工程流體力學 第2版 項目4 流體運動學

在連續(xù)介質假設下，討論描述流體運動的方法，根據(jù)運動要素的特性對流動進行分類。本章的討論是純運動學意義上的，不涉及流動的動力學因素。連續(xù)方程是質量守恒定律對流體運動的一個具體約束，也在本章的討論范圍之中。EXIT項目4流體運動學EXIT任務1流體運動的描述方法任務2流場的幾個基本概念任務3連續(xù)性方程任務4流體微團運動的分解項目4流體運動學任務5勢函數(shù)和流函數(shù)綜合實例

描述流體運動的困難拉格朗日法歐拉法歐拉法的質點加速度兩種方法的關系及比較

任務1流體運動的描述方法EXIT

離散

質點系剛體流體質點間的約束強無弱

一.描述流體運動的困難質點數(shù)N個無窮無窮EXIT

離散

質點系剛體流體EXIT六個自由

度運動

編號，逐點描述

3N個自由度困難：

無窮多質點有變形不易顯示

離散

質點系剛體流體EXITt1t2t3t4t5

二.拉格朗日法EXITt6

以研究單個流體質點運動過程作為基礎，綜合所有質點的運動，構成整個流體的運動。

拉格朗日法是質點系法，它定義流體質點的位移矢量為：(a,b,c)

是拉格朗日變數(shù)，即

t=t0

時刻質點的空間位置，用來對連續(xù)介質中無窮多個質點進行編號，作為質點標簽。

流體在運動過程中其它運動要素和物理量的時間歷程也可用拉格朗日法描述，如速度、密度等：EXIT易知指定空間位置不同流體質點

三.歐拉法EXIT

以研究流場中各個空間點上運動要素的變化情況作為基礎，綜合所有的空間點的情況，構成整個流體的運動。

歐拉法是流場法，它定義流體質點的速度矢量場為：(x,y,z)

是空間點（場點）。流速u

是在t

時刻占據(jù)(x,y,z)

