．一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選6只小白鼠，隨機(jī)地將其中3只分配到試驗(yàn)組且飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，另外3只分配到對(duì)照組且飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：）.則指定的兩只小鼠分配到不同組的概率為（

）A． B． C． D．6．書籍是人類進(jìn)步的階梯，數(shù)學(xué)名著更是如此，《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《周髀算經(jīng)》《海島算經(jīng)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)領(lǐng)域影響深遠(yuǎn)的四部著作，而《幾何原本》《阿基米德全集》《圓錐曲線論》被稱為“古希臘三大數(shù)學(xué)書”，代表了文藝復(fù)興之前歐洲數(shù)學(xué)的最高成就，這些著作對(duì)后世的數(shù)學(xué)發(fā)展有著深遠(yuǎn)而廣泛的影響．現(xiàn)從這七本名著中任選三本，則至少兩本是中國(guó)數(shù)學(xué)名著的概率為（

）A． B． C． D．7．某選拔性考試需要考查4個(gè)學(xué)科（語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理、政治），則這4個(gè)學(xué)科不同的考試順序中物理考試與數(shù)學(xué)考試不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．8．將甲、乙、丙、丁四名志愿者隨機(jī)分配到A，B，C，D四個(gè)社區(qū)做環(huán)保宣傳，每個(gè)志愿者只能去其中一個(gè)社區(qū)且每個(gè)社區(qū)只能安排一名志愿者，則甲不被分到A社區(qū)的概率是（

）A． B． C． D．9．將，，，，共5名同學(xué)從左到右隨機(jī)排成一排，則與之間恰好有1名同學(xué)的概率為（

）A． B． C． D．10．2023年6月25日19時(shí)，隨著最后