人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修第一冊)同步講義第06講 1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題（原卷版）

第06講1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①會用向量法求線線、線面、面面的夾角及與其有關(guān)的角的三角函數(shù)值②會用向量法求點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、點(diǎn)面、線線、線面、面面之間的距離及與其有關(guān)的面積與體積.1、能根據(jù)所給的條件利用空間向量這一重要工具進(jìn)行空間中的距離與夾角（三角函數(shù)值）的求解.2、通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，提升平面向量、空間向量的知識相結(jié)合的綜合能力，準(zhǔn)確將平面向量、空間向量的概念，定理等內(nèi)容與平面幾何、空間立體幾何有機(jī)的隔合在一起，提升解決問題的能力，將形與數(shù)，數(shù)與量有機(jī)的結(jié)合起來，為提升數(shù)學(xué)能力奠定基礎(chǔ).知識點(diǎn)01：點(diǎn)到線面距離1、點(diǎn)到直線的距離已知直線SKIPIF1<0的單位方向向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上的定點(diǎn)，SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0外一點(diǎn).設(shè)SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上的投影向量SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<02、點(diǎn)到平面的距離如圖，已知平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0內(nèi)的定點(diǎn)，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外一點(diǎn).過點(diǎn)SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線SKIPIF1<0，交平面SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0的方向向量，且點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離就是SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上的投影向量SKIPIF1<0的長度.SKIPIF1<0【即學(xué)即練1】（2023春·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）如圖，在圓錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是底面圓SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，由圓錐的幾何性質(zhì)可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以，點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.故選：B.知識點(diǎn)02：用向量法求空間角1、用向量運(yùn)算求兩條直線所成角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點(diǎn)，a，b所成的角為SKIPIF1<0，則①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0.【即學(xué)即練2】（2023春·陜西漢中·高二統(tǒng)考期末）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為體對角線SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因此，異面直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：A.2、用向量運(yùn)算求直線與平面所成角設(shè)直線SKIPIF1<0的方向向量為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，直線與平面所成的角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的角為SKIPIF1<0，則有①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0.（注意此公式中最后的形式是：SKIPIF1<0）【即學(xué)即練3】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考期末）如圖，在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值為______．【答案】SKIPIF1<0【詳解】以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的大小為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<03、用向量運(yùn)算求平面與平面的夾角如圖，若SKIPIF1<0于A，SKIPIF1<0于B，平面PAB交SKIPIF1<0于E，則∠AEB為二面角SKIPIF1<0的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若SKIPIF1<0分別為面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的法向量①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；若二面角為銳二面角（取正），則SKIPIF1<0；若二面角為頓二面角（取負(fù)），則SKIPIF1<0；【即學(xué)即練4】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）正方體SKIPIF1<0中，二面角SKIPIF1<0的大小為______.【答案】SKIPIF1<0【詳解】如圖，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，設(shè)正方體的棱長為2，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量，則SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.題型01利用空間向量求點(diǎn)線距【典例1】（2023春·湖南常德·高二常德市一中?？计谥校┤鐖D，在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）已知空間三點(diǎn)SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為_____________．【典例3】（多選）（2023春·江西宜春·高二江西省豐城中學(xué)校考開學(xué)考試）點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上，它與經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)且方向向量為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，已知正方體SKIPIF1<0的棱長為1，SKIPIF1<0為正方形SKIPIF1<0的中心，若SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2023秋·山東棗莊·高二統(tǒng)考期末）在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為__________.題型02利用空間向量求點(diǎn)面距【典例1】（2023秋·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．【典例3】（2023秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，如圖（1）．把SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如圖（2）．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．【變式1】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在棱長為2的正方體SKIPIF1<0中，分別取棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【變式2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，矩形SKIPIF1<0和梯形SKIPIF1<0所在平面互相垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．【變式3】（2023春·云南楚雄·高二統(tǒng)考期中）如圖，在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上靠近點(diǎn)SKIPIF1<0的一個(gè)三等分點(diǎn)，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)．

(1)證明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．

題型03轉(zhuǎn)化與化歸思想在求空間距離中的應(yīng)用【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則直線SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為___________.【典例2】（2023·高二單元測試）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【典例3】（2023秋·廣東廣州·高二廣州市白云中學(xué)校考期末）如圖，在正三棱柱SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．【變式1】（2023·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則直線SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為______．【變式2】（2023春·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學(xué)校考期中）如圖，正方體SKIPIF1<0的棱長為2，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．題型04利用向量方法求兩異面直線所成角（定值）【典例1】（2023秋·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）已知正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）如圖，在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，BD，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0與FG所成的角的余弦值為______.

【典例3】（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）如圖，在三棱臺SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的大小為45°，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值.【變式1】（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在正四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2023春·高二單元測試）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值.題型05利用向量方法求兩異面直線所成角（最值或范圍）【典例1】（2023春·高二單元測試）三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0兩兩垂直且相等，點(diǎn)SKIPIF1<0分別是線段SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上移動(dòng)，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角余弦值的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知四棱臺的底面SKIPIF1<0是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是側(cè)棱SKIPIF1<0所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值的最大值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0為定長，當(dāng)SKIPIF1<0的長度變化時(shí)，異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的取值范圍是______．【變式1】（2023春·浙江寧波·高一效實(shí)中學(xué)?？计谥校┰谡襟wSKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上的異于點(diǎn)SKIPIF1<0的動(dòng)點(diǎn)，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角的最小值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┰诶忾L為2的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為線段EF上的一動(dòng)點(diǎn)，則直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型06已知異面直線所成角求參數(shù)【典例1】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）在三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上一點(diǎn)，若異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值可能為（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且四邊形SKIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.點(diǎn)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角最小時(shí)，則線段SKIPIF1<0的長為____________【變式1】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若線段SKIPIF1<0上存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0成SKIPIF1<0的角，則線段SKIPIF1<0的長度可能為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型07利用向量方法求直線與平面所成角【典例1】（2023·陜西商洛·統(tǒng)考二模）在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的正方形，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）如圖，在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0.(1)證明：直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【典例3】（2023春·廣西柳州·高二柳州地區(qū)高中?？计谥校┤鐖D，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．【變式1】（2023春·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值為__________.【變式2】（2023春·云南臨滄·高二云南省鳳慶縣第一中學(xué)校考期中）如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0所成角的正弦值．題型08利用向量方法求直線與平面所成角（最值或范圍）【典例1】（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，圓臺的下底面圓SKIPIF1<0的直徑為SKIPIF1<0，圓臺的上底面圓SKIPIF1<0的直徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是弧SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0.