的那個流體質點的速度矢量。

流體的其它運動要素和物理特性也都可用相應的時間和空間域上的場的形式表達。如加速度場、壓力場等：EXIT歐拉（L.Euler,

1707-1783，瑞士）拉格朗日（J-L.Lagrange，1736－1813，意大利)EXIT拉格朗日法

歐拉法

著眼于流體質點，跟蹤質點描述其運動歷程著眼于空間點，研究質點流經(jīng)空間各固定點的運動特性布哨跟蹤EXIT

歐拉法是描述流體運動常用的一種方法。EXIT

如果流場的空間分布不隨時間變化，其歐拉表達式中將不顯含時間t，這樣的流場稱為恒定流。否則稱為非恒定流。

歐拉法把流場的運動要素和物理量都用場的形式表達，為在分析流體力學問題時直接運用場論的數(shù)學知識創(chuàng)造了便利條件。

四.歐拉法的質點加速度

速度是同一流體質點的位移對時間的變化率，加速度則是同一流體質點的速度對時間的變化率。

通過位移求速度或通過速度求加速度，必須跟定流體質點，應該在拉格朗日觀點下進行。EXIT

若流動是用拉格朗日法描述的，求速度和加速度只須將位移矢量直接對時間求一、二階導數(shù)即可。

求導時a,b,c作為參數(shù)不變，意即跟定流體質點。EXIT

跟定流體質點后，x,y,z均隨t

變，而且

若流場是用歐拉法描述的，流體質點加速度的求法必須特別注意。

用歐拉法描述，處理拉格朗日觀點的問題。EXIT=+質

點

加

速

度

位變

加速度由流速不均勻性引起時變加速度由流速

不恒定

性引起EXIT分量形式EXITB’AA’BuAdtuBdt舉例EXIT

五.兩種方法的關系及比較在拉格朗日法中，流體的運動和物理參數(shù)被表示成拉格朗日變量（a，b，c，t）的函數(shù)；在歐拉法中，流體的運動和物理參數(shù)則被表示成歐拉變量（x，y，z，t）的函數(shù)。因此，兩種方法之間的關系就是拉格朗日變數(shù)和歐拉變數(shù)之間的數(shù)學變換。（1）拉格朗日法是研究流體質點本身運動規(guī)律的一種方法，這種方法看似簡單，實際上卻比較復雜，因為任意時刻流體質點的位置及其運動軌跡x=x（a，b，c，t），y=y（a，b，c，t），z=z（a，b，c，t）并不容易知道，因此，使用拉格朗日法有不少困難。只有在需要研究流體質點本身的運動時才采用拉格朗日法。（2）在流體力學研究中大多采用歐拉法主要原因有：（a）采用歐拉法研究流體運動得到的是流場，可以采用場論這一有力的數(shù)學工具；（b）采用歐拉法得到的運動微分方程是一階偏微分方程組，如：與采用拉格朗日法得到的二階運動偏微分方程組相比求解要與采用拉格朗日法得到的二階運動偏微分方程組相比求解要容易；（c）工程中解決大量實際問題時，往往并不需要知道每一個流體質點的運動情況，而只需要知道每個空間點上的運動情況就可以了。

任務2有關流場的幾個基本概念EXIT

定常流動與非定常流動跡線和流線

流管、流束及總流

過流斷面和水力直徑

流量及平均速度一維、二維和三維流動均勻流、非均勻流；漸變流、急變流系統(tǒng)和控制體

一.恒定流、非恒定流

若流場中各空間點上的任何運動要素均不隨時間變化，稱流動為恒定流。否則，為非恒定流。

恒定流中，所有物理量的歐拉表達式中將不顯含時間，它們只是空間位置坐標的函數(shù)，時變導數(shù)為零。

例如，恒定流的流速場：

恒定流的時變加速度為零，但位變加速度可以不為零。EXIT如圖a所示，定水頭孔口出流是定常流動。同一空間點的速度不隨時間變化（時變加速度為0），但流場速度隨空間位置變化（從A到B位變加速度不為0）。變水頭孔口出流是非定常流動，如圖b所示。同一空間點的速度隨時間變化（時變加速度不為0），流場速度隨空間位置也變化（位變加速度也不為0）。流體流動的穩(wěn)態(tài)或非穩(wěn)態(tài)與所選定的參考系有關。如圖所示的勻速飛行的飛行器周圍空氣的流動，相對于固定在地面的坐標系是非穩(wěn)態(tài)的，相對于固定在飛行器上的運動坐標系是穩(wěn)態(tài)的；勻速旋轉的通風機葉輪流道中的氣體流動，在固定在地面的坐標系中觀察，流動是非定常的，在固定于葉輪上的運動參考系觀察則是定常的。AAAAAA

某一流體質點在不同時刻占據(jù)的空間位置。t1時刻t2時刻

二.跡線和流線EXIT跡線

跡線是流體質點運動的軌跡，是與拉格朗日觀點相對應的概念。

拉格朗日法中位移表達式即為跡線的參數(shù)方程。t是變數(shù)，a,b,c是參數(shù)。EXIT

這是由三個一階常微分方程組成的方程組，未知變量為質點位置坐標（x,y,z），它是t

的函數(shù)。給定初始時刻質點的位置坐標，就可以積分得到跡線。

在歐拉觀點下求跡線，因須跟定流體質點，此時歐拉變數(shù)x,y,z成為t

的函數(shù)，所以跡線的微分方程為EXITt時刻uAuBuCABCD

表示某時刻流動方向的曲線。uDEXIT流線

流線是流速場的矢量線，是某瞬時對應的流場中的一條曲線，該瞬時位于該曲線上的流體質點之速度矢量都和曲線相切。流線是與歐拉觀點相對應的概念。有了流線，流場的空間分布情況就得到了形象化的描繪。EXIT

根據(jù)定義，流線的微分方程為

實際上這是兩個微分方程，其中t是參數(shù)?？汕蠼獾玫絻勺迩?，它們的交線就是流線族。其中EXIT

在非恒定流情況下，流線一般會隨時間變化。在恒定流情況下，流線不隨時間變，流體質點將沿著流線走，跡線與流線重合。

跡線和流線最基本的差別是：跡線是同一流體質點在不同時刻的位移曲線，與拉格朗日觀點對應，而流線是同一時刻、不同流體質點速度矢量與之相切的曲線，與歐拉觀點相對應。即使是在恒定流中，跡線與流線重合，兩者仍是完全不同的概念。

根據(jù)流線的定義，可以推斷：除非流速為零或無窮大處，流線不能相交，也不能轉折。EXIT

已知直角坐標系中的速度場ux=x+t；

uy=-y+t；uz=0,試求t=0時過M(-1,-1)

點的流線。ux=x+t；uy=-y+t；uz=0(x+t)(-y+t)=Ct=0時過M(-1,-1)：C=-1

積分由流線的微分方程：t=0時過M(-1,-1)點的流線：EXIT例

-1解xy=1t=0時過M(-1,-1)：

C1=C2=0

已知直角坐標系中的速度場ux=x+t；

uy=-y+t；uz=0,試求t=0時過M(-1,-1)

點的跡線。ux=x+t；uy=-y+t；uz=0求解x+y=-2由跡線的微分方程：x=-t-1

y=t-1消去t，得跡線方程：EXIT例

-2解已知直角坐標系中的速度場ux=2x+t；

uy=-2y；uz=0,試求t=0時和1時，過(1,1)

點的流線方程。例

-3【解】因

流體只在平面內流動。將速度代入流線方程得即：積分（將

視為不變量）得：c是積分常數(shù)，由流線通過某點的坐標來確定。于是T=0時，通過（1，1）點（c=2）的流線方程為；T=1時，通過（1，1）點（c=3）的流線方程為：跡線流線xyot=0時過M(-1,-1)點的流線和跡線示意圖EXITM(-1,-1)流動線條和流動顯示流動線條(flowlines)包括四種：流線（streamline)、跡線(pathline)、煙線(streakline)、時線(timeline)煙線(streakline)定義：由先后連續(xù)地經(jīng)過同一場點的流體質點所組成的曲線。時線(timeline)定義：由確定流體質點組成的流體線。流動往往靠流動線條來顯示，而在實驗中比較容易得到的流動線條是煙線和時線。EXIT通常用攝象機能拍到什么流動線條？應該怎么拍？思考?EXIT流線L流管

三.流管和流束及總流

在流場中，取一條不與流線重合的封閉曲線L，在同一時刻過

L上每一點作流線，由這些流線圍成的管狀曲面稱為流管。

與流線一樣，流管是瞬時概念。

根據(jù)流管的定義易知，在對應瞬時，流體不可能通過流管表面流出或流入。EXIT流管內所有流體質點所形成的流動稱流束。根據(jù)流管的性質，流束中任何質點均不能離開流束。定常流中流束的形狀與位置都不隨時間而變。當流束的斷面積很小時稱為微元流束，可以近似認為微元流束同一斷面上各點的流動參數(shù)相等。若流管的壁面就是流場區(qū)域的周界，流管內所有流體質點所形成的流動稱總流，它代表全流場上所有質點的流動。總流所占據(jù)的空間稱流道，它是總流經(jīng)過的通道?？偭靼雌溥吔缧再|的不同可以分為三類：（1）

：邊界全部是固體時的流動稱為有壓流動，有壓流動的特點是流體流動主要靠壓強差驅動，如供水管路、通風巷道、液壓管路中的流動等。（2：總流邊界部分是固體、部分是氣體時的流動稱為無壓流動，無壓流動的特點是流體流動主要靠重力（傾角）驅動，如明渠流、河流等。（3）

：總流的邊界不與固體接觸時稱為射流。射流是靠消耗自身的動能來實現(xiàn)流動的。有壓流無壓流射流EXIT

四.過流斷面和水力直徑過流斷面與總流或流束中的流線處處垂直的斷面稱為過流斷面。過流斷面一般是曲面，當流線平行時過流斷面是平面。過流斷面的面積是對流束尺度大小的度量。微元流束的過流斷面面積為無窮小。水力直徑水力直徑和水力半徑的概念在非圓管道和明渠流計算中經(jīng)常用到?？偭鞯倪^流斷面上，流體與固體接觸的長度稱為濕周，用表示。對于圖a，濕周