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若點(diǎn)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的取值范圍.

【典例2】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上移動(dòng)，設(shè)SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角，求SKIPIF1<0的取值范圍．【典例3】（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是邊長為2的正方形，點(diǎn)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0.

(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)當(dāng)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角最大時(shí)，求四棱錐SKIPIF1<0的體積.【變式1】（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)?？计谀┤鐖D，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可以通過SKIPIF1<0以直線SKIPIF1<0為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角SKIPIF1<0是直二面角．動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上．

(1)當(dāng)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值；(2)求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值．

【變式2】（2023春·江蘇常州·高二校聯(lián)考期中）如圖，圓錐SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為頂點(diǎn)，SKIPIF1<0是底面的圓心，SKIPIF1<0為底面直徑，SKIPIF1<0，圓錐高SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在高SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0是圓錐SKIPIF1<0底面的內(nèi)接正三角形.(1)若PO=SKIPIF1<0，判斷SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0是否垂直，并證明；(2)點(diǎn)SKIPIF1<0在高SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成角的正弦值最大時(shí)，求三棱錐SKIPIF1<0的體積.題型09已知直線與平面所成角求參數(shù)【典例1】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？级＃┮阎睦忮FSKIPIF1<0的底面為平行四邊形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田華僑中學(xué)?？计谥校┰谌庵鵖KIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，側(cè)面SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是SKIPIF1<0的中點(diǎn).(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上（異于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【典例3】（2023春·湖南邵陽·高二湖南省邵東市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0菱形SKIPIF1<0所在的平面，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0?SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0?SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的點(diǎn).（1）求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0？若存在，請求出SKIPIF1<0的值，若不存在，請說明理由.【變式1】（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為直徑的圓SKIPIF1<0上異于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的點(diǎn)，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)是否存在SKIPIF1<0，使得直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由．【變式2】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在底面SKIPIF1<0為梯形的多面體中.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，且四邊形SKIPIF1<0為矩形．

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)線段SKIPIF1<0上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為60°？若不存在，請說明理由．若存在，確定點(diǎn)SKIPIF1<0的位置并加以證明．題型10利用向量方法求兩個(gè)平面的夾角（定值）【典例1】（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的中點(diǎn).

(1)求三棱錐SKIPIF1<0的體積；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值.【典例2】（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）如圖，圓SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圓，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.

(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值.【變式1】（2023秋·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上．

(1)證明：平面SKIPIF1<0平面PBC；(2)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．【變式2】（2023·河南·模擬預(yù)測）如圖，四邊形SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的大小.題型11利用向量方法求兩個(gè)平面的夾角（最值或范圍）【典例1】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校校考三模）已知直三棱柱SKIPIF1<0中，側(cè)面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn).SKIPIF1<0.

(1)證明：SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此時(shí)點(diǎn)SKIPIF1<0的位置.【典例2】（2023秋·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面ABCD.(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，證明：SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0；(2)當(dāng)SKIPIF1<0為何值時(shí)，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的二面角的正弦值最??？【變式1】（2023春·江蘇淮安·高二金湖中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖①所示，長方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0的中點(diǎn)，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到圖②的四棱錐SKIPIF1<0．(1)求四棱錐SKIPIF1<0的體積的最大值；(2)設(shè)SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0夾角余弦值的最小值．【變式2】（2023春·江蘇南通·高二江蘇省通州高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在四棱錐SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的二面角為SKIPIF1<0為銳角SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0取最小值時(shí)，SKIPIF1<0=__________．題型12已知平面與平面所成角求參數(shù)【典例1】（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在直四棱柱SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，探索在棱SKIPIF1<0上是否存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由.【典例2】（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在棱SKIPIF1<0上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0，若存在，求出SKIPIF1<0的值，若不存在，請說明理由．【變式1】（2023秋·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，側(cè)面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上的點(diǎn).(1)證明：SKIPIF1<0；(2)是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0？如果不存在，請說明理由；如果存在，求線段SKIPIF1<0的長.【變式2】（2023秋·湖南郴州·高二統(tǒng)考期末）如圖2，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，使點(diǎn)SKIPIF1<0到達(dá)點(diǎn)SKIPIF1<0位置（如圖3），且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上一點(diǎn)，滿足SKIPIF1<0，試問：是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角的余弦值為SKIPIF1<0，若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由．A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)，則SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為（

）A．10 B．3C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023春·江蘇南京·高二南京師大附中?？计谥校┮阎獌善矫娴姆ㄏ蛄糠謩e為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則兩平面所成的二面角的正弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2023春·福建福州·高二福州三中?？计谥校┤鐖D在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E，F(xiàn)，G分別是SKIPIF1<0棱的中點(diǎn)，P是底面SKIPIF1<0內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平行，則線