；對于圖b，濕周

；對于圖c；濕周?？偭鬟^流斷面的面積

與濕周

之比稱為水力

半徑,水力半徑的4倍稱為水力直徑,即；對于圓形管道，水力直徑：對于邊長為a的正方形管道；對于長、寬分別為a、b的矩形管道：

如圖所示為半圓拱形通風巷

，已知求水力直徑

和水力半徑。【解】

過流面積

濕周

水力半徑

水力直徑例

-4

稱為質量流量，記為Qm，單位為kg/s.流量計算

公式中，曲面A的法線指向應予明確，指向相反，流量將反號。閉曲面的法向一般指所圍區(qū)域的外法向。

通過流場中某曲面A的流速通量稱為流量，記為Q

，它的物理意義是單位時間穿過該曲面的流體體積，所以也稱為體積流量，單位為m3/s.dAuAnEXIT

五.流量及平均流速

總流過流斷面上的流速與法向一致，所以穿過過流斷面A的流量大小

為，其中u

為流速的大小。EXIT

定義體積流量與斷面面積之比為斷面平均流速，它是過流斷面上不均勻流速u的一個平均值，假設過流斷面上各點流速大小均等于v，方向與實際流動方向相同，則通過的流量與實際流量相等。平均流速

六.一維、二維和三維流動一維流動二維流動三維流動平面流動軸對稱流動

任何實際流動從本質上講都是在三維空間內發(fā)生的，二維和一維流動是在一些特定情況下對實際流動的簡化和抽象，以便分析處理。EXIT

流場與某一空間坐標變量無關，且沿該坐標方向無速度分量的流動。xyoxyzou0u0二維流動EXIT直角系中的平面流動：大展弦比機翼繞流zro子午面EXIT柱坐標系中的軸對稱流動：液體在圓截面管道中的流動

流動要素只取決于一個空間坐標變量的流動

在實際問題中，常把總流也簡化為一維流動，此時取定空間曲線坐標s

的值相當于指定總流的過流斷面，但由于過流斷面上的流動要素一般是不均勻的，所以一維簡化的關鍵是要在過流斷面上給出運動要素的代表值，通常的辦法是取平均值。s其流場為s—空間曲線坐標

元流是嚴格的一維流動，空間曲線坐標s

沿著流線。EXIT一維流動位變導數(shù)？均勻流非均勻流

七.均勻流、非均勻流；漸變流、急變流

均勻流的流線必為相互平行的直線，而非均勻流的流線要么是曲線，要么是不相平行的直線。EXIT為什么？判別uxazyxo

以下的流動是均勻流：

應注意將均勻流與完全不隨空間位置而變的等速直線流動

相區(qū)別，前者是流動沿著流線方向不變，后者是流動沿著空間任何方向不變。后者是均勻流的一個特例。EXIT例如

在實際流動中，經(jīng)常會見到均勻流，如等截面的長直管道內的流動、斷面形狀不變，且水深不變的長直渠道內的流動等。

恒定均勻流的時變加速度和位變加速度都為零，即流體質點的慣性力為零，將作勻速直線運動。若總流為均勻流，其過流斷面是平面。這些均勻流的運動學特性，將給以后處理相關的動力學問題帶來便利，因此在分析流動時，特別關注流動是否為均勻流的判別。EXIT是否接近均勻流？漸變流流線雖不平行，但夾角較?。?/p>

流線雖有彎曲，但曲率較小。急變流流線間夾角較大；

流線彎曲的曲率較大。

漸變流和急變流是工程意義上對流動是否符合均勻流條件的劃分，兩者之間沒有明顯的、確定的界限，需要根據(jù)實際情況來判定。是否EXIT均勻流，漸變流和急變流示意圖EXIT

圖中閘門出流時，流體的慣性作用使得閘門孔孔口出流后形成收縮。最小斷面c-c稱作收縮斷面，該斷面通常看作是漸變流。

八.系統(tǒng)和控制體

由確定的流體質點組成的集合稱為系統(tǒng)。系統(tǒng)在運動過程中，其空間位置、體積、形狀都會隨時間變化，但與外界無質量交換。

有流體流過的固定不變的空間區(qū)域稱為控制體，其邊界叫控制面。不同的時間控制體將被不同的系統(tǒng)所占據(jù)。

站在系統(tǒng)的角度觀察和描述流體的運動及物理量的變化是拉格朗日方法的特征，而站在控制體的角度觀察和描述流體的運動及物理量的變化是歐拉方法的特征。EXIT占據(jù)有限體積

系統(tǒng)

流體團微分體積

系統(tǒng)

流體微團

最小的

系統(tǒng)

流體質點

有限體積

控制體

微元

控制體

場點大小EXIT任務3連續(xù)性方程EXIT

直角坐標系中的連續(xù)性方程

連續(xù)性方程的其他幾種常見形式定常總流的連續(xù)性方程

連續(xù)性方程——質量守恒定律對流體運動的一個基本約束

用歐拉觀點對質量守恒原理的描述：連續(xù)介質的運動必須維持質點的連續(xù)性，即質點間不能發(fā)生空隙。因此，凈流入控制體的流體質量必等于控制體內因流體密度變化而增加的質量。EXIT

一.直角坐標系中的連續(xù)性方程xyzodxdydzuxabcda’b’c’d’凈流入前后這一對表面的流體質量為

在時間段dt

里，從abcd

面流入微元體的流體質量為從a’b’c’d’面流出的流體質量為EXITxyzodxdydzuzabcda’b’c’d’

同理可知，在時間段dt

里，沿著y方向和z方向凈流入左右和上下兩對表面的流體質量分別為和uyEXIT三維流動的連續(xù)性微分方程

在時間段dt

里，微元內流體質量的增加

根據(jù)質量守恒原理簡化或寫成EXIT

恒定流動的連續(xù)方程EXIT

極坐標中平面流動的連續(xù)方程d

u

ourrd

dr

r

對于不可壓縮流體的流動（不論是恒定或非恒定），連續(xù)方程為EXIT速度場的

散度為零

二.連續(xù)性方程的其他幾種常見形式不可壓縮流體速度場的散度流體微團在三個互相垂直方向上的線變形速率之和，也是流體微團的體積膨脹率。

連續(xù)方程表明不可壓縮流體微團在三個互相垂直方向上的線變形速率的總和必為零，若在一個方向上有拉伸，則必有另一個方向上的壓縮，在運動過程中其體積不會發(fā)生變化。EXIT對于不可壓縮流體沿x方向的一維流動，

，其連續(xù)性方程為：對于可壓縮流體在

xy平面內的二維定常流動，其連續(xù)性方程為：對于不可壓縮流體在

xy平面內的二維流動，其連續(xù)性方程為：EXIT

恒定條件下：總流管的形狀、位置不隨時間變化。總流內的流體是不存在空隙的連續(xù)介質，其密度分布恒定，所以這段總流管內的流體質量也不隨時間變化。沒有流體穿過總流管側壁流入或流出，流體只能通過兩個過流斷面進出控制體。

控制體：上游過流斷面A1和下游過流斷面A2之間的總流管A1A2QmQm

三.定?？偭鞯倪B續(xù)性方程通過恒定總流兩個過流斷面的質量流量相等。

恒定總流

連續(xù)方程即或通過恒定總流兩個過流斷面的體積流量相等。

根據(jù)質量守恒定律即可得出結論：在單位時間內通過A1流入控制體的流體質量等于通過A2流出控制體的流體質量。

又若流體不可壓，

=const

EXIT

對于不可壓縮流體，根據(jù)連續(xù)方程，容易理解為什么流線的疏密能夠反映流速的大小。

在有分流匯入及流出的情況下，連續(xù)方程只須作相應變化。質量的總流入=質量的總流出。EXIT任務4流體微團運動的分解EXIT平面流動的微團運動分析三維流動的微團運動分解有旋流動和無旋流動

考察和分析流體質點之間的相對位移和相對運動。

談及相對運動就必須把討論問題的尺度從流體質點擴大到流體微團。

給出在同一時刻流體微團中任意兩點速度之間的關系。分析流體微團的運動形式。EXIT

一.平面流動的微團運動分析剛體運動:移動、轉動流體運動:移動、轉動、變形控制體的選取:邊長為dx，dy，dz的微元平行六面體。E形心處速度：vx,vy,vzE點處速度：流體微團上各點速度的表示各角點處x方向速度：E以平面運動為例流體微團運動的分解

各角點的速度分量中都包含vx,vyx方向移動速度：vxz方向移動速度：vzy方向移動速度：vy1.移動A和D、B和C間的x向速度分量差:x方向線應變速度：z方向線應變速度：y方向線應變速度：C和D、B和A間的y向速度分量差:2.線變形運動A和D、B和C間的y向速度分量差:C和D、B和A間的x向速度分量差:結果:(1)AD邊和BC邊逆時針旋轉微元角度(2)AB邊和DC邊順時針旋轉微元角度3.角變形運動和旋轉(1)角變形運動角變形角變形速度:每秒內一個直角的角度變化量3.角變形運動和旋轉(續(xù))(2)旋轉運動旋轉旋轉速度:每秒內繞同一轉軸的兩條互相垂直的微元線段旋轉角度的平均值3.角變形運動和旋轉(續(xù))第一項：平移運動第二項：線變形運動第三項：角變形運動第四項：旋轉運動流體微團運動的分解(續(xù))

考察在M點的一階臺勞展開，以x方向分量為例。

二.三維流動的微團運動分解EXITdr

同理EXIT合并成矢量形式流體微團中任意兩點間速度關系的一般形式亥姆霍茲速度分解定理EXIT主對角線上三個元素是線變形速率其余的是角變形速率流體的變形速率張量，是二階對稱張量EXIT流體旋轉角速度矢量，它恰是流速場的旋度矢量的一半。

旋度EXIT

亥姆霍茲速度分解定理各項的物理意義:

點的流速；

:點的流速；

:流體變形率張量[

]

對兩點相對運動速度的貢獻，包括線變形和角變形；

:流體平均旋轉角速度引起的兩點相對運動速度。平移變形轉動基準點是展開點MEXIT變形速度轉動速度適用范圍流體剛體有因點而異流體微團無不隨點變整個剛體

流體速度分解與剛體速度分解的異同EXIT

三.有旋流動和無旋流動根據(jù)矢量的旋度定義，有對于速度場

，令：稱

為渦量或渦度。與速度場

對應，

也構成一個矢量場，稱之為渦量場。

唯一的標準是看流速場是否滿足，寫成分量形式為：旋度無旋流動有旋流動這個分類是

很重要的EXIT

判別渦量注意：研究流體的旋轉運動時，研究對象應取流體微團，而非流體質點。

一般來說，粘性流體的流動是有旋的，而理想流體的流動可能是無旋的，也可能是有旋的。流動究竟是有旋還是無旋，是根據(jù)流體微團本身是否旋轉來確定的，如果在所討論的流場中，每一個流體微團都不作旋轉運動，則流動是無旋的，即

有旋流動和有勢流動的判別僅在于流速場的旋度是否為零。不要根據(jù)流線是直線或曲線來直觀判別，以免出錯。流線是圓周，無旋流線是直線，有旋xyoxyoEXIT1.渦線仿照流線的定義，可定義渦線

來表示

的方向，即渦線是表示

方向的曲線，渦線處處與

相切。渦線的微分方程概念2.旋渦通常把斷面上

較大的渦管稱作旋渦或旋渦體。3.渦管通過任一封閉曲線C的所有渦線所構成的管狀曲面稱渦管。4.速度環(huán)量在三維流場中任選一有向封閉曲線C。流速沿著C的積分

稱為曲線C的速度環(huán)量速度環(huán)量是標量，其正負號不僅與速度的方向有關，而且與線積分的繞行方向有關規(guī)定沿封閉周線繞行的正方向為逆時針方向。5.梯度補充：梯度、散度和旋度（以直角坐標系為例）1、梯度（gradient）：表示一個物理量（可以是標量也可以是矢量，如溫度、壓力、速度等）相對于另一給定可變量（尤指距離）的變化率（表征物理量沿某個方向變化的劇烈程度），是標量場不均勻性的量度。對任一標量對任一矢量6.散度2、散度（divergence）：用以判斷矢量場是否有源。如果某一矢量的散度處處為0，則稱該矢量場為無源場（也稱為管式場），否則為有源場。

對任一矢量

7.旋度3、旋度（vorticity）：用以判斷矢量場是否有旋。如果某一矢量的旋度處處為0，則稱該矢量場為無旋場，否則為有旋場。無旋場和有勢場是等價的。對任一矢量

(1).微元封閉周線的斯托克斯定理沿微元封閉周線的速度環(huán)量等于通過該周線所包圍的面積的渦通量。8.斯托克斯定理(2).平面上有限單連通區(qū)的斯托克斯定理沿包圍平面上有限單連通區(qū)域的封閉周線的速度環(huán)量等于通過該周線所包圍的面積的渦通量。(3).空間表面上的斯托克斯定理沿空間任一封閉周線的速度環(huán)量等于通過該周線上的空間表面的渦通量。9.湯姆孫定理正壓性的理想流體在有勢的質量力作用下沿任何由流體質點組成的封閉周線的速度環(huán)量不隨時間而變化。10.亥姆霍茲旋渦定理

(1).亥姆霍茲第一定理

在同一瞬間渦管各截面上的渦通量都相同(2).亥姆霍茲第二定理

正壓性的理想流體在有勢的質量力作用下，渦管永遠保持為由相同流體質點組成的渦管。(3).亥姆霍茲第三定理

在有勢的質量力作用下，正壓性的理想流體中任何渦管的強度不隨時間而變化，永遠保持定值。例1：有旋、無旋流動判斷。某不可壓縮流場，各方向的速度分別為

求t=0和t=0.5時，在（1，1）點處流體微團轉動的角速度，并說明是有旋還是無旋流動。解：屬于二維流動。

在（1，1）點，

例2例3例3例4例5任務5勢函數(shù)和流函數(shù)速度勢函數(shù)與流函數(shù)速度勢函數(shù)與流函數(shù)的關系無旋流動有勢流動等價

稱為

速度勢函數(shù)一.流速勢函數(shù)與流函數(shù)EXIT

起點不同，速度勢相差一個常數(shù)，不會影響對流場的描述。EXIT速度勢函數(shù)的定義速度勢函數(shù)的求法（一）直接根據(jù)定義求

與路徑無關，可選一條簡便的路徑計算M0M1Oyxz

要按照定義求速度勢，不要誤認為做三個獨立的不定積分。

給出流場，求解速度勢，要先檢查流場是否無旋。代入確定EXIT速度勢函數(shù)的求法（二）尋找全微分已知速度場:

此流動是不可壓縮流體的平面勢流，并求速度勢函數(shù)。求證由知EXIT例-1不可壓縮無旋平面流動EXIT按三個不定積分求按定義求按三個不定積分求由知EXIT例-2已知速度場:

此流動是不可壓縮流體的無旋流動，并求速度勢函數(shù)。求證不可壓縮無旋滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調和函數(shù)。EXIT不可壓流體無旋流動的速度勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程極坐標中速度勢函數(shù)dlxyd

r

rd

dr有勢流動&速度勢函數(shù)小結

無旋流動也稱有勢流動或勢流。速度場有勢的充要條件：流動無旋。

有勢流動無旋流場中，速度的旋度處處為0。根據(jù)場論：若任一矢量場的旋度為0，則該矢量一定是某個標量函數(shù)的梯度（梯度的旋度等于0）。因此——速度勢函數(shù)，簡稱速度勢。直角坐標系已知速度勢函數(shù)，可求勢流場的速度分布。

速度勢函數(shù)potentialfunction流動無旋速度場有勢等價

速度勢函數(shù)的性質（1）速度沿三個坐標軸的分量等于速度勢對于相應坐標的偏導數(shù)。（2）在不可壓縮流體的有勢流動中，速度勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程。直角坐標系圓柱坐標系

勢函數(shù)是無旋流動中的一個連續(xù)函數(shù)，它在任一方向上的導數(shù)等于該方向的速度。

調和函數(shù)Laplace方程的解（調和函數(shù)）具有線性可疊加性?。。?）有勢流動中沿一曲線的速度環(huán)量等于曲線終點與起點的速度勢之差。不可壓縮流體平面流動的連續(xù)方程改寫矢量場無旋，必有相應的勢函數(shù)定義其勢函數(shù)EXIT不可壓縮流體平面流動流函數(shù)的定義原流速場的流函數(shù)Streamfunction

將平面上一段有向微元弧長順時針轉900，方向為dl之法向n

，大小為dl

，可記為ndl根據(jù)流函數(shù)定義dlndldx-dxdydyuEXIT不可壓縮流體平面流動流函數(shù)的物理意義

流函數(shù)的微分為穿過微元弧長的流量，所以把

稱為流函數(shù)。表示穿過M0

至M連線的流量，它與連線路徑無關，在起點M0

確定的情況下，它是終點M的坐標的函數(shù)。

根據(jù)定義確定流函數(shù)時選取不同的起點M0

，流函數(shù)將相差一個常數(shù)，但同樣不會影響對流場的描述。M0M

對于不可壓流體的平面流動是容易理解的，而三維流動就得不到這樣的結論。EXITEXITM0M1M2Q2Q1Q

兩點流函數(shù)的差表示穿過兩點間任意連線的流量。流函數(shù)與流線、流量的關系EXIT

同一條流線上任意兩點的流函數(shù)值相等。M0M2Q2Q1M1M1、M2在同一條流線上，則

=const不可壓流體平面流動的流線方程

=C

如圖中所示,若表示有流量自M1M2連線左側流進右側，由此可在流線上畫出流動方向。M1M2=C1=C2

利用流函數(shù)定義，可確定流動方向。EXIT儒科夫斯基法則(教材p99)沿著流速u的方向逆時針旋轉90o

就是

增值的方向；或者說沿

增值方向順時針旋轉90o即為流速u的方向。Joukowskirule儒科夫斯基法則u

如果不可壓縮流體平面流動是無旋的，那么說明流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調和函數(shù)。EXIT不可壓縮流體平面流動流函數(shù)的求法不可壓縮流體平面無旋流動的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程

流函數(shù)的概念本與流動是否無旋無關，在這里引出，是為了下面建立不可壓縮流體平面無旋流動復勢的需要。

類似于速度勢函數(shù)的求法，若已知不可壓縮流體平面流動的速度場，則流函數(shù)也可用定義直接求或用尋找全微分的方法求。注二維流動和流函數(shù)小結

流函數(shù)存在的條件二維不可壓縮流體流動的連續(xù)方程為如果有一個函數(shù)，其滿足流函數(shù)存在的條件不論是理想流體還是粘性流體，是定常流動還是非定常流動，是有旋流動還是無旋流動，只要是平面或軸對稱不可壓縮流動，總存在流函數(shù)。但對于（二維）可壓縮流體的流動，由于連續(xù)方程中多了項，故只有在定常流動時才存在流函數(shù)。則此函數(shù)一定滿足二維不可壓縮流動的連續(xù)性方程，就稱為流函數(shù)。存在標量函數(shù)能自動滿足平面或軸對稱流動的連續(xù)性方程。streamfunction或流函數(shù)存在的2種情況1.對于二維不可壓縮流動，若存在一個標量函數(shù)，且有：函數(shù)就稱為二維不可壓縮流動的流函數(shù)。則函數(shù)能自動滿足的連續(xù)性方程：2.對于二維定常可壓縮流動，如果存在一個標量函數(shù)，且有：函數(shù)就稱為二維定常可壓縮流動的流函數(shù)。則函數(shù)能自動滿足的連續(xù)性方程：

流函數(shù)的性質（1）在同一條流線上流函數(shù)是常數(shù)，等流函數(shù)線即是流線。證明平面流動的流線方程

如果存在一個標量函數(shù)，且有：則積分可得結論流線上流函數(shù)是常數(shù)，等流函數(shù)線是流線。（2）在平面流動中，兩條流線間單位厚度通過的體積流量等于兩條流線上的流函數(shù)之差。（3）在不可壓縮、平面、勢流中，流函數(shù)滿足拉普拉斯方程不可壓縮平面勢流結論不可壓縮平面、勢流的流函數(shù)也是調和函數(shù)。二維不可壓縮勢流和二維可壓縮定常勢流，同時存在流函數(shù)和勢函數(shù)?？挛鳌杪鼦l件Cauchy-Riemannconditions

三者知其一，可求其余兩個。勢函數(shù)和流函數(shù)都存在。前提稱這對調和函數(shù)互為共軛調和函數(shù)。速度勢函數(shù)和流函數(shù)各自存在的條件不同。特別注意二.流速勢函數(shù)與流函數(shù)的關系求流函數(shù)先檢查是否為不可壓縮流體平面流動？求速度勢

以上速度勢函數(shù)和流函數(shù)的關系是在不可壓縮流體平面無旋流動的條件下建立的。

在不可壓縮流體平面有旋流動中就只有流函數(shù)，沒有速度勢。

在不可壓縮流體三維無旋流動中就只有速度勢，沒有流函數(shù)。如不可壓縮流體平面流動的流函數(shù)流動有旋，不存在速度勢先檢查流動是否無旋？EXIT注流網(wǎng)

在平面勢流場中，等勢線簇和流線簇相互正交構成的網(wǎng)絡，稱為流網(wǎng)。Flownet等勢線與流線正交。等勢線簇斜率流線簇斜率證明調和函數(shù)的性質2.調和函數(shù)的性質3.疊加公式1.調和函數(shù)滿足的拉普拉斯方程的函數(shù)。

對于不可壓縮平面勢流，勢函數(shù)和流函數(shù)所滿足的拉普拉斯方程都是線性偏微分方程，這類方程的解具有線性